第02章 对称图形——圆 章节（27知识点回顾+40题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版）

第02章 对称图形——圆 章节（27知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 已知半径和圆上两点作圆 题型八 利用垂径定理求值 题型九 利用垂径定理求解其他问题 题型十 垂径定理的推论 题型十一 垂径定理的实际应用 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十三 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十四 判断确定圆的条件 题型十五 确定圆心(尺规作图) 题型十六 画圆(尺规作图) 题型十七 三角形外接圆的概念辨析 题型十八 求三角形外心坐标 题型十九 求特殊三角形外接圆的半径 题型二十 已知外心的位置判断三角形的形状 题型二十一 判断三角形外接圆的圆心位置 题型二十二 圆周角定理 题型二十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型二十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型二十五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型二十六 已知圆内接四边形求角度 题型二十七 求四边形外接圆的直径 题型二十八 判断直线和圆的位置关系 题型二十九 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三十 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型三十一 有关切线的概念辨析 题型三十二 判断或补全使直线为切线的条件 题型三十三 正多边形和圆的综合 题型三十四 求正多边形的中心角 题型三十五 已知正多边形的中心角求边数 题型三十六 求弧长 题型三十七 求扇形半径 题型三十八 求圆心角 题型三十九 求圆锥侧面积 题型四十 求圆锥的高 知识清单 知识点1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 知识点4. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 知识点5圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点6.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 知识点7.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 知识点8：垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点9：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点10：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 注意： （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点11：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点12：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点13．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点14．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点15．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点16．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点17．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点18．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点19．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点20．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点21．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点22．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点23．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点24．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点25．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点26．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点27．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型练习 题型一 圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，点、在上，，，则 ． 题型二 求圆中弦的条数 2．（九年级上·江苏扬州·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 求过圆内一点的最长弦 3．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 题型四 圆的周长和面积问题 4．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地    题型五 判断点与圆的位置关系 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读理解： 如图1、图2，点分别在外、在内，直线分别交于点，则的长度是点到上的点的最短距离，的长度是点到上的点的最长距离，这个模型被称为“一箭穿心”． (1)请就图1中为何最长进行证明； (2)若平面内的点到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______； (3)如图3，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在以点为圆心，1为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，求的值． 题型七 已知半径和圆上两点作圆 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    题型八 利用垂径定理求值 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是(   ) A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 题型九 利用垂径定理求解其他问题 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十 垂径定理的推论 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： (1)与是否相等?请说明理由； (2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 题型十一 垂径定理的实际应用 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 题型十三 利用弧、弦、圆心角的关系求证 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，，在上，．求证：． 题型十四 判断确定圆的条件 14．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十五 确定圆心(尺规作图) 15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 题型十六 画圆(尺规作图) 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 题型十七 三角形外接圆的概念辨析 17．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的两条弧是等弧；⑤直角三角形的外心是斜边的中点．其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型十八 求三角形外心坐标 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十九 求特殊三角形外接圆的半径 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 题型二十 已知外心的位置判断三角形的形状 20．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 题型二十一 判断三角形外接圆的圆心位置 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________； (2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________． (3)中所对的圆周角是________度，的长度________． 题型二十二 圆周角定理 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A、B、C是上的三个点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型二十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 题型二十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 24．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，交直径于点F，则　　　． 题型二十五 90度的圆周角所对的弦是直径 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二十六 已知圆内接四边形求角度 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，点，在上，且，作于点， (1)求点D到直线的距离 (2)求四边形的面积 题型二十七 求四边形外接圆的直径 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 题型二十八 判断直线和圆的位置关系 28．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型二十九 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 题型三十 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 30．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 题型三十一 有关切线的概念辨析 31．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 题型三十二 判断或补全使直线为切线的条件 32．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 题型三十三 正多边形和圆的综合 33．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型三十四 求正多边形的中心角 34．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型三十五 已知正多边形的中心角求边数 35．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 题型三十六 求弧长 36．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 题型三十七 求扇形半径 37．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm． 题型三十八 求圆心角 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为 ． 题型三十九 求圆锥侧面积 39．（2024·江苏盐城·中考真题）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为 ． 题型四十 求圆锥的高 40．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 对称图形——圆 章节（27知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 判断点与圆的位置关系 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 题型七 已知半径和圆上两点作圆 题型八 利用垂径定理求值 题型九 利用垂径定理求解其他问题 题型十 垂径定理的推论 题型十一 垂径定理的实际应用 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十三 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十四 判断确定圆的条件 题型十五 确定圆心(尺规作图) 题型十六 画圆(尺规作图) 题型十七 三角形外接圆的概念辨析 题型十八 求三角形外心坐标 题型十九 求特殊三角形外接圆的半径 题型二十 已知外心的位置判断三角形的形状 题型二十一 判断三角形外接圆的圆心位置 题型二十二 圆周角定理 题型二十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型二十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型二十五 90度的圆周角所对的弦是直径 题型二十六 已知圆内接四边形求角度 题型二十七 求四边形外接圆的直径 题型二十八 判断直线和圆的位置关系 题型二十九 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三十 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型三十一 有关切线的概念辨析 题型三十二 判断或补全使直线为切线的条件 题型三十三 正多边形和圆的综合 题型三十四 求正多边形的中心角 题型三十五 已知正多边形的中心角求边数 题型三十六 求弧长 题型三十七 求扇形半径 题型三十八 求圆心角 题型三十九 求圆锥侧面积 题型四十 求圆锥的高 知识清单 知识点1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 知识点4. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 知识点5圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点6.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 知识点7.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 知识点8：垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点9：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点10：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 注意： （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点11：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点12：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点13．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点14．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点15．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点16．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点17．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点18．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点19．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点20．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点21．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点22．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点23．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点24．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点25．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点26．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点27．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型练习 题型一 圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，点、在上，，，则 ． 【答案】/40度 【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角 【分析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的相关性质、三角形的内角和定理．先利用邻补角性质和平行线的性质求得，再根据等边对等角性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 求圆中弦的条数 2．（九年级上·江苏扬州·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求圆中弦的条数 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 题型三 求过圆内一点的最长弦 3．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 【答案】9 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S△OPC＝OC•PH＝3PH，则当PH最大时，S△OPC有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S△OPC有最大值9． 【详解】解：作PH⊥AB于H，如图， ∴OC=OB＋BC=AB+BC=6 ∵S△OPC＝OC•PH＝×6×PH＝3PH， ∴当PH最大时，S△OPC有最大值， ∵PH≤OP， ∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S△OPC有最大值9， 即△OPC的面积的最大值是9cm2． 故答案为9． 【点睛】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的关键． 题型四 圆的周长和面积问题 4．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地    【答案】猫和老鼠同时到达 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】利用圆的周长公式即可求解． 【详解】解：以为直径的半圆的长是：； 设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则， 则老鼠行走的路径长是：． 故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达， 故答案为：猫和老鼠同时到达． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键． 题型五 判断点与圆的位置关系 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了外接圆的圆心，勾股定理， 先确定圆心的位置，再求出半径，即可判断答案． 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读理解： 如图1、图2，点分别在外、在内，直线分别交于点，则的长度是点到上的点的最短距离，的长度是点到上的点的最长距离，这个模型被称为“一箭穿心”． (1)请就图1中为何最长进行证明； (2)若平面内的点到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______； (3)如图3，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在以点为圆心，1为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2或5 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用点与圆的位置关系求半径、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）连接，根据中位线定理可得长的最大值为，当过圆心C时，最长，过B作轴于D，设，则，，根据勾股定理可得，列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）解：若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5； （3）解：连接，由对称性得：， 而Q是的中点， ∴ ∵的长的最大值为，则长的最大值为， 如图所示： 当过圆心C时，最长，过B作轴与D， ， ，B在直线上， 设，则，， 在 中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：（舍去），或， ∴， ∵B在反比例函数的图象上， ． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，三角形三边关系的应用，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大． 题型七 已知半径和圆上两点作圆 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【知识点】一元二次方程的解、用勾股定理解三角形、已知半径和圆上两点作圆 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 题型八 利用垂径定理求值 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是(   ) A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】根据垂径定理可得，由含角的直角三角形的性质，可得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，进而求出圆的半径，即可求解． 【详解】解：于点，， ， 又， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：（负值已舍去）， 半径为， ，且， 点在外， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． 题型九 利用垂径定理求解其他问题 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题主要考查圆的概念及垂径定理，熟练掌握圆的每个概念及垂径定理是解题的关键．根据相关概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦 ，正确； ②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦 ，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧 ，故③错误； ④、是的两条弦，被垂直平分， 过圆心，即为直径， 则，正确． 综上所述，说法中正确的个数是2个． 故选：B． 题型十 垂径定理的推论 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： (1)与是否相等?请说明理由； (2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)不正确，图见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、垂径定理的推论 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图——线段垂直平分线的作法： （1）根据垂径定理的推论进行判断； （2）平分线段，而不是所对的弦，因此不能平分，可得小亮做法不正确，正确的作法应该是连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求的点P． 【详解】（1）解：与相等， 理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （2）解：不正确，作图如下． 题型十一 垂径定理的实际应用 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为 (2)该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； （2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求解 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理； （1）过点作交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 题型十三 利用弧、弦、圆心角的关系求证 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵＝， ∴＝， ∴， ∴． 题型十四 判断确定圆的条件 14．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析、判断确定圆的条件 【分析】本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义，三角形外形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义，三角形外形的性质一一判断即可． 【详解】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意； ②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意； ③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误，符合题意； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故⑤错误，符合题意； 故不正确的有①②③⑤， 故选：D． 题型十五 确定圆心(尺规作图) 15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 题型十六 画圆(尺规作图) 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见详解 【知识点】画圆(尺规作图) 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O 【详解】 题型十七 三角形外接圆的概念辨析 17．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的两条弧是等弧；⑤直角三角形的外心是斜边的中点．其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析、判断三角形外接圆的圆心位置、判断确定圆的条件 【分析】此题考查了等弧、确定一个圆的条件、三角形的外心等知识，根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：①等弧所对的圆心角相等，命题正确； ②经过不在同一条直线上的三个点一定可以作圆，故选原命题错误； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，命题正确； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误； ⑤直角三角形的外心是斜边的中点，命题正确． 综上可知正确的有①③⑤， 故选：C 题型十八 求三角形外心坐标 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)见详解 【知识点】求三角形外心坐标、利用垂径定理求值、勾股定理与网格问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， （2）解：依题意，的中点如图所示． 题型十九 求特殊三角形外接圆的半径 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断点D在的外接圆上运动是解题的关键． 先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等边三角形的判定和性质求出，，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当E、D、B三点共线时，最小，最小值为， 故答案为：． 题型二十 已知外心的位置判断三角形的形状 20．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 题型二十一 判断三角形外接圆的圆心位置 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________； (2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________． (3)中所对的圆周角是________度，的长度________． 【答案】(1)； (2) (3)， 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、 求圆弧的度数、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，求弧的度数等知识点，熟知三角形外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． （1）根据圆心是线段、的垂直平分线的交点，结合网格的特点画出点的位置，进而得到点的坐标，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设的外接圆与轴的另一个交点为，根据点在线段的垂直平分线上，求出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后利用弧长的度数即可求出圆周角的度数； 【详解】（1）解：如图所示，点的位置即为圆心位置， 圆心的坐标为， ， 圆的半径为， 故答案为：，． （2）解：设的外接圆与轴的另一个交点为， 点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为， 点的坐标为， 的外接圆与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． （3）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的度数为，所对的圆周角是， 故答案为： ，． 题型二十二 圆周角定理 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A、B、C是上的三个点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍即可解答 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 题型二十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； （2）根据证明，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）延长至点，使，连接，先证出，由全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，再证出，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，    由（2）知，， 在和中， ， ，， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能通过作辅助线，构造全等三角形是解决此题的关键． 题型二十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 24．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，交直径于点F，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析； （2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点F作于点M，于点N，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求的平分线；    证明：∵M是半圆的中点， ∴， ∴直径直径， ∴， ∴， 即平分． （2）如图2中，射线即为所求． （3）过点F作于点M，于点N． ∵是直径， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二十五 90度的圆周角所对的弦是直径 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，定点、、为3个格点，以点为圆心作圆，使点落在内，过点任意作弦，取的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了垂径定理，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理与网格问题；连接，，根据垂径定理得出，得到在以为直径的上运动，连接交于点，当重合时，取得最小值，根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示连接，， ∵的的中点 ∴， ∴， ∴在以为直径的上运动， 当重合时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 题型二十六 已知圆内接四边形求角度 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，为直径，点，在上，且，作于点， (1)求点D到直线的距离 (2)求四边形的面积 【答案】(1)4 (2)16 【知识点】根据旋转的性质求解、已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题考查了内接四边形的性质及圆周角定理，旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的判定及性质． （1）把绕点旋转到处，使与重合，可得，，，，得到，即、、三点共线，由，可知，可知点到直线的距离为的长度，即可求解； （2）由（1）可知，，而四边形是正方形，即可得． 【详解】（1）解：如图，把绕点旋转到处，使与重合， ， 在中，为直径， ， ， ， 、、三点共线， ， ， 点到直线的距离为的长度，即的长度， 点到直线的距离为4； （2）解：由（1）知，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 题型二十七 求四边形外接圆的直径 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【知识点】求四边形外接圆的直径、圆周角定理、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 题型二十八 判断直线和圆的位置关系 28．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查圆的概念、两圆的位置关系及圆的切线，掌握圆的相关性质是关键．分别以点、为圆心，以、为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 【详解】解：如图所示，作一个以点为圆心，以为半径的圆，以点为圆心，以为半径的圆． ∵， ∴两圆有一个交点，故和相切，其切线有条． 故选：C． 题型二十九 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 题型三十 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 30．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 题型三十一 有关切线的概念辨析 31．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】有关切线的概念辨析、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 题型三十二 判断或补全使直线为切线的条件 32．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、画圆(尺规作图)、判断或补全使直线为切线的条件 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    题型三十三 正多边形和圆的综合 33．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：D 题型三十四 求正多边形的中心角 34．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积、求正多边形的中心角 【分析】设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，根据正八边形的性质得，，点、、共线，且点是的中点，证明得，证明得，推出，可判断①；推出点与点重合，得，可得的度数，可判断③；在中，，得，根据等积法得，继而得到，，得，求解后可判断②；分别求出正八边形和四边形的面积，可判断④． 【详解】解：设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，， ∵八边形是正八边形， ∴， 每个内角的度数是：，中心角的度数是：， ∴， ， ∴， ∴点、、共线，且点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， 按同样的方法得， ∴， 在中，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴点是、的中点， ∴点与点重合， ∴， ∴，故结论③正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点．解题的关键是掌握正多边形的性质． 题型三十五 已知正多边形的中心角求边数 35．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、已知正多边形的中心角求边数 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 题型三十六 求弧长 36．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、求弧长 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 题型三十七 求扇形半径 37．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm． 【答案】12 【知识点】求扇形半径 【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：12． 题型三十八 求圆心角 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 重物上升， 点A转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 题型三十九 求圆锥侧面积 39．（2024·江苏盐城·中考真题）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 题型四十 求圆锥的高 40．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径、求圆锥的高 【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$