第11讲 锐角的三角函数 （知识清单+12大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第11讲 锐角的三角函数 （知识清单+12大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 已知余弦求边长 题型六 求角的正切值 题型七 已知正切值求边长 题型八 特殊三角形的三角函数 题型九 特殊角三角函数值的混合运算 题型十 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型十一 互余两角三角函数的关系 题型十二 三角函数综合 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型练习 【题型一】正弦的概念辨析 【例1】（九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．不能确定 【举一反三】 1．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 2．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ． 3．（全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【题型二】求角的正弦值 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【题型三】已知正弦值求边长 【例3】（2025·安徽亳州·一模）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【举一反三】 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（    ）    A．1 B．2 C． D． 2．（九年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【题型四】求角的余弦值 【例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的高线，垂足为点是的中线．，． (1)求的长； (2)求的值． 【题型五】已知余弦求边长 【例5】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在矩形中，于点E，设，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则BD的长为 ． 3．（九年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标； （2）若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型六】求角的正切值 【例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在中，．若．则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 ． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，于点D． (1)求的值； (2)求的长． 【题型七】已知正切值求边长 【例7】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在中，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【举一反三】 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如果是锐角，且，那么的值是 ． 3．（2024·安徽滁州·二模）如图1，在中， 在内作，其中点D，E分别在边，上，过点 B作，垂足为点 F，且交 于点G． (1)求证：； (2)如图2，若是的中线，且，求 的值． 【题型八】特殊三角形的三角函数 【例8】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）下列三角函数的值为有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，则为 三角形． 3．（2024·安徽滁州·三模）计算：． 【题型九】特殊角三角函数值的混合运算 【例9】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽马鞍山·期中）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）计算：． 【题型十】根据特殊角三角函数值求角的度数 【例10】（2024·安徽亳州·模拟预测）若，则锐角的度数应是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知为锐角，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如果锐角满足，则的大小是 ． 3．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E． (1)若于点E，如图1． ①证明：； ②若，求的度数； (2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值． 【题型十一】互余两角三角函数的关系 【例11】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【题型十二】三角函数综合 【例12】（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知 为锐角，则的值（    ） A． ​ B． ​ C． ​ D． ​ 【举一反三】 1．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，三边之比为，则 ． 3．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯．已知为，测角仪支架和的高为，小欢在E处测得激光灯底部点D的仰角为，小乐在F处测得激光灯顶部点C的仰角为，．请根据相关测量信息，求出激光灯底部点D到地面的距离的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，） 好题必刷 一、单选题 1．如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（   ） A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 2．小明沿着与地面成30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 3．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 4．已知，且是锐角，则（    ） A． B． C． D． 5．在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,b=8,则c=(　　) A．10 B．25 C．6 D．50 6．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 7．在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是(   ) A．45° B．60° C．75° D．105° 8．如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（   ） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大 9．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：tan45°-cos30°= ． 12．比较大小： ．（填“，或”） 13．在△ABC中，若＋(tanA－)2＝0，则△ABC是 三角形． 14．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan∠A的值是 ． 15．4cos30°++|﹣2|= ． 16．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为 ． 17．如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为 ．      18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即sinA＝ ，把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即cos A＝ ，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记作 ，即tan A＝ 三、解答题 19．用计算器求下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）． 20．求下列直角三角形中字母所表示的值． 21．（1）计算： （2）计算：（16x2y2z+8x2y2z）÷8x2y2 22．用计算器求下列各式的值．（精确到0.0001） （1）；      （2）； （3）；       （4）． 23．（1）计算：sin30°+（）﹣2+（﹣1）0； （2）计算： ． 24．用计算器求下列各式的值（精确到）． (1)； (2)； (3)； (4) 25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD＝，求sinA，cosA，tanA的值． 26．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 锐角的三角函数 （知识清单+12大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 正弦的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 已知余弦求边长 题型六 求角的正切值 题型七 已知正切值求边长 题型八 特殊三角形的三角函数 题型九 特殊角三角函数值的混合运算 题型十 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型十一 互余两角三角函数的关系 题型十二 三角函数综合 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型练习 【题型一】正弦的概念辨析 【例1】（九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】由中，，，可得此时不唯一，从而可得答案. 【详解】解： 中，，， 两条边无法确定一个三角形，则的大小不能确定，故无法求解， 所以不能确定， 故选D 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟悉“锐角三角函数是在直角三角形中定义的”是解题的关键. 【举一反三】 1．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 2．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ． 【答案】 【知识点】正弦的概念辨析、求角的正弦值 【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可. 【详解】解：过A作AD垂直于BC于D， 则AD=2，AC=， ∴sinC=. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键. 3．（全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型二】求角的正弦值 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了锐角三角函数关系，勾股定理，正确表示各边长是解题的关键．直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】在中，， 如图所示， ， ， 设， 则， ． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴； 故选B 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；连接，由勾股定理可分别得出的长，然后可得，进而根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三线合一、已知正切值求边长、求角的正弦值 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质． （1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：作，垂足为， ， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型三】已知正弦值求边长 【例3】（2025·安徽亳州·一模）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题主要考查了正弦的定义，掌握正弦等于直角三角形该角的对边与斜边的比成为解题的关键． 直接根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故选C． 【举一反三】 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知正弦值求边长、根据正方形的性质求线段长 【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，由，可得，则，如图，连接，作的延长线于，则是等腰直角三角形，，，在与夹角为的直线上运动，则的最小值为，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作的延长线于，    由题意知，，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接，作的延长线于， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴在与夹角为的直线上运动， ∴的最小值为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦是解题的关键． 2．（九年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为 【答案】9 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据正弦的定义得到sinA==，然后把AB=15代入计算即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， ∴sinA==， ∴BC=AB=×15=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 【题型四】求角的余弦值 【例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查解直角三角形，余弦定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查求余弦以及勾股定理，熟练掌握余弦的定义是解题关键． 先通过勾股定理求得，再通过角度关系得到，再通过余弦定义求出即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查了三角函数的求解，根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：如图，   ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的高线，垂足为点是的中线．，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义、余弦的定义、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由高线的定义可得，再由正切的定义可得，进行计算即可得出答案； （2）由（1）可知：，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，最后由余弦的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：是的高线， ， 在中，， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：， 在中，， 又是斜边上的中线， ， ， ． 【题型五】已知余弦求边长 【例5】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知余弦求边长 【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，即可得出结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在矩形中，于点E，设，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质求角度、已知余弦求边长、用勾股定理解三角形 【分析】根据同角的余角相等，得；根据锐角三角函数定义和勾股定理可求的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴ ∴， ， ， ， 在中，， 设， 则， 解得：， ． 故选：A． 【点睛】此题综合运用了锐角三角函数的知识、矩形的性质．熟记各性质是解题的关键． 2．（九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则BD的长为 ． 【答案】或． 【知识点】已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接CD，先根据折叠的性质得出，再根据△EFC和△ABC相似，分两种情况讨论：当时，先推出CD⊥AB，进而根据同角三角函数相等得出的值；当时，先推出，，进而根据等角对等边求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4， ∴， 若△CEF与△ABC相似，分两种情况： ①当时，EF∥AB， 连接CD，如图1所示： ∵由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5， ∴cosB， ∵在Rt△BDC中，cosB， ∴BD=BC•cosB=4； ②当时，∠CEF=∠A， 连接CD，如图2所示： ∵由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴∠CEF+∠ECD=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠B=∠ECD， ∴BD=CD， 同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD， ∴D点为AB的中点， ∴BDAB， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、折叠的性质、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 3．（九年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标； （2）若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长 【分析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了； （2）先求解的坐标，再可以分三种情况： ①当∠P1DA=90°时，利用两边对应成比例且夹角相等进行解题即可；②当∠P2AD=90°时，利用两边对应成比例且夹角相等进行解题即可；③当AP3D=90°时，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2． ∴， ∴，经检验符合题意， ∴． 当时， ∴D（-2，4）． （2）存在．分三种情况： ， 令 则 解得： 令 则 ①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，作轴于 则OE=2，DE=4，∠DEA=90°， ∴AE=OA-OE=6-2=4=DE． ∴∠DAE=∠ADE=45°，， ∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=． ∵DM⊥y轴，OA⊥y轴， ∴， ∴∠MDE=∠DEA=90°， ∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=． ∴P1M=DM=2，． 此时又因为∠AOC=∠P1DA=90°， ∴Rt△ADP1∽Rt△AOC， ∴OP1=OM-P1M=4-2=2， ∴P1（0，2）． ∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC， 此时P1点的坐标为（0，2） ②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°， ∴， ∴ ∴ ∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在． ③当∠AP3D=90°时， 因为： 整理得： 此时 所以方程无解，故不存在， ∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，由清晰的分类讨论思想是解题的关键. 【题型六】求角的正切值 【例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在中，．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作．根据正切函数的定义，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．在中，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，在的正方形网格图中， 在中，， ． 故选：D． 2．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先求出，然后利用利用解题即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，于点D． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三线合一、求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点A作交于点E，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理得到，由锐角三角函数的定义即可得到答案； （2）过点A作交于点E，由，进一步即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．． 在中， ∵， ∴． （2）解：如图，同（1），过点A作交于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 又∵由（1）求得， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 【题型七】已知正切值求边长 【例7】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在中，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查利用正切定义求边长，先根据题意，作出图形，如图所示，在中，由正切的定义，数形结合得到，即可得到答案，熟记正切定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，则， 解得， 故选：A． 【举一反三】 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可， 【详解】解：∵直线与坐标轴交于点、， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如果是锐角，且，那么的值是 ． 【答案】/ 【知识点】已知正切值求边长、求角的正弦值 【分析】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在，，，由，可设，则，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，在，，， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 3．（2024·安徽滁州·二模）如图1，在中， 在内作，其中点D，E分别在边，上，过点 B作，垂足为点 F，且交 于点G． (1)求证：； (2)如图2，若是的中线，且，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】（1）证明，，可证； （2）作，利用三角形相似，平行线分线段成比例定理，正切函数列式计算即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． 【详解】（1）证明∵ ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，作. ∵， ∴设,则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 由(1)可知， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型八】特殊三角形的三角函数 【例8】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握的正弦值为． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）下列三角函数的值为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的定义、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键． 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中，是有理数，故符合要求； B中，是无理数，故不符合要求； C中，是无理数，故不符合要求； D中，是无理数，故不符合要求； 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，则为 三角形． 【答案】等边/正 【知识点】特殊三角形的三角函数、绝对值非负性、等边三角形的判定 【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，根据特殊角的三角函数值求出，的值，进而可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形． 故答案为：等边． 3．（2024·安徽滁州·三模）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算，即可求解． 【详解】解： ． 【题型九】特殊角三角函数值的混合运算 【例9】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．利用特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽马鞍山·期中）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】根据特殊角三角函数值, 可得答案. 【详解】解：A. sin -sin =，故A符合题意; B.,故B不符合题意; C., 故 C不符合题意; D.,故D不符合题意; 故选: A. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义及运算，注意运算的准确性. 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键，还要熟记特殊角三角函数值．根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为： 3．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数值，掌握运算法则是解本题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：原式     ． 【题型十】根据特殊角三角函数值求角的度数 【例10】（2024·安徽亳州·模拟预测）若，则锐角的度数应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由可得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知为锐角，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数，根据，得到，进行求解即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如果锐角满足，则的大小是 ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：∵锐角满足， ∴的大小是， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E． (1)若于点E，如图1． ①证明：； ②若，求的度数； (2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】（1）①根据四边形为矩形性质，证明；②根据四边形为矩形性质，证明，证得，，设，则，通过相似得到，根据三角函数，求得； （2）过点F作于H，设，则，由勾股定理得： ，面积相等，解得： ，解得． 【详解】（1）①证明：∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 则， ∴； （2）解：过点F作于H， 设，则， 由勾股定理得： ， ∵点F是的中点， ∴， 则， ∵， ∴， 解得： ， 则． 【点睛】此题考查了为矩形性质、三角形相似、三角函数，解题关键是熟悉矩形性质、三角形相似、三角函数的相关知识． 【题型十一】互余两角三角函数的关系 【例11】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】根据同角三角函数的关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，掌握“一个角的正弦值等于它的余角的余弦值”是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ． 【答案】0.618/ 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：0.618． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【知识点】互余两角三角函数的关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【题型十二】三角函数综合 【例12】（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知 为锐角，则的值（    ） A． ​ B． ​ C． ​ D． ​ 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、三角函数综合 【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设在直角三角形中，，， 故，， 则， 故选A． 【点睛】此题综合考查了锐角三角函数的概念，以及三角形的三边关系． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数综合 【分析】先根据正弦的概念进行判断，然后根据余角的定义找与∠A相等的角再结合正弦定义解答即可. 【详解】解：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， ∴sinA=,故A正确； ∵∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠COD=90°， ∴∠A=∠COD， ∴sinA=sin∠COD= ,故B正确； ∵∠BOE=∠COD， ∴∠A=∠BOE， ∴sinA=sin∠BOE=.故D正确 故答案为C. 【点睛】本题考查了正弦的定义以及根据直角三角形的性质寻找相等的角，其中根据直角三角形的性质寻找与∠A相等的角是解答本题的关键. 2．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，三边之比为，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数综合、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据判定三角形是直角三角形，根据三角函数的定义计算即可． 【详解】∵， 设， 且， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数的混合运算，正确运用勾股定理的逆定理，合理运算是解题的关键． 3．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯．已知为，测角仪支架和的高为，小欢在E处测得激光灯底部点D的仰角为，小乐在F处测得激光灯顶部点C的仰角为，．请根据相关测量信息，求出激光灯底部点D到地面的距离的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，） 【答案】 【知识点】三角函数综合 【分析】如图：延长交于N，易得是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用三角函数可求出，从而求得的长． 【详解】解：如图，延长EF交CH于点N， 则，． ∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 答：点D到地面的距离的长约为． 【点睛】本题考查了利用三角函数的应用，正确做辅助线构造直角三角形是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（   ） A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答． 【详解】三角形各边长度都扩大为原来的3倍， ∴得到的三角形与原三角形相似， ∴锐角A的大小不变， ∴锐角A的正弦、余弦值不变， 故选：C． 【点睛】三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化． 2．小明沿着与地面成30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】A 【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，可画出三角形，结合图形运用三角函数求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵AB=2，∠C=90°，∠A=30°． ∴他下降的高度BC=AB×sin30°=1（米）． 故选A 【点睛】此题主要考查了坡度的定义和特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90° ∵，且 ∴0°＜α＜60° ∴45°＜α＜60°． 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 4．已知，且是锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，然后再根据特殊角的三角函数值求角度即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴=． 故选D． 【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值求角度、一元一次方程等知识点，将整体当做未知数成为解答本题的关键． 5．在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,b=8,则c=(　　) A．10 B．25 C．6 D．50 【答案】A 【分析】根据正弦值找到a、c之间的关系，然后利用勾股定理求出用含有x的式子表示的b值，根据已知b值求出x后，即可解答． 【详解】sinA==a：c， 设a=3x，则c=5x， 由勾股定理知，b==4x=8， ∴x=2，c=10． 故选A． 【点睛】本题利用了设适当的参数后，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解的． 6．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图：   ， 由勾股定理，得 AC===2， 由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA===， 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦． 7．在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是(   ) A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°. 8．如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（   ） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大 【答案】D 【分析】本题的考点是特殊三角形的三角函数，方法是熟记特殊三角形的三角函数，根据正弦的定义：对边比斜边即可解答． 【详解】解：栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，升高的高度为， 在中，，为定值，随旋转角的增大而增大， 的值随的增大而增大， 的值一直变大 故选：D． 9．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 【答案】C 【详解】试题解析：∵sin30°=cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选C． 10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠ABC和∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的性质求出∠BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b． ∵AB=AC，∠A=36°， ∴． ∵BD平分∠ABC， ∴． ∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°． ∴∠BDC=∠C，AD=BD． ∴AD=BD=BC=b． ∴． ∵DE⊥AB， ∴． ∵∠ACB=∠BCD， ∴． ∴． ∴． ∴用a表示b得，（舍）． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关键． 二、填空题 11．计算：tan45°-cos30°= ． 【答案】1- 【分析】根据特殊角三角函数值代入求解即可. 【详解】解：tan45°-cos30°=1- 故答案为：1- 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键. 12．比较大小： ．（填“，或”） 【答案】< 【分析】比较与的值即可. 【详解】∵， ， ， ∴， 故答案为：. 【点睛】此题考查三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键. 13．在△ABC中，若＋(tanA－)2＝0，则△ABC是 三角形． 【答案】直角　 【分析】根据非负数的性质得到sinB= ，tanA= ，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A=60°，锐角B=30°，然后根据三角形内角和定理得到∠C=90°，即可得到结论． 【详解】根据题意得： sinB﹣ =0，tanA－ =0， ∴sinB= ，tanA= ， ∴锐角A=60°，锐角B=30°， ∴∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形． 故答案为直角． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 14．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan∠A的值是 ． 【答案】. 【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，为此，过B作BE∥AC交CD于E，得到△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【详解】解：如图，过B作BE∥AC交CD于E． ∴∠CBE＝∠ACB＝90°， 又∵AB＝BD， ∴CE＝ED，AC＝2BE． 又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则BC＝3x，AC＝2x， ∴tanA＝＝＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算． 15．4cos30°++|﹣2|= ． 【答案】3． 【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂法则、绝对值计算即可． 【详解】解：4cos30°++|﹣2| = =3； 故答案为：3 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，四边形是矩形，得出，可得，进而即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， 如图，过点作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，求得是解题的关键． 17．如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为 ．      【答案】 【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即sinA＝ ，把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即cos A＝ ，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记作 ，即tan A＝ 【答案】 正弦 sinA 余弦 cos A 正切 tan A 【解析】略 三、解答题 19．用计算器求下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】直接利用计算器求出三角函数值即可； 【详解】解：（1）原式≈0.23090＋0.30680＝0.5377； （2）原式≈0.84151−0.41421＝0.4273； （3）原式≈8.26355−0.99622≈7.2673； （4）原式≈0.22169−0.25882≈−0.0371． 【点睛】此题主要考查了用计算器求锐角的三角函数值，熟练应用计算器是解题关键． 20．求下列直角三角形中字母所表示的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】(1) 根据特殊角60三角函数关系便可求出a,b (2) 根据边的关系,边可以找到正切值，从而找到 【详解】(1)cos60    a= tan60      b=4 (2)tan= 【点睛】抓特殊角的三角函数关系，这样便可以顺利找到答案了. 21．（1）计算： （2）计算：（16x2y2z+8x2y2z）÷8x2y2 【答案】(1) ;(2) 3z 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解，利用负整数幂，零指数幂，绝对值的意义求解； （2）根据多项式除单项式的运算法则计算，即可得到（16x2y2z+8x2y2z）÷8x2y2的答案. 【详解】解：（1）原式＝； （2）原式＝2z+z＝3z． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，负整数幂，零指数幂，绝对值，整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键． 22．用计算器求下列各式的值．（精确到0.0001） （1）；      （2）； （3）；       （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】把度、分、秒统一为度，然后利用计算器进行计算即可．最后结果利用四舍五入法取小数点后四位． 【详解】根据题意用计算器求出： （1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了用计算器求三角函数值，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数是解题的关键． 23．（1）计算：sin30°+（）﹣2+（﹣1）0； （2）计算： ． 【答案】（1） ；(2) 【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）原式= （2）原式= 【点睛】考核知识点：三角函数，分式加减运算.掌握法则是关键. 24．用计算器求下列各式的值（精确到）． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0.45 (2)0.52 (3)0.64 (4)1.44 【分析】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，要注意把秒转化成分，把分转化为度． （1）分别把分化成度，然后利用计算器进行计算即可得解； （2）利用计算器进行计算即可得解； （3）把秒转化成分，把分转化成度，然后利用计算器进行计算即可得解． （4）利用计算器进行计算即可得解； 【详解】（1）解：， （2）解： （3）解： （4）解： 25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD＝，求sinA，cosA，tanA的值． 【答案】sinA＝，cosA＝，tanA＝ 【分析】根据三角形相似求出CD的长，再根据勾股定理求出AC的长，最后根据三角函数定义即可求出． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴△BCD∽△CAD， ∴＝，即CD＝4（负值舍去） 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝， 故答案为：sinA＝，cosA＝，tanA＝． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质的知识，掌握正弦、余弦、正切的定义是解答本题的关键． 26．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析 【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律 （2）根据（1）中规律即可 【详解】解：（1）由题图可知，. ∵， ， ， 又∵，且， ∴， ∴ ∵，， ， 又∵， ∴， ∴． ∵， ， 又∵，， ∴. ∴. 规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大. （2）； ； . 【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$