专题07 用空间向量研究夹角问题（3知识点+四大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 用空间向量研究夹角问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 知识点02：用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 知识点03：用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 【题型01：求异面直线所成角】 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·月考）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型02：求直线与平面所成角】 一、单选题 1．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·山东济宁·月考）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西河池·月考）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25高二下·广东广州·月考）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在三棱柱中，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且与平面所成角为，求与所成角的余弦值． 【题型03：求二面角及平面与平面所成角】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）如图所示，平面，四边形为矩形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 5．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【题型04：空间角中的探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二下·甘肃天水·期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E为AB的中点. (1)求平面EMC与平面MBC夹角的余弦值； (2)在线段AM上是否存在点P，使直线PE与平面MBC所成的角为?若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高二下·四川内江·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 7．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·月考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·青海西宁·月考）在正方体中，点，满足，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（2025·河南焦作·三模）如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的大小． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 9．（24-25高二下·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 10．（24-25高二下·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面平面. (1)证明：； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 11．（24-25高二下·浙江·期中）如图1，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到点的位置，且，得到如图所示的四棱锥. (1)求证:平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 12．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，平面⊥平面. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为，点为中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试探究在棱(不含端点)上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 13．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图所示，在三棱锥中，平面，，，为中点．    (1)证明：； (2)为上异于，的点，平面与平面夹角余弦值为，求． 14．（2025高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点，点在上，且，. (1)证明：平面平面. (2)点是线段上的一动点，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，//.在平面内过作//，交于，连.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为30°，求的最小值. 16．（24-25高二上·湖北襄阳·月考）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，. (1)求与平面所成角的大小； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 用空间向量研究夹角问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 知识点02：用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 知识点03：用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 【题型01：求异面直线所成角】 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写坐标，代入余弦公式即可求得. 【详解】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，.设直线与所成的角为，则，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 2．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出，，计算二者的数量积，即可得答案. 【详解】设中点为，中点为， 由正三棱柱性质知底面，底面， 则，， 又底面是等边三角形，是中点， 则． 以为原点，，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的棱长都为2， 则，，，， ∴，，则 ∴， 即异面直线和成角的余弦值为0, 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北·月考）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出，根据异面直线夹角公式即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，，得， 且，在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设异面直线AB与CD所成角为，则， 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故选：B. 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标运算公式结合基本不等式即可求出结果. 【详解】在长方体中，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设是的中点，所以. 设，， 因为，所以，所以， 设异面直线与所成角为， 因为异面直线成角的范围是， 则， 因为，所以，当且仅当时取等号， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值的最大值为. 故选：A. 5．（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设建立适当空间直角爱坐标系求得两直线方向向量，代入夹角公式即可计算求解. 【详解】取BC的中点，连接AF，则由题意可得,，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以， 所以直线AC与直线所成角的余弦值为．故选：A 【题型02：求直线与平面所成角】 一、单选题 1．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东济宁·月考）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用线面角公式计算即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，, 设平面的法向量为， 则，设，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， . 故选：C. 3．（24-25高二上·广西河池·月考）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，， 如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H， 以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 可得平面的一个法向量为， 设到平面的夹角为， 则， 可得，所以到平面的夹角余弦值为. 故选：B． 二、解答题 4．（24-25高二下·广东广州·月考）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，通过证明可完成证明； （2）通过证明，可建立如图所示空间直角坐标系，求出平面平面PBC法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则， 且，从而四边形为平行四边形. 则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB； （2）如图取AD中点为O，连接OP，OB. 因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 则.因，， 则四边形为平行四边形，则，，结合， 则，，结合，则为等边三角形， 得.又，，则，故. 又，平面ADCB，则. 故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系. 则， 因E为PD的中点，则. 从而，，. 设平面PBC法向量为，则， 取，设直线CE与平面PBC的夹角为， 则，从而. 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在三棱柱中，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且与平面所成角为，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）根据面面垂直可得平面，结合平行关系即可得线线垂直； （2）建系标点，设，根据题意结合空间向量列式求，进而可求线线夹角. 【详解】（1）因为，平面平面，平面平面，平面， 可得平面，且平面，则， 又因为∥，所以. （2）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为平面平面， 可知轴所在直线包含于平面，且点在平面内的投影落在直线上， 则， 设，则， 可得， 因为，即， 又因为与平面所成角为，且平面的法向量为， 则， 整理可得， 联立方程，解得或， 若，则， 可得， 所以与所成角的余弦值为； 若，则， 可得， 所以与所成角的余弦值为； 综上所述：与所成角的余弦值为或. 【题型03：求二面角及平面与平面所成角】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 2．（24-25高二上·北京·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可. 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 故选：B 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）如图所示，平面，四边形为矩形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过证明面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用法向量求空间中两个面的夹角的余弦值，进而得到正弦值. 【详解】（1）证明：四边形为矩形，. 又平面平面平面. 又，平面，平面， ∴平面. 又平面 平面平面. 又平面平面. （2） 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， . 设是平面的一个法向量，则 即,令，解得, 所以平面的一个法向量 又是平面的一个法向量， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 4．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的判定推理得证. （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）由，得，又，则是正三角形， ，在中，，， 即，于是，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）连接，连接，由，得, 由，得，于是，而平面，平面， 所以平面. （3）由（1）知，，而，四边形是梯形，即相交， 因此平面，在平面内作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得； （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解． 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以． （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则， 取，得， 设是平面的法向量，则， 取，得， 则平面与平面夹角的余弦值为． 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出平面，得出即可得证； （2）根据线面垂直建立空间直角坐标系，得出平面与平面的法向量即可得出二面角的余弦，再结合同角关系得出正弦. 【详解】（1）过作垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 因为为的中点，，所以， 又面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为为的中点，所以. （2）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为二面角的大小为， 所以即为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形，， 因为，为的中点， 所以. 所以. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得， 所以. 同理，平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 【题型04：空间角中的探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. （2）设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先证明，得平面，即得平面平面； （2）先由题意取中点，证明平面，建系，求出相关点和向量的坐标，依题设，计算出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1）因是正方形，则,因,故. 由,则.因,则平面， 又平面,故平面平面. （2）    如图，取的中点，连接,易得,因， 故即二面角的平面角，即， 易得,取中点，连接,过点作,交于， 因,故得正三角形，则, 由（1）得平面平面，且平面平面，平面， 故得平面. 因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则, 依题意，设,， 则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取. 设直线与平面所成的角为， 则，解得或， 因，故，即, 故当点是的一个四等分点（靠近点）时，直线与平面所成角的正弦值为,此时 3．（24-25高二下·甘肃天水·期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E为AB的中点. (1)求平面EMC与平面MBC夹角的余弦值； (2)在线段AM上是否存在点P，使直线PE与平面MBC所成的角为?若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据题意可得，利用线面垂直的性质定理得到，建立如图空间直角坐标系D-xyz，利用空间向量法求解面面所成角即可； （2）设，则，由（2）知平面MBC的法向量，利用空间向量法求解线面角，即可判断. 【详解】（1）连接DE，由四边形ABCD是菱形，， 所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 得，，， 设平面、平面MBC的一个法向量分别为、， 则， 令，得，令，得， ∴，， 得， 又平面与平面MBC的夹角为锐角， ∴平面与平面MBC所成角的余弦值为； （2）设，则，且， 由（2）知平面MBC的法向量为， 设直线PE与平面MBC的所成角为，则， 所以， 解得，不符合题意， ∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为． 4．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，位于的中点处，证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形是平行四边形，所以，从而得到线面平行； （2）先根据面面垂直得到线面垂直，是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）取中点，连接， ∵分别为的中点， ，， ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， ，， ，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， ∴平面.    （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高. 设，则，矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，      故. 设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，， . 由题意可得， 整理得，解得或，又因为，所以， 故存在点，位于的中点处满足题意. 5．（24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）在图1中，连接,交于点,证明，推得平面，由线面垂直即可证明面面垂直即得； （2）依题建系，写出相关点坐标，设，求出相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 6．（24-25高二下·四川内江·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，求得，结合勾股定理，可证，又根据面面垂直性质定理得出线面垂直，可证平面，根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）如图建系，求得各点坐标，进而可得，，坐标，即可求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得线面角的正弦值； （3）先设，再计算二面角计算余弦值为，计算求参. 【详解】（1）由等腰梯形中，， 过C做，交于，连接AC，如图所示 根据对称性可得，， 所以，可得， 又由， 所以，即， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由平面， 所以平面平面. （2）取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴正方向建立空间坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则，令，得一个法向量， 设直线与平面所成角为 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）点在棱（不包含端点）上，设， 因为平面的法向量为， 因为， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，所以，计算得； 所以，即得. 7．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值. 【详解】（1）在图1中，连接，交于点，，. 因为，，，，且， 所以，，. 因为，所以.    所以图2中，，，平面，所以平面. 平面.所以. （2）又因为，由，即，所以. 所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为中点，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设直线与平面所成的角为， 则. （3）因为，所以 所以，即. 则，，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设平面的法向量为， 则, 取. 设二面角为，由得：. 即， 整理得：， 解得：或. 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·月考）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 2．（24-25高二上·青海西宁·月考）在正方体中，点，满足，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线所成的角的余弦值，再根据同角的三角函数的基本关系式可求其正弦值. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为4， 则，，，， 故，， 故， 则与所成角的正弦值为， 故选：A 3．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的， 如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为， 所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 故选：B 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 设， 则， 因为， 所以，解得， 所以，则， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 5．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角. 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 【点睛】 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值． 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 二、解答题 7．（2025·河南焦作·三模）如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面，可得，结合，即可根据线面垂直的判定定理求证， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面法向量，，利用向量的夹角求解. 【详解】（1）在圆锥中，平面，平面,所以， 因为为的中点，，所以， 因为，平面，所以平面． （2）在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 因为，所以， 由（1）知平面的一个法向量为． 又，所以． 设平面的法向量为， 则取，则． 所以， 所以平面与平面的夹角为． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、均为边长为的正三角形， 所以，，且， 同理可得， 又因为，故，所以， 又因为，、平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 由得， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9．（24-25高二下·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点，连接，，由几何性质得四边形为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理证得结论； （2）取中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的法向量，由向量夹角余弦公式从而得锐二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又∵，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）取中点，连接， 由，点为中点，可得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为直线与平面所成的角为 ，                ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 10．（24-25高二下·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面平面. (1)证明：； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别取，的中点，，连接、、，则可证，由空间垂直关系转化可证，从而可证； （2）在平面内过作，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，如图， 则，，四边形为平行四边形，， 由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面， 平面，，又为的中点，. （2）由（1）知，平面，平面，得， 而，，，平面，则平面， 又，则平面，在平面内过作， 则，直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，， 得，而，解得， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则即取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 11．（24-25高二下·浙江·期中）如图1，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到点的位置，且，得到如图所示的四棱锥. (1)求证:平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【分析】（1）在中利用余弦定理求，证明为等边三角形，设的中点为，结合线面垂直判定定理及定义证明，再结合勾股定理证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）在题图1的中，因为，， 由余弦定理得， 连接，因为，，， 所以为正三角形， 设的中点为，连接，， 可得，又，所以， 又，平面， 所以平面，平面， 所以， 在中，，，所以， 在中，可得，又，可得， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）因为，所以， 又平面，且平面， 所以，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的角为，由题意可得为锐角， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，平面⊥平面. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为，点为中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试探究在棱(不含端点)上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理证明平面，由此可得，结合可证明平面，从而可完成证明； （2）先确定直线与平面所成的角，然后建立合适空间直角坐标系，再根据点的坐标表示出的坐标，计算出向量夹角的余弦值即可求得结果； （3）设出点坐标，然后求解出平面的一个法向量，直接取平面的一个法向量，根据法向量夹角余弦值的绝对值求解出结果. 【详解】（1）因为，且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）记，以为原点，以过点平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示， 因为平面，所以直线与平面所成的角即为， 又因为四边形为菱形，所以均为等边三角形， 由条件可知，， 因为点为中点，所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）假设存在满足要求，不妨设， 因为，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 取，则，所以， 取平面的一个法向量为， 所以，解得（舍去）， 所以的长为. 13．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图所示，在三棱锥中，平面，，，为中点．    (1)证明：； (2)为上异于，的点，平面与平面夹角余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，从而得到，再结合条件证明平面，由此可证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面与平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出的坐标，由此可求的值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面，所以， 因为，为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）以为原点，分别以，过平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 设，且， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 所以， 解得或（舍去） 所以为中点，所以. 14．（2025高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点，点在上，且，. (1)证明：平面平面. (2)点是线段上的一动点，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为线段上距离点长度为的点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用法向量相互垂直证明面面垂直即可. （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而求出面的法向量，再利用平面夹角的向量求法建立方程，求解参数，最后得到动点位置即可. 【详解】（1）由题可得平面，且底面为菱形， 则，故以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，又， 在中，，解得， ，，，，， 则，，. 设平面的法向量为，， 即，令，解得，， 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，， 即，令，解得，， 平面的一个法向量为. 而，平面平面. （2）底面是菱形，， 平面，且，平面，，. 又，，平面，平面. 平面，. 又，，，且， 在中，由余弦定理得， 即，，从而，. 又，平面，平面， 平面，得到平面， 为平面的一个法向量， 令，且，则 ，， 设平面的法向量为，则, 则，令，则，， 平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角的大小为， 则， 即，解得或（舍）.， 故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时点为线段上距离点长度为的点. 15．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，//.在平面内过作//，交于，连.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为30°，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据面面，推出面，以及，再根据，即可由线线垂直推出面，再由线面垂直即可推出面面垂直； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，结合法向量夹角的余弦和面面角余弦的关系，即可求得结果； （3）设，根据线面角，利用向量法求得关系，以及的范围；再求的长度，结合二次函数的单调性，即可求得其最小值. 【详解】（1）因为面面，面面，面，故可得面， 又因为面，故； 由题可知，，又面，故可得面， 又因为面，故可得面面. （2）由（1）可知面，又//，故可得面，又面，故； 对四边形，因为//，又//，且，故该四边形为矩形，故，； 对直角三角形，因为，故， 在△中，由余弦定理，故， 则，故，也即； 综上所述两两垂直，故以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：    则， ； 设平面的法向量， 故，即，解得，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量； 设平面的法向量， 故，即，解得，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量； 设平面与平面所成角为， 则，故平面与平面所成角的余弦值为. （3）因为为平面上的动点，故可设，，则，    又平面平面的一个法向量，直线与平面所成的角为30°， 故可得，整理可得：； 又，故可得； 又，故 又，在单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为. 综上所述，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键，一是根据点在面内，设出点的坐标；二是能够准确找到点的纵坐标和竖坐标之间的关系，再将问题转化为函数最小值的求解问题；三，本题计算量相对较大，注意计算的速度和准确性即可. 16．（24-25高二上·湖北襄阳·月考）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，. (1)求与平面所成角的大小； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案； （2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，求出平面的法向量，根据两平面夹角列出方程，求出，设，进而根据求出答案. 【详解】（1）因为，，，平面， 所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面， 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以⊥， 又平面⊥平面，两平面交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥，故两两垂直，   以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系 因为，由勾股定理得， 所以， 平面的法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则， 因为，所以； （2）设平面的法向量为， 则， 令得，则， 连接，因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 设，则，即， 故， 设，则，即， 故， 设平面的法向量为， 则，即 解得，设，则，故， 故， 化简得，两边平方得， ，化简得， 解得或， 设，设， 则， 解得， 故， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时的值为或. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$