3.2用频率估计概率 同步作业 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

用频率估计概率 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（    ） A．1.25 B．0.98 C．0.52 D．0.03 2．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是(   ) A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5 C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近 3．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 4．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 5．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 6．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（    ） A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 7．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92 A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 8．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验时，下列说法正确的是（　　） A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小 B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为 C．随着试验次数的增加，反面向上的频率越来越稳定 D．连续抛掷次硬币，得到正面向上的频率为，则反面向上的频率也是 二、填空题 9．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，先向盒中放入5个黑球，摇匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中25次摸到黑球，则估计盒中有 个白球． 10．小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为 ． 11．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据： 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ． 12． “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是 ．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 三、解答题 13．一只不透明的袋中装有红球和黄球（它们除颜色外，其余完全相同），全班同学做摸球试验，从袋中任意摸出1个球再放回袋内（每次摸球之前都要搅匀袋中的球）．经过多次试验后，发现摸到红球的频率比黄球大．这可能是什么原因？ 14．下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 (1)上表中的__________，__________； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 15．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： (1)请将数据表补充完整； 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 283 344 552 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.948 (2)画出发芽频率的折线统计图； (3)观察所得的折线统计图，这种油菜籽发芽的概率估计值是______． 16．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《用频率估计概率 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B B B C C 1．C 【分析】本题考查了概率的意义，一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为．明确概率的意义是解答的关键． 【详解】解：由题意可知摸到白球的概率， 则白球的频率稳定在0.5附近， 故选：C． 2．D 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计值，从而可得答案． 【详解】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近， 故选：D． 【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生． 3．B 【分析】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意； 、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键． 4．B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 6．B 【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为x cm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可． 【详解】解：假设不规则图案的面积为x cm2， 由已知得：长方形面积为10cm2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上：=0.35， 解得：x=3.5， ∴不规则图案的面积大约为3.5cm2， 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简． 7．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．直接根据利用频率估计概率求解即可得． 【详解】解：由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近， 所以该区初中生体质健康合格的概率为， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了频率估计概率，求频率，根据频率估计概率逐项分析判断即可求解． 【详解】随着抛掷次数的增加，正面向上的频率不能确定，但会稳定在附近，故A选项错误； 当抛掷的次数很大时，正面向上的次数接近，而不一定是，故B选项错误； 随着试验次数的增加，反面向上的频率会稳定在附近，故C选项正确； 连续抛掷次硬币，正面向上的频率为，则反面向上的频率是，故D选项错误． 故选：C． 9．95 【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： ， 解得：x＝95， 答：估计盒中大约有白球95个； 故答案为：95． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 10． 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，解题的关键是得到这张纸与圆的面积比；根据题干的数据计算出石子落在圆内的频数与落在纸上的频数的比值即可解答． 【详解】解：这张破纸面积大约为（）， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案． 【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即． 故答案为：． 12．①②③ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得文具盒． 【详解】解：由表格可知频率稳定在0.7左右， ①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，正确； ②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，正确； ③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，正确； ④随机事件，结果不确定，故④错误， 故答案为：①②③． 13．袋中红球的数量大于黄球的数量 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率的稳定值估计概率是解题的关键．根据频率和概率的关系即可解答． 【详解】解：经过多次试验后，发现摸到红球的频率比黄球大， 摸到红球的概率比黄球大， 袋中红球的数量大于黄球的数量． 14．(1)191；0.954 (2)0.95 (3)10000粒 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：191；0.954 （2）由表格可知：它能发芽的既率的估计值是0.95； （3）粒； 答：估算需要准备10000粒种子进行发芽培育． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率和折线统计图，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的概念求解即可； （2）根据折线统计图的作法求解即可； （3）根据随着每批粒数的增加，结合折线图得出其频率的稳定值即可得出答案． 【详解】（1）解：将数据表补充完整如下： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 96 283 344 552 948 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.943 0.86 0.92 0.948 0.947 0.949 故答案为：96；948；0.943；0.86；0.92；0.947；0.949； （2）解：折线统计图如图所示： ； （3）解：这种小麦发芽的概率的估计值是， 故答案为：． 16．(1) (2) (3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$