微专题 动态平衡 平衡中的临界与极值问题（复习讲义）（湖南专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第07讲 共点力的平衡 目录 01 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 动态平衡问题 21 知识点1 动态平衡的常见类型 22 知识点2 处理动态平衡的方法 22 考向1 应用解析法处理动态平衡问题 25 考向2 应用图解法处理动态平衡问题 26 考向3 应用相拟三角形法得理动态平衡问题 27 考向4 应用矢量圆（正弦定理）处理动态平衡问题 30 考点二 平衡的临界与极值问题 21 知识点1 临界极值问题的特征 22 知识点2 处理临界极值问题的方法 22 考向1 应用物理分析法处理临界与极值问题 25 考向2 应用数学分析法处理临界与极值问题 26 考向3 应用极限法处理临界与极值问题 27 0429 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 动态平衡 选择题 非选择题 全国新课标T11，12分安徽卷T3，3分 \ 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对这部分内容的考查，大多以选择题的形式出现，通常情况下难度不大,会以实际生活中的例子作为试题背景，考查动态平衡与临界和极值问题。 3.备考建议：本讲内容备考时候，注意不同情况动态平衡用不同的方法求解。。 4.命题情境： ①生活实践类：生活中的重力、弹力、摩擦力的平衡，牵引物体、船只、机器人； ②学习探究类：斜面以及各类接触面 5.常用方法：整体法与隔离法、极限法 复习目标： 1.熟练掌握不同情况下的动态平衡问题的求解方法。 2.理解平衡的临界和极值问题，会解决用不同的方法求解临界和极值问题。 考点一 动态平衡 知识点1 动态平衡的常见问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 知识点2 解决动态平衡的方法 1.解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 2.图解法 此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题： 3.相似三角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 4.做题流程 考向1 用解析法解决动态平衡问题 例1 （2025·湖南长沙·三模）如图1所示，冰坑挑战是我国东北的传统游戏。某同学将该情景简化后的模型如图2所示，可看作游戏者在一圆心角为120°的圆弧轨道上移动，圆弧的半径为R。已知冰面与鞋底间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，游戏者的质量m=60kg，游戏者可看作质点，则下列说法正确的是（　　） A．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，最大静摩擦力不断增大 B．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，离O点的高度最大为 C．若游戏者从轨道最高点A无动力滑下后，可再次回到最高点 D．若游戏者从轨道最高点A无动力下滑到O点，游戏者的切向加速度先减小后增大 【答案】BD 【详解】A．设游戏者与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，则游戏者对冰面的正压力为 最大静摩擦力 游戏者在从O点向上缓慢移动过程中θ变大，最大静摩擦力不断减小，选项A错误； B．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，当到达最大高度时满足 解得 离O点的高度最大为 选项B正确； C．若游戏者从轨道最高点A无动力滑下后，由于要克服摩擦力做功，则不可再次回到最高点，选项C错误； D．若游戏者从轨道最高点A无动力下滑到O点，θ从60°减小到0，游戏者的切向加速度 当时加速度为零，则切线加速度先减小后增大，选项D正确。 故选BD。 （ 【变式训练1】2025·山西吕梁·三模）如图所示，将一光滑轻杆固定在水平地面上，杆与地面间的夹角为，一光滑轻环套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环上，轻绳另一端系一质量为的小物块，用手扶住小物块使恰好在竖直方向。现用手扶着小物块使其缓慢向下运动，到达某位置时松手，小物块恰好可以保持静止，此时（已知重力加速度大小为，小物块未碰杆或地面）（　　） A．绳与水平方向的夹角为 B．绳的张力大小为 C．绳与水平方向的夹角为 D．绳的张力大小为 【答案】ABD 【详解】A．再次平衡时，以轻环为对象，根据平衡条件可知，绳与杆垂直，所以绳与水平方向的夹角为，故A正确； B．系统处于平衡状态，以小物块为对象，根据受力平衡可知，绳的张力大小为，故B正确； C．绳在绳和系小物块的绳夹角的角平分线上，所以绳与水平方向的夹角为，故C错误； D．根据平衡条件可得绳的张力大小为 故D正确。 故选ABD。 【变式训练2】（2025·湖南郴州·三模）2025年蛇年春节前夕，小李同学看到工人在清洁学校礼堂的玻璃，如图甲所示。某时刻工人坐在质量不计的水平小木板上保持静止状态，小木板长边BC与竖直墙面平行（C端在纸内），工人手与墙壁、绳均不接触，腿与竖直墙的夹角β=53°，玻璃墙对脚的作用力沿腿方向，轻绳OA与竖直墙面的夹角α=37°，如图乙。连接小木板的两等长轻绳AB，AC的夹角θ=120°，且与OA在同一倾斜平面内，图丙为小木板、轻绳OA、AB、AC的平面图。工人及工具所受总重力为mg，sin37°=0.6，g为重力加速度，则（　　） A．AB绳的拉力为0.8mg B．玻璃墙对脚的作用力为0.75mg C．其他条件不变，增大θ角，OA的拉力变大 D．其他条件不变，增大α角，OA的拉力变小 【答案】A 【详解】AB．工人和木板整体受力如图所示 玻璃墙对脚的作用力为F，绳OA上的张力大小为FOA，根据平衡条件则有FOA=mgcos37°=0.8mg，F=mgsin37°=0.6mg 以A点为研究对象，AB、AC的夹角为120°，同理有FAB=FOA=0.8mg A正确, B错误； C．其他条件不变，增大θ角，OA的拉力不变，选项C错误； D．其他条件不变，增大α角，如图所示 OA的拉力变大，D错误。 故选A。 ． 考向2 用图解法解决动态平衡问题 例2 （2025·重庆·三模）如图，在厨房中，为了方便使用吸油纸，用一个固定于墙上顶端可转动的挂钩将吸油纸卷挂起，使用过程中吸油纸卷始终与挂钩挡板接触且有挤压，若不计挡板与吸油纸卷间的摩擦，使用过程中，当吸油纸卷逐渐减少时，则（　　） A．挡板对吸油纸卷作用力减小 B．挂钩对吸油纸卷作用力变大 C．挂钩对吸油纸卷作用力方向竖直向上 D．挡板和挂钩对吸油纸卷的合力保持不变 【答案】A 【详解】设挂钩对卷纸的作用力为F，方向指向左上方，挡板对卷纸的作用力为，则卷纸的受力情况如图所示 当卷纸逐渐减少时，F与竖直方向的夹角减小，重力减小，由图可知，F减小，减小，挡板和挂钩对卷纸的合力与重力大小相等，所以合力减小。 故选A。 【变式训练1】（2025·福建厦门·三模）垂钓中蕴含着许多力学技巧，提竿飞鱼时稍有不慎可能会断竿。如图甲所示，鱼竿中任意处的力可分解为沿竿身的切向张力及垂直于竿身的径向应力，径向应力越大鱼竿越容易断裂。提竿过程中某时刻鱼竿的形状如图乙所示，鱼线呈竖直状态，若鱼竿每个部位所能承受的最大径向应力相同，忽略鱼竿自身重力的影响，则鱼竿四个位置中最易断裂的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对鱼竿中的某点受力分析如图，鱼竿中该处的力可分解为沿竿身的切向张力及垂直于竿身的径向应力，两个力的合力与鱼重力mg等大反向，则当与mg夹角θ越小时越大，此时鱼竿越易断，由图可知b处鱼竿与水平方向的夹角θ最小，则最易断裂的是b。 故选B。 【变式训练2】（2025·甘肃白银·三模）挂灯笼在中国传统文化中寓意深远，挂灯笼不仅是为了增添节日气氛，更是蕴含真挚的祝福和期朌。如图所示，质量相等的两个灯笼A、B在、、三条细绳的作用下处于静止状态，、为结点，之间的绳子与竖直方向成角，保持与竖直方向的夹角为不变，用手使之间的绳子从水平状态缓慢沿逆时针方向旋转，则（　　） A．细绳上的拉力先减小后增大 B．细绳上的拉力一直增大 C．细绳上的拉力先增大后减小 D．细绳与竖直方向的夹角逐渐减小 【答案】D 【详解】AB．以结点为研究对象，如图甲所示 根据矢量三角形可知，细绳上的拉力逐渐减小，细绳上的拉力F也逐渐减小，故AB错误； CD．以结点为研究对象，如图乙所示 根据矢量三角形可知，细绳上的拉力逐渐减小，细绳与竖直方向的夹角逐渐减小，故C错误，D正确。 故选D。 加速度还未减为零，然后物体反向做加速直线运动，故C正确．故选ABC． 考向3 用相拟三角形法解决动态平衡问题 例3（2025·山东威海·三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力，将一根均匀的钢梁拉起，定滑轮位于钢梁端的正上方，拉起的过程中钢梁绕端缓慢转动。拉力的大小（　　） A．始终不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 【答案】C 【详解】对钢梁AB受力分析，向下的重力mg，细绳的拉力F以及地面对A点的作用力N（摩擦力和支持力的合力），三个力的合力交于一点，组成力的封闭三角形，则由相似三角形可知 则随着钢梁B点逐渐升高，则DC的减小，F减小。 故选C。 【变式训练1】（2025·广东·一模）如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔Q与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于P处。设小球的重力为G，细线与圆环竖直直径的夹角为，细线对小球的拉力大小为T。拉动细线使小球缓慢沿圆环向上移动，则下列T随变化的图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】对小球进行分析，小球受到重力、绳的拉力T与圆环的弹力N三个力的作用，令圆环的圆心为O，半径为R，则重力方向平行于图中虚线表示的直径，绳拉力方向沿绳，圆环弹力方向沿半径指向圆心，根据相似三角形有 根据几何关系有 解得 可知，T随变化的图像为余弦曲线关系，且最大值为2G，只有第四个选择项符合要求。 故选D。 考向4 用矢量圆法（正弦定理法）解决动态平衡问题 例4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）生活中，我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示，将质量为的货物平放在手推车底板上，此时底板水平。现缓慢压下把手，直至支架与水平面间的夹角为。不计货物与支架及底板间的摩擦，缓慢压下把手的过程中，下列说法正确的是（　　） A．货物所受的合外力一直增大 B．手推车对货物的作用力变小 C．底板对货物的支持力一直减小 D．当支架与水平面间的夹角为时，底板对货物的支持力为支架对货物的支持力的3倍 【答案】C 【详解】A．因为缓慢压下把手，货物所受的合外力一直不变，始终为零，故A错误； B．小推车对货物的作用力与重力等大反向，则小推车对货物的作用力方向竖直向上，且大小不变，故B错误； C．压下把手的过程中，两个弹力的夹角始终是90°，货物的受力情况如下图所示 由图可知，底板对货物的支持力N1一直减小，支架对货物的支持力N2一直增大，故C正确； D．当底板与水平面间的夹角为60°时，对货物受力分析，两个弹力的合力与重力等大反向，受力分析如下图所示 两个弹力N1与N2垂直，由平衡条件可得支架对货物的支持力 底板对货物的支持力 底板对货物的支持力为支架对货物的支持力，故D错误。 故选C。 【变式训练1】．（2025·河南·一模）两个完全相同的光滑小球A、B和两根等长的轻质细绳，按如图所示方式悬挂处于静止状态，、分别为A、B的球心。若从两球静止时的图示位置开始，在竖直平面内缓慢向右推A，直到与悬点O等高，且推力始终沿、连线的方向，整个过程两小球始终在同一竖直面内，两根细绳始终伸直。则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力一直减小 B．A对B的弹力先增大后减小 C．推力先增大后减小 D．轻绳的拉力先减小后增大 【答案】A 【详解】AB．对B，因A对B的弹力方向与轻绳OO2的夹角不变，利用辅助圆法，作出轻绳OO2的拉力F2与A、B间弹力N的变化情况如图所示 由图可知，OO2的拉力F2一直减小，A、B间的弹力N一直增大，故A正确，B错误； D．同理对A，轻绳OO1的拉力F1与F′（推力F和A、B间的弹力的合力）的变化情况如图所示 由图可知，F1一直减小，故D错误； C．刚开始阶段有，由于F′减小，N增大，则F增大，之后有，由于F′增大，N增大，则F增大，所以F一直增大，故C错误。 故选A。 考点二 平衡的临界与极值问题 知识点1 临界与极值问题的特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 知识点2 解决临界与极值问题的三种的方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 考向1 用物理分析法解决临界与极值问题 例1．（2025·山东潍坊·三模）多名网友发布四个篮球“抱团行走”的视频。据此，某同学提出问题，四个完全相同的篮球相互接触，按如图方式叠放，静止于水平地面。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则篮球与地面间的动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以四个篮球为整体，对地面的压力 则每个与地面接触的篮球对地面的压力 对上面篮球分析，则根据对称性可知下面三个篮球对上面篮球的作用力均相等，设为，与竖直方向的夹角设为，如图所示 由几何关系可得， 根据平衡条件 则 对下面任一篮球分析，根据平衡条件 解得 故选A。 【变式训练1】（2025·山东潍坊·一模）如图甲所示，用两根手指对称地抓起一个截面为圆的杯盖，将其简化成图乙所示，手指与杯盖截面始终处于竖直平面内，手指接触点1、2与圆心的连线与水平方向的夹角均为，手指和杯盖间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知杯盖质量为m，重力加速度为g，，杯盖始终在竖直平面内处于平衡状态，手指与杯盖恰好不相对滑动，则手指对触点1的压力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，对杯盖两接触点受力分析如图所示 由平衡条件有 又有 联立解得 故选A。 【变式训练2】（2025·河南·二模）如图，滑块P、Q的质量分别为mP=5kg，mQ=10kg。P与Q、Q与水平地面之间的动摩擦因数均为0.5。绳OA一端与P相连，另一端与竖直墙壁相连，绳刚好伸直，绳OA与水平方向夹角为θ，，重力加速度g=10m/s²。现通过力传感器水平作用于Q将它抽出。下列说法正确的是（　　） A．P受到的静摩擦力大小为15N B．将Q抽出力传感器的最小读数为90N C．当力传感器的读数为100N时，Q的加速度大小为2m/s² D．Q对地面的摩擦力大小为75N 【答案】C 【详解】ABD．P受到的是滑动摩擦力，对P进行受力分析，如图所示 由平衡条件，可得， 又， 解得， 对分析有 则将Q抽出力传感器的最小读数为 故ABD错误； C．由牛顿第二定律 解得 故C正确。 故选C。 考向2 用数学分析法解决临界与极值问题 例2．（2025·河北廊坊·一模）如图所示，运动员拖轮胎做负重训练时，用两根不计质量的等长细绳拴在质量为的轮胎直径两端，两根细绳之间的夹角为，轮胎与水平地面间的动摩擦因数为0.75。轮胎在地面上匀速运动时，已知，重力加速度取，则每根细绳的最小拉力是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两根细绳拉力的合力 设此时合力方向与水平方向的夹角为，轮胎做匀速直线运动，由力的平衡可得 整理可得每根细绳的拉力 其中，可见当时，细绳的拉力最小，为。 故选C。 【变式训练1】（2025·陕西·三模）在一个倾角为的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力，使物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动。已知重力加速度，则外力的最小值为（　　） A． B． C．12N D．16N 【答案】B 【详解】设外力与与斜面的夹角为，物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动 由垂直于斜面方向平衡得 由平行于斜面方向平衡得 又 设， 整理得 当时，外力有最小值 故选B。 考向3 用极限法解决临界与极值问题 例3．（2025·江西抚州·二模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为和的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面间的夹角为时，物块A、B刚好要滑动，则的值可能为（　　） A．B． C． D． 【答案】AD 【详解】9 若A相对B刚要上滑、B相对斜面刚要下滑，设轻绳中拉力为F，对A有，对B有，联立解得，A项正确，B项错误；若A相对B刚要下滑、B相对斜面刚要上滑，设轻绳中拉力为，对A有，对B有，联立解得，C项错误，D项正确。 1. （2024·安徽·高考真题） 如图所示,竖直平面内有两完全相同的轻质弹簧,它们的一端分别固定于水平线上的M、N两点,另一端均连接在质量为m的小球上.开始时,在竖直向上的拉力作用下,小球静止于MN连线的中点O,弹簧处于原长.后将小球竖直向上.缓慢拉至P点,并保持静止,此时拉力F大小为2mg.已知重力加速度大小为g,弹簧始终处于弹性限度内,不计空气阻力.若撤去拉力,则小球从P点运动到O点的过程中 (　) A.速度一直增大 B.速度先增大后减小 C.加速度的最大值为3g D.加速度先增大后减小 【答案】A 【解析】缓慢拉至P点,保持静止,由平衡条件可知此时拉力F、重力和两弹簧拉力的合力为零,此时两弹簧的合力大小为mg.当撤去拉力,则小球从P点运动到O点的过程中两弹簧的拉力与重力的合力始终向下,小球一直做加速运动,故A正确,B错误;小球从P点运动到O点的过程中,弹簧形变量变小,且两弹簧拉力夹角增大,故弹簧在竖直方向的合力不断变小,故小球所受合外力一直变小,加速度的最大值为刚撤去拉力时的加速度,由牛顿第二定律可知2mg=ma,加速度的最大值为2g,C、D错误. 2. （2022·湖南·高考真题2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于风速水平向右、大小恒定且不随高度改变，可认为单位高度飘带受到的风力相同，假设飘带总长为，质量为，由飘带自由端向上选取任意一段，该部分飘带的重力和所受风力分别为 该部分飘带稳定时受力平衡，受力分析如图所示 重力与风力的合力与剩余部分间的张力是平衡力，设竖直方向的夹角为，则满足 可知飘带与竖直方向的角度与所选取的飘带长度无关，在风速一定时，飘带与竖直方向的角度正切值恒定，则飘带为一条倾斜的直线。 故选A。 3. （2022·河北·高考真题如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A. 圆柱体对木板的压力逐渐增大 B. 圆柱体对木板的压力先增大后减小 C. 两根细绳上的拉力均先增大后减小 D. 两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【解析】 【详解】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 4. （2022·湖南·高考真题如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ） A. 当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M B. 电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变 C. tanθ与电流I成正比 D. sinθ与电流I成正比 【答案】D 【解析】 【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有 可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误； BCD．由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有 ，FT= mgcosθ 则可看出sinθ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cosθ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，BC错误、D正确。 故选D。 5. （2019·全国·高考真题）1如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A. 水平拉力的大小可能保持不变 B. M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C. M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D. M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【答案】BD 【解析】 【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大； 对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD． 6.（2017·天津·高考真题 如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是 ( ) A. 绳的右端上移到b′，绳子拉力变小` B. 绳的两端高度差越小，绳子拉力越大 C. 将杆N向右移一些，绳子拉力变大 D. 若换挂质量更大衣服，则衣服架悬挂点右移 【答案】C 【解析】 【详解】AB．因为衣服钩是光滑，所以绳子两端的拉力大小相同，设两杆间距为d，绳子长为L，左右两端绳子长度分别为L1、L2，绳子拉力为T，两部分与竖直夹角分别为、，根据题意有 因为衣架钩是光滑的，绳子拉力相等，所以 即 所以 绳的右端上移或绳的两端高度差改变，d与L均为定值，所以为定值，为定值，绳子拉力不变，故AB错误； C．杆N向右移一些，d变大 变大，变小，拉力变大，故C正确； D．挂质量更大的衣服，d与L均不变，绳中拉力变大，位置不变，故D错误。 故选C。 7．（2024·全国·高考真题）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量，重力加速度大小，当P绳与竖直方向的夹角时，Q绳与竖直方向的夹角 （1）求此时P、Q绳中拉力的大小； （2）若开始竖直下降时重物距地面的高度，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为和，竖直方向 水平方向 联立代入数值得 ， （2）整个过程根据动能定理得 解得两根绳子拉力对重物做的总功为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 共点力的平衡 目录 01 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 动态平衡问题 21 知识点1 动态平衡的常见类型 22 知识点2 处理动态平衡的方法 22 考向1 应用解析法处理动态平衡问题 25 考向2 应用图解法处理动态平衡问题 26 考向3 应用相拟三角形法得理动态平衡问题 27 考向4 应用矢量圆（正弦定理）处理动态平衡问题 30 考点二 平衡的临界与极值问题 21 知识点1 临界极值问题的特征 22 知识点2 处理临界极值问题的方法 22 考向1 应用物理分析法处理临界与极值问题 25 考向2 应用数学分析法处理临界与极值问题 26 考向3 应用极限法处理临界与极值问题 27 0429 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 动态平衡 选择题 非选择题 全国新课标T11，12分安徽卷T3，3分 \ 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对这部分内容的考查，大多以选择题的形式出现，通常情况下难度不大,会以实际生活中的例子作为试题背景，考查动态平衡与临界和极值问题。 3.备考建议：本讲内容备考时候，注意不同情况动态平衡用不同的方法求解。。 4.命题情境： ①生活实践类：生活中的重力、弹力、摩擦力的平衡，牵引物体、船只、机器人； ②学习探究类：斜面以及各类接触面 5.常用方法：整体法与隔离法、极限法 复习目标： 1.熟练掌握不同情况下的动态平衡问题的求解方法。 2.理解平衡的临界和极值问题，会解决用不同的方法求解临界和极值问题。 考点一 动态平衡 知识点1 动态平衡的常见问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 知识点2 解决动态平衡的方法 1.解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 2.图解法 此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题： 3.相似三角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 4.做题流程 考向1 用解析法解决动态平衡问题 例1 （2025·湖南长沙·三模）如图1所示，冰坑挑战是我国东北的传统游戏。某同学将该情景简化后的模型如图2所示，可看作游戏者在一圆心角为120°的圆弧轨道上移动，圆弧的半径为R。已知冰面与鞋底间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，游戏者的质量m=60kg，游戏者可看作质点，则下列说法正确的是（　　） A．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，最大静摩擦力不断增大 B．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，离O点的高度最大为 C．若游戏者从轨道最高点A无动力滑下后，可再次回到最高点 D．若游戏者从轨道最高点A无动力下滑到O点，游戏者的切向加速度先减小后增大 【变式训练1】2025·山西吕梁·三模）如图所示，将一光滑轻杆固定在水平地面上，杆与地面间的夹角为，一光滑轻环套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环上，轻绳另一端系一质量为的小物块，用手扶住小物块使恰好在竖直方向。现用手扶着小物块使其缓慢向下运动，到达某位置时松手，小物块恰好可以保持静止，此时（已知重力加速度大小为，小物块未碰杆或地面）（　　） A．绳与水平方向的夹角为 B．绳的张力大小为 C．绳与水平方向的夹角为 D．绳的张力大小为 【变式训练2】（2025·湖南郴州·三模）2025年蛇年春节前夕，小李同学看到工人在清洁学校礼堂的玻璃，如图甲所示。某时刻工人坐在质量不计的水平小木板上保持静止状态，小木板长边BC与竖直墙面平行（C端在纸内），工人手与墙壁、绳均不接触，腿与竖直墙的夹角β=53°，玻璃墙对脚的作用力沿腿方向，轻绳OA与竖直墙面的夹角α=37°，如图乙。连接小木板的两等长轻绳AB，AC的夹角θ=120°，且与OA在同一倾斜平面内，图丙为小木板、轻绳OA、AB、AC的平面图。工人及工具所受总重力为mg，sin37°=0.6，g为重力加速度，则（　　） A．AB绳的拉力为0.8mg B．玻璃墙对脚的作用力为0.75mg C．其他条件不变，增大θ角，OA的拉力变大 D．其他条件不变，增大α角，OA的拉力变小 ． 考向2 用图解法解决动态平衡问题 例2 （2025·重庆·三模）如图，在厨房中，为了方便使用吸油纸，用一个固定于墙上顶端可转动的挂钩将吸油纸卷挂起，使用过程中吸油纸卷始终与挂钩挡板接触且有挤压，若不计挡板与吸油纸卷间的摩擦，使用过程中，当吸油纸卷逐渐减少时，则（　　） A．挡板对吸油纸卷作用力减小 B．挂钩对吸油纸卷作用力变大 C．挂钩对吸油纸卷作用力方向竖直向上 D．挡板和挂钩对吸油纸卷的合力保持不变 【变式训练1】（2025·福建厦门·三模）垂钓中蕴含着许多力学技巧，提竿飞鱼时稍有不慎可能会断竿。如图甲所示，鱼竿中任意处的力可分解为沿竿身的切向张力及垂直于竿身的径向应力，径向应力越大鱼竿越容易断裂。提竿过程中某时刻鱼竿的形状如图乙所示，鱼线呈竖直状态，若鱼竿每个部位所能承受的最大径向应力相同，忽略鱼竿自身重力的影响，则鱼竿四个位置中最易断裂的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·甘肃白银·三模）挂灯笼在中国传统文化中寓意深远，挂灯笼不仅是为了增添节日气氛，更是蕴含真挚的祝福和期朌。如图所示，质量相等的两个灯笼A、B在、、三条细绳的作用下处于静止状态，、为结点，之间的绳子与竖直方向成角，保持与竖直方向的夹角为不变，用手使之间的绳子从水平状态缓慢沿逆时针方向旋转，则（　　） A．细绳上的拉力先减小后增大 B．细绳上的拉力一直增大 C．细绳上的拉力先增大后减小 D．细绳与竖直方向的夹角逐渐减小 考向3 用相拟三角形法解决动态平衡问题 例3（2025·山东威海·三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力，将一根均匀的钢梁拉起，定滑轮位于钢梁端的正上方，拉起的过程中钢梁绕端缓慢转动。拉力的大小（　　） A．始终不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 【变式训练1】（2025·广东·一模）如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔Q与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于P处。设小球的重力为G，细线与圆环竖直直径的夹角为，细线对小球的拉力大小为T。拉动细线使小球缓慢沿圆环向上移动，则下列T随变化的图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   考向4 用矢量圆法（正弦定理法）解决动态平衡问题 例4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）生活中，我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示，将质量为的货物平放在手推车底板上，此时底板水平。现缓慢压下把手，直至支架与水平面间的夹角为。不计货物与支架及底板间的摩擦，缓慢压下把手的过程中，下列说法正确的是（　　） A．货物所受的合外力一直增大 B．手推车对货物的作用力变小 C．底板对货物的支持力一直减小 D．当支架与水平面间的夹角为时，底板对货物的支持力为支架对货物的支持力的3倍 【变式训练1】．（2025·河南·一模）两个完全相同的光滑小球A、B和两根等长的轻质细绳，按如图所示方式悬挂处于静止状态，、分别为A、B的球心。若从两球静止时的图示位置开始，在竖直平面内缓慢向右推A，直到与悬点O等高，且推力始终沿、连线的方向，整个过程两小球始终在同一竖直面内，两根细绳始终伸直。则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力一直减小 B．A对B的弹力先增大后减小 C．推力先增大后减小 D．轻绳的拉力先减小后增大 考点二 平衡的临界与极值问题 知识点1 临界与极值问题的特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 知识点2 解决临界与极值问题的三种的方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 考向1 用物理分析法解决临界与极值问题 例1．（2025·山东潍坊·三模）多名网友发布四个篮球“抱团行走”的视频。据此，某同学提出问题，四个完全相同的篮球相互接触，按如图方式叠放，静止于水平地面。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则篮球与地面间的动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·山东潍坊·一模）如图甲所示，用两根手指对称地抓起一个截面为圆的杯盖，将其简化成图乙所示，手指与杯盖截面始终处于竖直平面内，手指接触点1、2与圆心的连线与水平方向的夹角均为，手指和杯盖间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知杯盖质量为m，重力加速度为g，，杯盖始终在竖直平面内处于平衡状态，手指与杯盖恰好不相对滑动，则手指对触点1的压力为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·河南·二模）如图，滑块P、Q的质量分别为mP=5kg，mQ=10kg。P与Q、Q与水平地面之间的动摩擦因数均为0.5。绳OA一端与P相连，另一端与竖直墙壁相连，绳刚好伸直，绳OA与水平方向夹角为θ，，重力加速度g=10m/s²。现通过力传感器水平作用于Q将它抽出。下列说法正确的是（　　） A．P受到的静摩擦力大小为15N B．将Q抽出力传感器的最小读数为90N C．当力传感器的读数为100N时，Q的加速度大小为2m/s² D．Q对地面的摩擦力大小为75N 考向2 用数学分析法解决临界与极值问题 例2．（2025·河北廊坊·一模）如图所示，运动员拖轮胎做负重训练时，用两根不计质量的等长细绳拴在质量为的轮胎直径两端，两根细绳之间的夹角为，轮胎与水平地面间的动摩擦因数为0.75。轮胎在地面上匀速运动时，已知，重力加速度取，则每根细绳的最小拉力是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·陕西·三模）在一个倾角为的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力，使物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动。已知重力加速度，则外力的最小值为（　　） A． B． C．12N D．16N 考向3 用极限法解决临界与极值问题 例3．（2025·江西抚州·二模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为和的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面间的夹角为时，物块A、B刚好要滑动，则的值可能为（　　） A．B． C． D． 1. （2024·安徽·高考真题） 如图所示,竖直平面内有两完全相同的轻质弹簧,它们的一端分别固定于水平线上的M、N两点,另一端均连接在质量为m的小球上.开始时,在竖直向上的拉力作用下,小球静止于MN连线的中点O,弹簧处于原长.后将小球竖直向上.缓慢拉至P点,并保持静止,此时拉力F大小为2mg.已知重力加速度大小为g,弹簧始终处于弹性限度内,不计空气阻力.若撤去拉力,则小球从P点运动到O点的过程中 (　) A.速度一直增大 B.速度先增大后减小 C.加速度的最大值为3g D.加速度先增大后减小 2. （2022·湖南·高考真题2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（　　） A. B. C. D. 3. （2022·河北·高考真题如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A. 圆柱体对木板的压力逐渐增大 B. 圆柱体对木板的压力先增大后减小 C. 两根细绳上的拉力均先增大后减小 D. 两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 4. （2022·湖南·高考真题如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ） A. 当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M B. 电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变 C. tanθ与电流I成正比 D. sinθ与电流I成正比 5. （2019·全国·高考真题）1如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A. 水平拉力的大小可能保持不变 B. M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C. M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D. M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 6.（2017·天津·高考真题 如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是 ( ) A. 绳的右端上移到b′，绳子拉力变小` B. 绳的两端高度差越小，绳子拉力越大 C. 将杆N向右移一些，绳子拉力变大 D. 若换挂质量更大衣服，则衣服架悬挂点右移 7．（2024·全国·高考真题）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量，重力加速度大小，当P绳与竖直方向的夹角时，Q绳与竖直方向的夹角 （1）求此时P、Q绳中拉力的大小； （2）若开始竖直下降时重物距地面的高度，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$