专题2.1 有理数的加法（课堂同步）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题2.1.有理数的加法 1．理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 2 考点1.有理数的加法运算 2 考点2.有理数加法运算中的符号辨析 3 考点3.有理数加法的运算律 4 考点4.有理数加法的实际应用 7 考点5.有理数加法的综合运用（幻方问题） 11 考点6.有理数加法的综合运用（新定义） 13 17 考点1.有理数的加法运算 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 例1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 变式1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列各式的结果，符号为正的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2.有理数加法运算中的符号辨析 有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。 例1．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 变式1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 变式2．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 变式3．（23-24七年级上·广东·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 考点3.有理数加法的运算律 1.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：（1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义；（2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 2.有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 变式1．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)；(2)． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．（23-24七年级上·广东·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 考点4.有理数加法的实际应用 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小明是滑板的狂热爱好者．有一天小明去逛街，他到一间名为“滑遍天下”的商店查看了一些滑板商品的价格．在这家商店，你可以购买一块已经镶嵌好的滑板，也可以只购买一块板、一组4个的滑板轮、一组2个的滑板轮架及一组零件来镶嵌自己的滑板．这家商店的滑板商品的价格如下： 商品 价格（单位：元） 实物图 已镶嵌好的滑板 82或84 板 40、60或65 一组4个的滑板轮 14或16 一组2个的滑板轮架 16 一组零件（轴承、胶垫、螺栓及螺丝帽） 10或20 小明想镶嵌他自己的滑板．在这家商店镶嵌自己的滑板，最低和最高的价格分别是（   ） A．最低价格：80元，最高价格：120元 B．最低价格：70元，最高价格：120元 C．最低价格：80元，最高价格：117元 D．最低价格：70元，最高价格：117元 例2．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？(2)如果汽车行驶均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 变式1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 变式2．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是 ，丁的两张牌上的数字是 ． 变式3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆；（2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 变式4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图所示，是北京市地铁1号线的部分线路图．小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动，从“西单站”入站，服务活动结束后从站出站．若规定向东为正，向西为负，则小王当志愿者过程中乘车的站数；按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，．请通过计算说明站为哪一站． 考点5.有理数加法的综合运用（幻方问题） 利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。 例1．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 变式1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向3个数之和与纵向3个数之和相等，则填入中间位置的数可以是 ． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 变式3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系： ．（用文字语言叙述） 考点6.有理数加法的综合运用（新定义） “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：．(3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 变式1．（24-25七年级上·湖北随州·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，例如：，．则 ． 变式2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意有理数a和b，都有．例如：．那么， ． 变式3．（24-25七年级上·重庆江津·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数“纯数”．定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”．例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位．那么 （填“是”或者“不是”）“纯数”；求出不大于的“纯数”的所有“纯数”的和为 ． 变式4．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 1．（2025·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）一天早晨的气温为，中午上升了，则中午的气温为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．无法确定 4．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 6．（24-25七年级上·浙江·期中）计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 8．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 9．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 11．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ；（2） ． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0；（2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0；（4）如果，那么 0． 13．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 14．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是 ． 15．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a、b，我们规定★为一种新运算如下：，则 ； ． 16．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 ． 中 国 5 梦 0 17．（2025·北京海淀·模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 18．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法；请仿照上面的方法计算： (1)；(2)． 20．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h 21．（24-25七年级上·山东聊城·期末）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 22．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为；黄队胜蓝队，比分为；红队负蓝队，比分为． (1)如果胜一场积3分，负一场积1分，求三个队的积分各是多少？ (2)当球队积分相同时，净胜球总数多的球队排名靠前．如果进球记为正，失球数记为负，净胜球数等于进球数与失球数的和．请通过计算各队的净胜球数，判断哪个球队获得第一名． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1.有理数的加法 1．理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 2 考点1.有理数的加法运算 2 考点2.有理数加法运算中的符号辨析 3 考点3.有理数加法的运算律 4 考点4.有理数加法的实际应用 7 考点5.有理数加法的综合运用（幻方问题） 11 考点6.有理数加法的综合运用（新定义） 13 17 考点1.有理数的加法运算 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 例1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：=+（20-12）； （2）解：=-（8+32）； （3）解：=-（）； （4）解：=-（）； （5）解：； （6）解：==-（3+54）+=-57+=-（57-）； 变式1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列各式的结果，符号为正的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 是负数，故该选项不符合题意， B． ，不是正数，故该选项不符合题意，C． ，是正数，故该选项符合题意， D． ，不是正数，故该选项不符合题意．故选C． 变式2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，故选：B． 变式3．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：；故选：D． 考点2.有理数加法运算中的符号辨析 有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。 例1．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 变式1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 变式2．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【详解】解：的值是负数，a与b的值中至少有一个是负数．故选：D． 变式3．（23-24七年级上·广东·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意，故A． 考点3.有理数加法的运算律 1.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：（1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义；（2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 2.有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【答案】B 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是分配律．故选：B． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 【答案】(1)10(2)(3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 变式1．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律，故选：． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)2(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式4．（23-24七年级上·广东·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解： ． 考点4.有理数加法的实际应用 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小明是滑板的狂热爱好者．有一天小明去逛街，他到一间名为“滑遍天下”的商店查看了一些滑板商品的价格．在这家商店，你可以购买一块已经镶嵌好的滑板，也可以只购买一块板、一组4个的滑板轮、一组2个的滑板轮架及一组零件来镶嵌自己的滑板．这家商店的滑板商品的价格如下： 商品 价格（单位：元） 实物图 已镶嵌好的滑板 82或84 板 40、60或65 一组4个的滑板轮 14或16 一组2个的滑板轮架 16 一组零件（轴承、胶垫、螺栓及螺丝帽） 10或20 小明想镶嵌他自己的滑板．在这家商店镶嵌自己的滑板，最低和最高的价格分别是（   ） A．最低价格：80元，最高价格：120元 B．最低价格：70元，最高价格：120元 C．最低价格：80元，最高价格：117元 D．最低价格：70元，最高价格：117元 【答案】C 【详解】解：由题意得，最低价格为（元）， 最高价格为（元），故选：C． 例2．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？(2)如果汽车行驶均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在Ａ地正南方向，它们相距(2)汽车行驶平均耗油 【详解】（1）解：（1）∵ ， ，∴地在A地正南方向，它们相距； （2）∵， ∵汽车行驶平均耗油，∴汽车行驶平均耗油 变式1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 【答案】C 【详解】解：，即小华当天微信收支的最终结果是收入元，故选：C． 变式2．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是 ，丁的两张牌上的数字是 ． 【答案】 和； 和； 【详解】解：由题意可知，一共有10张牌，五名同学每人各两张牌，数字不重复， 五名同学10张牌的和为，甲、乙、丙、戊四名同学的牌数字之和为，丁同学的两张牌的数字之和为， 由甲：11可知，甲的两张牌上的数字可能是和、和、和，和、和； 由乙：4可知，乙的两张牌上的数字只能是和； 由丙：17可知，丙的两张牌上的数字可能是和、和； 由丁：16可知，丁的两张牌上的数字可能是和、和； 由戊：7可知，戊的两张牌上的数字可能是和、和、和； 综上可知，乙的两张牌上的数字是和；戊的两张牌上的数字是和；甲的两张牌上的数字是和；丙的两张牌上的数字可能是和；丁的两张牌上的数字可能是和；故答案为：和；和； 变式3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为D（15分钟）、B（30分钟）、C（45分钟）、A（60分钟）、E（60分钟），F（90分钟）最多可以参观完四个展馆． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观F展馆90分钟，正好去参观B展馆30分钟，正好去参观E展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解．故答案为：4，． 变式4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图所示，是北京市地铁1号线的部分线路图．小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动，从“西单站”入站，服务活动结束后从站出站．若规定向东为正，向西为负，则小王当志愿者过程中乘车的站数；按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，．请通过计算说明站为哪一站． 【答案】站是复兴门站 【详解】解：， ∵向东为正，向西为负，∴所在的位置是复兴门站，答；站是复兴门站． 考点5.有理数加法的综合运用（幻方问题） 利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。 例1．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，则∴解得：， ∴正中间的方格中的数字为 如图所示，∵，∴∴中间一行的和为 ∴所有数字的和为 故答案为：，． 变式1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向3个数之和与纵向3个数之和相等，则填入中间位置的数可以是 ． 【答案】【详解】解：由题意，填写如下：，满足题意；故答案为：0。 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：（1）任取两组数据，由图可知，，故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处，与之间填， 与之间填，与之间填，如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，，∴的最大值为，故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系： ．（用文字语言叙述） 【答案】每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15 【详解】解：；故每一行的三个数字之和为15； ，故每一列的三个数字之和为15； ，故两条斜对角线上的三个数的和为15； 综上：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15； 故答案为：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15． 考点6.有理数加法的综合运用（新定义） “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值(2)23(3)不相等，不满足 【详解】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值；故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）解：， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 变式1．（24-25七年级上·湖北随州·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，例如：，．则 ． 【答案】1 【详解】解：．故答案为：1． 变式2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意有理数a和b，都有．例如：．那么， ． 【答案】 【详解】．故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·重庆江津·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数“纯数”．定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”．例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位．那么 （填“是”或者“不是”）“纯数”；求出不大于的“纯数”的所有“纯数”的和为 ． 【答案】 不是 【详解】解：∵在列竖式计算时个位产生进位现象，所以不是“纯数”， ∵个位不超过，十位不超过的数，才符合不大于的“纯数”的定义， 所以不大于的“纯数”有：，，，，，，，，，，，，． ∴，故答案为：不是，． 变式4．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【详解】（1）∵，∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；故答案为：，，，；满足； （2）∵，∴， ∴或，∴或； ∵，∴，， ∴，∴或，解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵，∴，，∴； ∵，∴ ∴等式不成立，∴“绝佳”运算不满足结合律． 1．（2025·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）一天早晨的气温为，中午上升了，则中午的气温为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．根据有理数加法的法则计算即可． 【详解】解：中午的气温是：． 故选：B． 3．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：在计算时，可以先将和结合计算，故可以运用加法结合律．故选B． 4．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：按照这种方法，图②中表示的算式是，故选：C． 5．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 【答案】B 【详解】解：A、由题意，，现在该物体在数轴上对应点的数为，该选项错误，不符合题意； B、，故他这两个月合计亏了1万元，符号题意； C、，故现在的气温是零下，该选项错误，不符合题意； D、，故现在水池中的水比原来少了，该选项错误，不符合题意；故选B． 6．（24-25七年级上·浙江·期中）计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．故选：D． 8．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 【答案】B 【详解】解：∵，∴，，三个数中必然会有负数，即，，三个数中至少有一个负数，故选B． 9．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个．故选：B ． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边， ∴每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， ∴这一行最后一个圆圈数字应填，则所在的横着的一行最后一个圈为， ∴这一行第三个圆圈数字应填，∴数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，这两行交汇处是a即为3，故选：B 11．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）；故答案为：，． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0；（2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0；（4）如果，那么 0． 【答案】 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正．故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负．故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正．故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负．故答案为：； 13．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】+4/4 【详解】解：由题意可得：， ∴尹老师当天微信收支的最终结果是收入4元，故答案为：4． 14．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，∴，故答案为：． 15．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a、b，我们规定★为一种新运算如下：，则 ； ． 【答案】 【详解】解：，，故答案为：，． 16．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 ． 中 国 5 梦 0 【答案】 【详解】解：由题意可得：每行、每列及每条对角线上的3个数之和都为， 国，中，中，梦，梦， 故“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是．故答案为：． 17．（2025·北京海淀·模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 【答案】各买一个（答案不唯一） 【详解】解：当购买各一个时： 一等奖的个数为：，，满足题意； 二等奖的个数为：，，满足题意； 三等奖的个数为：，，满足题意； 奖品总个数为：，满足题意； 故答案为：各买一个（答案不唯一）． 18．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 19．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法；请仿照上面的方法计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h 【答案】见解析 【详解】解：由题可知五个时钟显示的时间分别为， 当北京时间为时，悉尼时间为，即当日 五个时钟显示的时间中没有北京时间不是； 当北京时间为时，悉尼时间为，悉尼时间为当日， 五个时钟显示的时间中没有，北京时间不是； 当北京时间为时， ，悉尼时间为当日，存在； ，纽约时间为前一天的，时钟显示为，存在； 伦敦时间为前一天，时钟显示为，存在； ，罗马时间为前一天，时钟显示为，存在；如图，即为所求. 21．（24-25七年级上·山东聊城·期末）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米(2)千米小时 【详解】（1）解：根据题意可得：（千米）； 答：将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米； （2）解：由题意得：（千米）， 上午沈师傅开车的时间为小时分钟，，故沈师傅开车的时间为小时， （千米小时）；上午沈师傅开车的平均速度是千米小时； 22．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为；黄队胜蓝队，比分为；红队负蓝队，比分为． (1)如果胜一场积3分，负一场积1分，求三个队的积分各是多少？ (2)当球队积分相同时，净胜球总数多的球队排名靠前．如果进球记为正，失球数记为负，净胜球数等于进球数与失球数的和．请通过计算各队的净胜球数，判断哪个球队获得第一名． 【答案】(1)三个队各得4分(2)蓝队获得第一名 【详解】（1）解：红队胜一场，负一场，得分；黄队胜一场，负一场，得分； 蓝队胜一场，负一场，得分；所以三个队各得4分； （2）解：红队进球6个，失球7个，净胜球数； 黄队进球5个，失球5个，净胜球数；蓝队进球6个，失球5个，净胜球数． 因为，所以蓝队获得第一名． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$