21.2.2 公式法教案 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2 公式法 课题 21.2.2 公式法 授课人 教 学 目 标 知识技能 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2. 会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程； 3. 能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 数学思考 经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力. 问题解决 引导学生熟记一元二次方程的求根公式x＝，并理解公式成立的条件b2－4ac≥0. 情感态度 通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心. 教学重点 一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算. 教学难点 一元二次方程求根公式的推导. 授课类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 提出问题： 问题1：配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 学生回答，教师点评，并做好指导工作. (1)移项．(2)二次项系数化为1. (3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方). (4)变形：原方程变形为(x＋m)2＝n的形式. (5)开方：如果n是非负数，那么可以直接开平方求出方程的解；如果n是负数，那么一元二次方程无解. (6)定解． 问题2：当一元二次方程的二次项系数不为1时，应该如何应用配方法求解？ 当一元二次方程的二次项系数不为1时，只要在方程两边同时除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程即可. 总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程作准备. 活动 一： 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 张老师要求同学们解一元二次方程2x2＋x＋1＝0，大家才动笔，小强突然站起来说这个方程无实数解，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速作出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！ 通过情景，使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”，激发深入探究新知的欲望，从而顺利完成本课知识的学习. 活动 二： 实践 探究 交流 新知 问题1：利用配方法，你能解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？ 学生自主解方程，确定一名学生进行板演． 教师点拨：我们不妨把a，b，c也当成一个具体的数字，根据配方法的解题步骤一步步推下去． 解：移项，得__ax2＋bx＝－c__． 二次项系数化为1，得__x2＋x＝－__． 配方，得__x2＋x＋()2＝－＋()2__． 变形，得__(x＋)2＝__． 当b2－4ac≥0时，两边开平方，得__x＋＝±__． 所以方程的解为__x1＝，x2＝__． 教师提示： (1)在开方环节能直接开平方吗？需要注意什么？ (2)等号右边的值可能为负吗？ 学生小组内交流、讨论，达成共识． 教师板书： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝(b2－4ac≥0)． 练习：试用公式法解方程6x2－7x＋1＝0. 学生自主解方程，简述方法，教师点评． 问题2：回顾一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求解过程，你能分析出它的解的情况吗？ 学生小组内交流、讨论，教师给予指导和帮助，达成共识，得出结论： 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac. 教师板书： 当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根． 教师提示：当Δ≥0时，方程的实数根可写为x＝，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解方程的方法叫做公式法． 练习：判断前面情境问题中的一元二次方程2x2＋x＋1＝0的解的情况． 1.学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式． 2．通过学生亲自解方程的感受与经验，体会数式通性，进而通过对b2－4ac的值的讨论感受数学的严谨性和数学结论的确定性． 3．小组的讨论有利于发挥学生互帮互助的精神，有利于发挥集体的优势，有利于突破重难点. 4.帮助学生自己构建知识，体验获取知识的过程，感受获得知识的喜悦. 活动 三： 开放 训练 体现 应用 【应用举例】 例1　用公式法解下列方程： (1)x2－4x－7＝0； (2)2x2－2 x＋1＝0； (3)5x2－3x＝x＋1； (4)x2＋17＝8x. 师生活动：教师指导学生观察方程的特点，指导学生阐述做题的思路，然后学生书写解题过程，教师做好评价和辅导． 变式练习：用公式法解下列方程： (1) x2－3x－1＝0；(2)2x2－3x＋1＝0； (2) (3)x2＋2 x－6＝0. 教师做好总结： 用公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式，确定a，b，c的值． ②求出b2－4ac的值． ③若b2－4ac≥0，则代入求根公式计算；若b2－4ac<0，则原方程无实数解． ④写出方程的解． 用公式法解一元二次方程应注意：①化方程为一般形式；②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”；③若方程有根，则它应该有两个根；④求解得出的根应适当化简． 例2　不解方程，判别下列一元二次方程根的情况． (1)x2＋x－6＝0；(2)2x2－x＋5＝0. 变式练习：不解方程，判别关于x的方程x2－2kx＋(2k－1)＝0的根的情况． 教师做好总结： 利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意： ①考虑“二次项系数不为0”这一条件； ②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别． 题目的设置存在梯度，给予学生层次递进的学习过程. 【拓展提升】 例3　已知关于x的方程x2－2x＋＝0，当a为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3)方程有两个不相等的实数根？ 教师重点关注：学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点)；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解． 学生不断质疑、解惑，不但完善了思维，而且锻炼了能力，使学生形成对知识的总体把握. 活动 四： 课堂 总结 反思 【达标测评】 1．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列叙述正确的是( B ) A．方程总有两个实数根 B．当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根 C．当b2－4ac＜0时，方程只有一个实数根 D．当b2－4ac＝0时，方程无实数根 2．方程x2－3x＝0的根的情况是( A ) A．有两个不相等的实数根　　　　　 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 3．如果关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，那么实数a的值为__－1或2__． 4．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k<1__． 5．解下列方程： (1)2x2－3x－5＝0；(2)x2＋x＝2. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 1.课堂总结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？说一说！ 教师总结：熟记一元二次方程的求根公式，注意公式成立的条件(a≠0，b2－4ac≥0)；熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤；理解用一元二次方程根的判别式求解字母系数的值或取值范围． 2．布置作业： (1)教材第12页练习第1题． (2)教材第17页习题21.2第4，5，13题． 培养学生的归纳能力和语言表达能力，从而使学生掌握知识和方法更加系统，同时也是情感升华的过程. 【知识网络】 提纲挈领，重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾的环节中，复习用配方法解一元二次方程，为学习公式法打下基础；在探究新知的环节中，引导学生积极思考，配方的关键是添项，学生能够明确添加的常数项即可突破难点． ②[讲授效果反思] 重点内容做到重点讲解：(1)用公式法解一元二次方程的步骤；(2)公式的记忆和理解；(3)一元二次方程根的判别式的应用． ③[师生互动反思] 从学生课堂表现，师生互动分析，学生能够对基本知识进行掌握，同时对根的判别式有一定的了解． ④[习题反思] 好题题号______________________________________ 错题题号______________________________________ 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 典案二 导学设计 年级： 年级 科目：数学 课型：新授 执笔： 审核： 备课时间： 上课时间： 教学目标 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程的求根公式的推导． 【课前预习】 导学过程 阅读教材第9页至第12页的部分，完成以下问题 1、用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1= x2= 分析：因为前面具体数字系数的方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c�也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得： ，二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1） b2-4ac＞0，则＞0 直接开平方，得： 即x= ∴x1= ，x2= （2） b2-4ac=0，则=0，此时方程的根为 即一元二次程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 的实根。 （3） b2-4ac＜0，则＜0，此时（x+）2 ＜0，而x取任何实数都不 能使（x+）2 ＜0，因此方程 实数根。 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。 （2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。 （5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b2-4ac 用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例2、用公式法解下列方程． （1）x2-4x-7=0 （2）2x2-x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x 练习： 1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？ 2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。 3、方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 4、用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 （5）x2+x-6=0 （6）x2-x-=0 （7）3x2-6x-2=0 （8）4x2-6=0 （9）x2+4x+8=4x+11 (10) x（2x-4）=5-8x 【课堂练习】： 活动3、知识运用 1、利用判别式判定下列方程的根的情况： （1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0 （3）x2-x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x 2、用公式法解下列方程． （1）x2+x-12=0 （2）x2-x-=0 （3）x2+4x+8=2x+11 （4）x（x-4）=2-8x （5）x2+2x=0 (6) x2+x+10=0 归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 【课后巩固】 一、选择题 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= B．x= C．x= D．x= 2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）． A.x1=，x2= B.x1=6，x2= C.x1=2，x2= D.x1=x2=- 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 二、填空题 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根， （1）试推导x1+x2=-，x1·x2=； （2）�求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 3、 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出m并解此方程． 你能解决这个问题吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$