1.2 一元二次方程的解法（题型专练）数学苏科版九年级上册

1.2 一元二次方程的解法 题型一 用直接开平方法解方程 1．（2025·赣榆区·三模）解方程：（x﹣2）2﹣5＝0． 2．（2024·相城区·月考）解方程：48﹣3（x﹣2）2＝0． 3．（2024·靖江市·期中）解方程： （1）9x2﹣16＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 4．（2025·建湖县·月考）解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 题型二 根据直接开平方法的使用情形求参 1．（2024·连云港·期末）若关于x的方程（x﹣1）2＝k没有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤0 B．k≥0 C．k＞0 D．k＜0 2．（2024·南京·期中）若关于x的方程（x﹣4）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1 3．（2024·沭阳县·月考）关于x的一元二次方程（x+2）2＝m﹣21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　　． 4．（2024·宿豫区·月考）一元二次方程x2+m＝0（m＜0）的解是（　　） A．， B． C． D．无解 题型三 根据形如x2=a(a≥0)的一元二次方程的两根的结构特征求参 1．（2024·大观区·期末）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　　． 2．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是　　． 3．（2024·仪征市·月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　． 4．（2024·吴江区·月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为　　． 题型四 用配方法解方程 1．（2025·海安市·期末）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方，结果正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝5 B．（x﹣6）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14 2．（2025·邗江区·三模）用配方法解方程：x2+4x﹣3＝0． 3．（2025·宿城区·期末）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 4．（2025·姑苏区·月考）用配方法解方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0． 题型五 配方法的应用——比较大小 1．（2025·大丰区·期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 2．（2025·姜堰区·二模）若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 3．（2025·工业园区·期中）若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A　　B．（填写“＞”或“＜”或“＝”） 4．（2025·江宁区·二模）（1）比较a2﹣ab与ab﹣b2的大小； （2）比较x2﹣3x与x﹣5的大小． 题型六 配方法的应用——求最值 1．（2025·东台市·期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 2．（2024·工业园区·期中）已知x为任意实数，则代数式﹣x2+4x+1的最大值是　　． 3．（2025·江阴市·期中）例如：代数式x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，因为（x﹣1）2≥0，所以当x＝1时，（x﹣1）2+2的最小值是2；则当x＝　　时，代数式8x2﹣12x+5有最小值，最小值为　　． 4．（2024·丹阳市·期中）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值为　　． 题型七 配方法的应用——“0+0=0”模型 1．（2025·滨湖区·期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 2．（2025·江都区·期中）若x，y满足x2+y2＝4x﹣6y﹣13，则x+y＝　　． 3．（2025·东台市·期中）已知a2+b2+c2＝2a﹣4b+6c﹣14，则（ab）c的值是　　． 4．（2024·宝应县·期末）△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　　三角形． 题型八 用公式法解方程 1．（2025·洪泽区·一模）方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 2．（2024·海安市·期末）用公式法解方程：x2﹣5x+1＝0． 3．（2025·崇川区·月考）用公式法解方程：2x2﹣x﹣2＝0． 4．（2025·惠山区·月考）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0． 题型九 根据求根公式反推一元二次方程 1．（2025·崇川区·月考）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 2．（2024·江都区·期末）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 3．（2022·吴江区·月考）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 4．（2025·盐城·一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是　　． 题型十 判别式法判断一元二次方程的根的情况 1．（2025·姑苏区·期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，则该方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2025·海陵区·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣4x＝0 B．x2﹣3x+5＝0 C．x2+mx﹣1＝0 D．x2﹣5x+6＝0 3．（2025·崇川区·月考）已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 4．（2024·沭阳县·月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 题型十一 根据一元二次方程的根的情况求参 1．（2025·如皋市·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 2．（2025·高邮市·二模）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0没有实数根，则直线y＝kx+3不经过的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·扬州·三模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围　　． 4．（2024·工业园区·期中）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个不等实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的一边长为3，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 题型十二 用因式分解法解方程——提公因式法 1．（2025·连云港·一模）方程x2﹣4x＝0的解是（　　） A．x＝4 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x＝0 2．（2025·苏州·期末）一元二次方程2x（x﹣3）＝3（x﹣3）的根是　　． 3．（2025·如皋市·期末）解方程：x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0． 4．（2024·泉山区·期末）解方程：x（x﹣5）＝3x﹣15． 题型十三 用因式分解法解方程——十字相乘法 1．（2025·连云港·一模）一元二次方程x2+8x﹣9＝0的解为　　． 2．（2024·苏州·期末）用因式分解法解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 3．（2025·海安市·期末）用因式分解法解方程：2x2﹣3x﹣2＝0． 4．（2024·仪征市·月考）解方程： （1）6x2﹣x﹣12＝0； （2）． 题型十四 因式分解法的应用 1．（2025·盐城·一模）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15 2．（2025·淮安区·一模）先化简，再求值：，其中满足方程x2﹣2x﹣3＝0． 3．（2025·高新区·月考）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程． 4．（2023·宜兴市·月考）三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，求此三角形的面积． 题型十五 用换元法解方程 1．（2024·丹徒区·月考）若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则a2+b2的值为（　　） A．4 B．﹣1 C．1 D．4或﹣1 2．（2025·江阴市·月考）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是　　． 3．（2024·盐都区·期中）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是　　． 4．（2023·涟水县·期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣5y+4＝0， 解得：y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得：x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得：x＝5． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0． 题型一 配方法的应用（升级版） 1．（2024·通州区·二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为　　． 2．（2024·泗阳县·期末）已知a，b满足（a2+4a+7）（b2﹣6b+11）＝6，则2a+b＝（　　） A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．3 3．（2024·南通·期末）若﹣m2﹣n2≥10﹣6m+2n，且，则81x5﹣80x+1＝　　． 4．（2025·姑苏区·月考）探究代数式x2+4x+5的最小值时，我们可以这样处理： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当x＝　　时，x2+6x﹣10有最小值是　　； （2）多项式有最　　（填“大”或“小”）值，该值为　　； （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最小值． 5．（2024·江都区·月考）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值　　； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 题型二 公式法或判别式的应用 1．（2025·海安市·月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 2．（2024·惠山区·月考）由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程mx2qx+n＝0，称为勾股方程． （1）直接写出一个勾股方程． （2）若勾股方程mx2qx+n＝0有两个相等的实数根，求的值． （3）若x＝﹣1是勾股方程mx2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积． 题型三 用换元法解方程（升级版） 1．（2025·崇川区·月考）关于x的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m）2+b＝0的解是　　． 2．（2024·建邺区·开学）若关于x的方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2，则方程（x+m）2+a＝0的解是　　． 3．（2023·高邮市·月考）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 4．（2024·无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：x4﹣5x2+4＝0． 设x2＝y，则原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． ②因式分解法求解三次方程：x3﹣5x+2＝0． 将其变形为x3﹣（4+1）x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝2，，． （1）仿照以上方法解方程： ①x4+x2﹣12＝0； ②x3﹣17x+4＝0． （2）已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为　　． 1．（2024·苏州·期中）对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b．若x※2＝5，则x的值为　　． 2．（2025·苏州·期中）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3]＝2，[﹣0.32]＝﹣1，[﹣2]＝﹣2．则方程x2+3[x]＝0的解为　　． 3．（2024·邳州市·月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是　　． 4．（2024·常熟市·模拟）我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为　　． 5．（2025·南通·模拟）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　　． 6．（2024·姜堰区·期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 7．（2023·阜宁县·期末）定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5]⊕[2，6]＝4×6+5×2＝34． （1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0的根； （2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 一元二次方程的解法 题型一 用直接开平方法解方程 1．（2025·赣榆区·三模）解方程：（x﹣2）2﹣5＝0． 【详解】解：（x﹣2）2﹣5＝0， （x﹣2）2＝5， （x﹣2）2＝（）2， ， 解得：，． 2．（2024·相城区·月考）解方程：48﹣3（x﹣2）2＝0． 【详解】解：∵48﹣3（x﹣2）2＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， ∴x1＝6，x2＝﹣2． 3．（2024·靖江市·期中）解方程： （1）9x2﹣16＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36． 【详解】解：（1）9x2﹣16＝0， x2， x1，x2； （2）4（2x﹣1）2＝36， （2x﹣1）2＝9， 2x﹣1＝±3， x1＝2，x2＝﹣1． 4．（2025·建湖县·月考）解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 【详解】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 ∴3x﹣1＝±（2﹣5x）， 解得：x或x． 题型二 根据直接开平方法的使用情形求参 1．（2024·连云港·期末）若关于x的方程（x﹣1）2＝k没有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤0 B．k≥0 C．k＞0 D．k＜0 【详解】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝k没有实数根， ∴k＜0． 故选：D． 2．（2024·南京·期中）若关于x的方程（x﹣4）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1 【详解】解：∵关于x的方程（x﹣4）2＝m+1有实数根， ∴m+1≥0，解得：m≥﹣1， 故选：B． 3．（2024·沭阳县·月考）关于x的一元二次方程（x+2）2＝m﹣21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　　． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（x+2）2＝m﹣21可以用直接开平方法求解， ∴m﹣21≥0，解得：m≥21． 故答案为：m≥21． 4．（2024·宿豫区·月考）一元二次方程x2+m＝0（m＜0）的解是（　　） A．， B． C． D．无解 【详解】解：x2+m＝0（m＜0）， 整理得：x2＝﹣m， 直接开平方得：x＝±， 即x1，x2， 故选：C． 题型三 根据形如x2=a(a≥0)的一元二次方程的两根的结构特征求参 1．（2024·大观区·期末）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　　． 【详解】解：由题意可得：2m﹣1+m﹣5＝0，解得：m＝2． 故答案为：2． 2．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是　　． 【详解】解：由题意可得：m+1+2m﹣7＝0，解得：m＝2． 故答案为：2． 3．（2024·仪征市·月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　． 【详解】解：由ax2＝b（ab＞0）得，解得，可知两根互为相反数． ∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4， ∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2和﹣2， ∴＝x2＝4． 故答案为：4． 4．（2024·吴江区·月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为　　． 【详解】解：由题意可得：2m+1+m﹣7＝0， ∴m＝2， ∴2m+1＝5， ∵ax2＝b（ab＞0）， ∴x2， ∴（2m+1）2＝25， ∴． 故答案为：． 题型四 用配方法解方程 1．（2025·海安市·期末）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方，结果正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝5 B．（x﹣6）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14 【详解】解：x2﹣6x﹣5＝0， x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14． 故选：D． 2．（2025·邗江区·三模）用配方法解方程：x2+4x﹣3＝0． 【详解】解：x2+4x﹣3＝0， x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7， ∴x+2， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2． 3．（2025·宿城区·期末）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 【详解】解：2x2﹣4x﹣5＝0， x2﹣2x，x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1， ∴x1＝1，x2＝1． 4．（2025·姑苏区·月考）用配方法解方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0． 【详解】解：（1）x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）3x2﹣6x+1＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2． ∴x﹣1＝±． ∴x1＝1，x2＝1． 题型五 配方法的应用——比较大小 1．（2025·大丰区·期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 【详解】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 2．（2025·姜堰区·二模）若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 【详解】解：∵P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1， ∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1＞0． ∴对任意实数a，均有P﹣Q＞0，即P＞Q． 故选：A． 3．（2025·工业园区·期中）若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，则A　　B．（填写“＞”或“＜”或“＝”） 【详解】解：∵B﹣A＝（x2+2x+2y）﹣（﹣y2+4x﹣3） ＝x2﹣2x+y2+2y+3 ＝（x﹣1）2+（y+1）2+1＞0， ∴A＜B． 故答案为：＜． 4．（2025·江宁区·二模）（1）比较a2﹣ab与ab﹣b2的大小； （2）比较x2﹣3x与x﹣5的大小． 【详解】解：（1）∵a2﹣ab﹣（ab﹣b2）＝（a﹣b）2≥0， ∴a2﹣ab≥ab﹣b2； （2）∵x2﹣3x﹣（x﹣5）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1≥1＞0， ∴x2﹣3x＞x﹣5． 题型六 配方法的应用——求最值 1．（2025·东台市·期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 【详解】解：∵m﹣n2＝2， ∴n2＝m﹣2≥0，m≥2， ∴m2+2n2+4m﹣3 ＝m2+2m﹣4+4m﹣3 ＝m2+6m+9﹣16 ＝（m+3）2﹣16， ∴代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9． 故选：A． 2．（2024·工业园区·期中）已知x为任意实数，则代数式﹣x2+4x+1的最大值是　　． 【详解】解：﹣x2+4x+1 ＝﹣（x2﹣4x）+1 ＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+1 ＝﹣（x﹣2）2+5， ∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2+5≤5， ∴﹣（x﹣2）2+5的最大值为5， ∴代数式﹣x2+4x+1的最大值是5． 故答案为：5． 3．（2025·江阴市·期中）例如：代数式x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，因为（x﹣1）2≥0，所以当x＝1时，（x﹣1）2+2的最小值是2；则当x＝　　时，代数式8x2﹣12x+5有最小值，最小值为　　． 【详解】解：由题意可得：8x2﹣12x+5＝8（x2x）8（x）2， ∵对于任意实数x都有（x）2≥0， ∴8x2﹣12x+5＝8（x）2， ∴当x时，代数式8x2﹣12x+5有最小值，最小值为． 故答案为：，． 4．（2024·丹阳市·期中）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值为　　． 【详解】解：a2+b2﹣8a﹣2b+5， ＝a2﹣8a+b2﹣2b+5， ＝（a2﹣8a+16）+（b2﹣2b+1）+5﹣17， ＝（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12， ∵（a﹣4）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝4，b＝1时，原式有最小值，最小值为﹣12． 故答案为：﹣12． 题型七 配方法的应用——“0+0=0”模型 1．（2025·滨湖区·期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【详解】解：∵x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0， ∴x2﹣2xy+y2+y2﹣6y+9＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣3）2＝0， ∴x﹣y＝0，y﹣3＝0， ∴x＝y＝3， ∴xy＝33＝27． 故选：D． 2．（2025·江都区·期中）若x，y满足x2+y2＝4x﹣6y﹣13，则x+y＝　　． 【详解】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0， ∴x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3， ∴x+y＝2+（﹣3）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 3．（2025·东台市·期中）已知a2+b2+c2＝2a﹣4b+6c﹣14，则（ab）c的值是　　． 【详解】解：∵a2+b2+c2＝2a﹣4b+6c﹣14， ∴a2﹣2a+1+b2+4b+4+c2﹣6c+9＝0， ∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2＝0， ∴a﹣1＝0，b+2＝2，c﹣3＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴（ab）c＝[1×（﹣2）]3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 4．（2024·宝应县·期末）△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　　三角形． 【详解】解：∵b+c＝8， ∴b＝8﹣c， ∴bc＝（8﹣c）c＝﹣c2+8c， ∴bc＝a2﹣12a+52＝﹣c2+8c， ∴a2﹣12a+36+16+c2﹣8c＝0， 整理得：（a﹣6）2+（c﹣4）2＝0， ∵（a﹣6）2≥0，（c﹣4）2≥0， ∴a﹣6＝0，即a＝6；c﹣4＝0，即c＝4， ∴b＝8﹣4＝4， ∴△ABC为等腰三角形． 故答案为：等腰． 题型八 用公式法解方程 1．（2025·洪泽区·一模）方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【详解】解：x2+x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴x． 故选：D． 2．（2024·海安市·期末）用公式法解方程：x2﹣5x+1＝0． 【详解】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1， ∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0， ∴x， ∴x1，x2． 3．（2025·崇川区·月考）用公式法解方程：2x2﹣x﹣2＝0． 【详解】解：2x2﹣x﹣2＝0， ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）＝17＞0， ∴x， ∴x1，x2． 4．（2025·惠山区·月考）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0． 【详解】解：由题意可得：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0， ∴ ∴． 题型九 根据求根公式反推一元二次方程 1．（2025·崇川区·月考）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【详解】解：由题意可得：a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 2．（2024·江都区·期末）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【详解】解：∵是某个一元二次方程的根， ∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0． 故选：D． 3．（2022·吴江区·月考）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【详解】解：∵是某个一元二次方程的根， ∴a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是2x2+3x﹣1＝0． 故选：C． 4．（2025·盐城·一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是　　． 【详解】解：由题意可得：a＝3，b＝5，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+5x+1＝0． 故答案为：3x2+5x+1＝0． 题型十 判别式法判断一元二次方程的根的情况 1．（2025·姑苏区·期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，则该方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【详解】解：由题意可得：a＝1，b＝m，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ab＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 2．（2025·海陵区·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣4x＝0 B．x2﹣3x+5＝0 C．x2+mx﹣1＝0 D．x2﹣5x+6＝0 【详解】解：A．∵a＝1，b＝﹣4，c＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×0＝16＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，不合题意； B．∵a＝1，b＝﹣3，c＝5， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴该方程没有实数根，符合题意； C．∵a＝1，b＝m，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，不合题意； D．∵a＝1，b＝﹣5，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，不合题意． 故选：B． 3．（2025·崇川区·月考）已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【详解】解：ab+a2＝c2①，ab+b2＝c2②， ①﹣②，得a2﹣b2＝0， ∴（a+b）（a﹣b）＝0， ∵a，b互不相等， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a③， 把③代入①，得﹣a2+a2＝c2， ∴c2＝0， ∴c＝0， ∵ax2+bx+c＝0，ab≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2， ∵ab≠0， ∴a≠0， ∴Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4．（2024·沭阳县·月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 【详解】解：（1）把x＝1代入方程可得：1﹣（m+1）+2m﹣2＝0，解得：m＝2， 当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝1，x2＝2， ∴方程的另一根为2； （2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2） ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有两个实数根． 题型十一 根据一元二次方程的根的情况求参 1．（2025·如皋市·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，解得：m＝﹣1． 故选：A． 2．（2025·高邮市·二模）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0没有实数根，则直线y＝kx+3不经过的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：由题意可得：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k﹣1）＜0，解得：k＜﹣2， ∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 3．（2025·扬州·三模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围　　． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根， ∴m﹣2≠0且22﹣4×（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得：m≥1且m≠2． 故答案为：m≥1且m≠2． 4．（2024·工业园区·期中）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个不等实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的一边长为3，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【详解】解：（1）由题意可得：Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＞0，解得：； （2）由题意可知：x1≠x2， ∴只能取x1＝3或x2＝3，即3是方程的一个根， 将x＝3代入得：9﹣6（m+1）+m2+2＝0，解得：m＝1或5， 当m＝1时，方程的另一个根为1，此时三角形三边分别为1，3，3，能构成一个等腰三角形， 当m＝5时，方程的另一个根为9，此时三角形三边分别为9，3，3，不能构成一个三角形， 综上，这个三角形另外两边的长分别为1，3． 题型十二 用因式分解法解方程——提公因式法 1．（2025·连云港·一模）方程x2﹣4x＝0的解是（　　） A．x＝4 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x＝0 【详解】解：∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴方程的解：x1＝0，x2＝4． 故选：C． 2．（2025·苏州·期末）一元二次方程2x（x﹣3）＝3（x﹣3）的根是　　． 【详解】解：2x（x﹣3）＝3（x﹣3）， 2x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0， （x﹣3）（2x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或2x﹣3＝0， ∴． 故答案为：． 3．（2025·如皋市·期末）解方程：x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0． 【详解】解：x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0， （2x+3）（x﹣3）＝0， ∴2x+3＝0或x﹣3＝0， ∴x1，x2＝3． 4．（2024·泉山区·期末）解方程：x（x﹣5）＝3x﹣15． 【详解】解：x（x﹣5）＝3x﹣15， x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣3）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝5，x2＝3． 题型十三 用因式分解法解方程——十字相乘法 1．（2025·连云港·一模）一元二次方程x2+8x﹣9＝0的解为　　． 【详解】解：x2+8x﹣9＝0， （x+9）（x﹣1）＝0， ∴x+9＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣9，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣9，x2＝1． 2．（2024·苏州·期末）用因式分解法解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 【详解】解：x2﹣2x﹣8＝0， （x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣2． 3．（2025·海安市·期末）用因式分解法解方程：2x2﹣3x﹣2＝0． 【详解】解：2x2﹣3x﹣2＝0， （x﹣2）（2x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或2x+1＝0， ∴． 4．（2024·仪征市·月考）解方程： （1）6x2﹣x﹣12＝0； （2）． 【详解】解：（1）6x2﹣x﹣12＝0， （2x﹣3）（3x+4）＝0， ∴2x﹣3＝0或3x+4＝0， ∴； （2）， ∴， ∴． 题型十四 因式分解法的应用 1．（2025·盐城·一模）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15 【详解】解：x2﹣7x+10＝0， （x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝5，x2＝2， 当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12； 当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15； 当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6； 综上，△ABC的周长为6或12或15． 故选：D． 2．（2025·淮安区·一模）先化简，再求值：，其中满足方程x2﹣2x﹣3＝0． 【详解】解：原式 ， 解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x＝3或x＝﹣1， 当x＝﹣1时，原分式无意义，舍去； 当x＝3时，原式． 3．（2025·高新区·月考）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程． 【详解】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c， ∴△ABC为等腰三角形； （2）∵△ABC是等腰直角三角形，c为斜边， ∴a＝b，ca， ∴x2x＝0， x（x）＝0， x1＝0，x2． 4．（2023·宜兴市·月考）三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，求此三角形的面积． 【详解】解：∵x2﹣16x+60＝0， ∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，解得：x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高， ∴BD＝4，AD2， ∴S△ABCBC•AD8×28； 当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， S△ABCBC•AC8×6＝24； 综上，该三角形的面积是：24或8． 故答案为：24或8． 题型十五 用换元法解方程 1．（2024·丹徒区·月考）若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则a2+b2的值为（　　） A．4 B．﹣1 C．1 D．4或﹣1 【详解】解：设a2+b2＝t，t＞0， ∴t2﹣3t﹣4＝0， ∴（t+1）（t﹣4）＝0，解得：t1＝﹣1（舍去），t2＝4． 故选：A． 2．（2025·江阴市·月考）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是　　． 【详解】解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0， 可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（无解）， ∴x2﹣x＝5． 故答案为：5． 3．（2024·盐都区·期中）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是　　． 【详解】解：由题意可知：将x+3看作一个整体， ∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， ∴x+3＝1或﹣3， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣6， ∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是x1＝﹣2，x2＝﹣6． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣6． 4．（2023·涟水县·期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣5y+4＝0， 解得：y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得：x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得：x＝5． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0． 【详解】解：设2x﹣5＝y， 则原方程可化为y2﹣2y﹣3＝0， ∴（y﹣3）（y+1）＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣1， 当y＝3时，即2x﹣5＝3，解得：x＝4； 当y＝﹣1时，即2x﹣5＝﹣1，解得：x＝2． ∴原方程的解为：x1＝2，x2＝4． 题型一 配方法的应用（升级版） 1．（2024·通州区·二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为　　． 【详解】解：∵a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝1， ∴ab＝（a+b）2﹣1， ∵p＝ab+2a+2b ＝（a+b）2+2（a+b）+1﹣2 ＝（a+b+1）2﹣2≥﹣2． 故答案为：﹣2． 2．（2024·泗阳县·期末）已知a，b满足（a2+4a+7）（b2﹣6b+11）＝6，则2a+b＝（　　） A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．3 【详解】解：∵（a2+4a+7）（b2﹣6b+11）＝6， ∴[（a+2）2+3][（b﹣3）2+2]＝6， ∵（a+2）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴当a+2＝0，b﹣3＝0时，[（a+2）2+3][（b﹣3）2+2]＝6，解得：a＝﹣2，b＝3， ∴2a+b＝2×（﹣2）+3＝﹣4+3＝﹣1． 故选：B． 3．（2024·南通·期末）若﹣m2﹣n2≥10﹣6m+2n，且，则81x5﹣80x+1＝　　． 【详解】解：∵﹣m2﹣n2≥10﹣6m+2n， ∴m2+n2+10﹣6m+2n≤0，即（m﹣3）2+（n+1）2≤0， ∵（m﹣3）2+（n+1）2≥0， ∴（m﹣3）2+（n+1）2＝0， ∴m＝3，n＝﹣1， ∴x， ∴3x1， ∵9x2＝6﹣2， ∴81x4＝36+20﹣2456﹣24， ∴81x5﹣80x+1 ＝（56﹣24）x﹣80x+1 ＝（﹣2424）x+1 ＝﹣24×（1）1 ＝﹣8×（5﹣1）+1 ＝﹣32+1 ＝﹣31． 故答案为：﹣31． 4．（2025·姑苏区·月考）探究代数式x2+4x+5的最小值时，我们可以这样处理： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当x＝　　时，x2+6x﹣10有最小值是　　； （2）多项式有最　　（填“大”或“小”）值，该值为　　； （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最小值． 【详解】解：（1）x2+6x﹣10＝x2+6x+9﹣19＝（x+3）2﹣19， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0， ∴（x+3）2﹣19≥﹣19, ∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣10有最小值是﹣19， 故答案为：﹣3,﹣19； （2）x2+4x+9（x2﹣8x+16）+17（x﹣4）2+17， ∵（x﹣4）2≥0， ∴（x﹣4）2≤0， ∴（x﹣4）2有最大值0， ∴x2+4x+9有最大值，最大值为17， 故答案为：大，17； （3）∵﹣x2+5x+y+20＝0， ∴y＝x2﹣5x﹣20， ∴y+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24， ∴y+x的最小值为﹣24． 5．（2024·江都区·月考）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值　　； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 【详解】解：（1）x2﹣6x+12 ＝（x﹣3）2+3， ∵无论x取何实数，都有（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3≥3， ∴x2﹣6x+12的最小值为3， 故答案为：3； （2）∵3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6） ＝（x﹣2）2+4＞0， ∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6； （3）∵S四边形ABCD AC·BD AC·（10﹣AC） AC2+5AC （AC﹣5）2， ∴四边形ABCD面积的最大值为． 题型二 公式法或判别式的应用 1．（2025·海安市·月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 【详解】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程， Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0， 由求根公式，得x， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴，解得：a＜5， ∴0＜a＜5． 故选：B． 2．（2024·惠山区·月考）由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程mx2qx+n＝0，称为勾股方程． （1）直接写出一个勾股方程． （2）若勾股方程mx2qx+n＝0有两个相等的实数根，求的值． （3）若x＝﹣1是勾股方程mx2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积． 【详解】解：（1）设m＝3，n＝4，则q＝5， ∴3x2+5x+4＝0是勾股方程； （2）∵勾股方程mx2qx+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝2q2﹣4mn＝0， ∴q2＝2mn， ∵q2＝m2+n2， ∴m2+n2＝2mn， ∴m﹣n＝0， ∴m＝n， ∴qm， ∴； （3）∵x＝﹣1是勾股方程mx2qx+n＝0的一个根， ∴mq+n＝0， ∴q＝m+n， ∵四边形ABCD的周长是6， ∴2m+2nq＝6， ∴q， ∵q2＝m2+n2， ∴m2+n2＝2，m+n＝2， ∴mn＝1， ∴四边形ABCD的面积＝mnq2＝1+1＝2． 题型三 用换元法解方程（升级版） 1．（2025·崇川区·月考）关于x的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m）2+b＝0的解是　　． 【详解】解：可把方程a（x+m）2+b＝0看作关于x﹣2的一元二次方程， ∵关于x的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3， ∴关于x﹣2的方程a（x+m）2+b＝0的解是x﹣2＝﹣1或x﹣2＝3， ∴x1＝1，x2＝5． 故答案为：x1＝1，x2＝5． 2．（2024·建邺区·开学）若关于x的方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2，则方程（x+m）2+a＝0的解是　　． 【详解】解：方程（x+m）2+a＝0变形为（﹣x﹣m）2+a＝0，看作关于﹣x的方程， ∵方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2， ∴﹣x1＝4，﹣x2＝﹣2，解得：x1＝﹣4，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣4，x2＝2． 3．（2023·高邮市·月考）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 【详解】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0， 整理得：（y﹣1）（y﹣4）＝0， 解得：y1＝1，y2＝4， 当x2+x＝1，即x2+x﹣1＝0时，解得：x； 当当x2+x＝4，即x2+x﹣4＝0时，解得：x； 综上，原方程的解为x1，2，x3，4． （2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0， 整理得：（x﹣5）（x+2）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2（舍去）， ∴a2+b2＝5． 4．（2024·无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：x4﹣5x2+4＝0． 设x2＝y，则原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． ②因式分解法求解三次方程：x3﹣5x+2＝0． 将其变形为x3﹣（4+1）x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝2，，． （1）仿照以上方法解方程： ①x4+x2﹣12＝0； ②x3﹣17x+4＝0． （2）已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为　　． 【详解】解：（1）①设x2＝y，则原方程可变为y2+y﹣12＝0， （y+4）（y﹣3）＝0， ∴y+4＝0或y﹣3＝0， ∴y1＝﹣4，y2＝3， 当y＝﹣4时，即x2＝﹣4， ∴无解（舍去）； 当y＝3时，即x2＝3， ∴，， ∴原方程有两个根：，； ②将其变形为：x3﹣（16+1）x+4＝0， ∴x3﹣16x﹣x+4＝0， ∴（x3﹣16x）﹣（x﹣4）＝0， ∴x（x+4）（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0， ∴（x﹣4）（x2+4x﹣1）＝0， ∴x﹣4＝0或x2+4x﹣1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝4，，． （2）∵x2﹣x﹣1＝0，x＞0， ∴x，x2＝x+1， x4﹣2x3+3x ＝（x+1）2﹣2x（x+1）+3x ＝x2+2x+1﹣2x2﹣2x+3x ＝﹣x2+3x+1 ＝﹣x﹣1+3x+1 ＝2x ． 故答案为：1． 1．（2024·苏州·期中）对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b．若x※2＝5，则x的值为　　． 【详解】解：分两种情况： 当x＜2时， ∵x※2＝5， ∴x2﹣2×2＝5， ∴x2＝9， ∴x1＝3（舍去），x2＝﹣3； 当x≥2时， ∵x※2＝5， ∴22﹣2x＝5，解得：x（舍去）； 综上，x的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 2．（2025·苏州·期中）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3]＝2，[﹣0.32]＝﹣1，[﹣2]＝﹣2．则方程x2+3[x]＝0的解为　　． 【详解】解：∵x2+3[x]＝0， ∴x2＝﹣3[x]≥0， ∴[x]≤0， ∴x≤0， ①当x＝0时，符合题意； ②﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1， 则x2+3[x]＝0化为x2﹣3＝0，解得：（全舍）； ③﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2， 则x2+3[x]＝0化为x2﹣6＝0，解得：（全舍）； ④﹣3≤x＜﹣2时，[x]＝﹣3， 则x2+3（x]＝0化为x2﹣9＝0，解得：x＝﹣3或x＝3（舍）； ⑤﹣4≤x＜﹣3时，[x]＝﹣4， 则x2+3[x]＝0化为x2﹣12＝0，解得：或（舍）； ⑥x＜﹣4时，均不成立； 综上，方程x2+3[x]＝0的解为x＝0或x＝﹣3或， 故答案为：x＝0或x＝﹣3或． 3．（2024·邳州市·月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是　　． 【详解】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3， ∴，解得：， ∴mx2+nx+2029 ＝5x2﹣10x+2029 ＝5（x﹣1）2+2024， ∴代数式mx2+nx+2024能取的最小值是2024． 故答案为：2024． 4．（2024·常熟市·模拟）我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为　　． 【详解】解：由题意可知：a•b＝（x﹣1）（x+3）+4（x+1）＝x2+6x+1＝7， x2+6x﹣6＝0， Δ＝36+24＝60＞0， ∴x3±， ∵﹣2≤x≤3， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 5．（2025·南通·模拟）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　　． 【详解】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2． 当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4； 当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1； ∴x1※x2＝4或1． 故答案为：4或1． 6．（2024·姜堰区·期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【详解】解：（1）是“黄金方程”，理由如下： ∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1， ∵c＝﹣3， ∴一元二次方程x2+2x﹣3＝0是“黄金方程”； （2）∵关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”， ∴2c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴2c＝﹣b﹣1， ∴b2﹣2c+1＝b2+b+1+1＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣2c+1的最小值为． 7．（2023·阜宁县·期末）定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5]⊕[2，6]＝4×6+5×2＝34． （1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0的根； （2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围． 【详解】解：（1）∵[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0， ∴2x2+3（x﹣1）＝0， ∴2x2+3x﹣3＝0， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）∵[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0， ∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0， 整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0， ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k•k≥0，k≠0，解得：k且k≠0． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$