22.2二次函数与一元二次方程 同步提升2025—2026学年人教版数学九年级上册

第 1页，共 5页 人教版九年级上 22.2 二次函数与一元二次方程 同步提升 一、选择题 1.抛物线� = �2 + 4� − 7 与�轴的交点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D.无法判断 2.如图，二次函数� = ��2 + �� + �的图象与�轴相交于( − 2,0)和(4,0)两点，当函数值� < 0 时，自变量� 的取值范围是 ( ) A. � <− 2 B. � > 4 C. −2 < � < 4 D. � <− 2 或� > 4 第 2题 第 4题 第 5题 第 6题 3.二次函数� = �2 + �� + 1 的图象与�轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是 ( ) A. (1,0) B. (2,0) C. ( − 1,0)或( − 2,0)D. ( − 1,0)或(1,0) 4.已知二次函数� = ��2 + �� + �的图象如图所示，则关于�的方程��2 + �� + � − 3 = 0 的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个不相等的负根 D.有两个不相等的正根 5.二次函数� =− �2 +��的图象如图所示，对称轴为直线� = 2.若关于�的一元二次方程− �2 +�� − � = 0(�为实数)在 1 < � < 5 的范围内有解，则�的取值范围是( ) A. � >− 5 B. −5 < � < 3 C. 3 < � ≤ 4 D. −5 < � ≤ 4 6.如图，抛物线� = ��2与直线� = �� + �的两个交点坐标分别为�( − 3,9)，�(1,1)，则关于�的方程��2 − �� − � = 0 的解为( ) A. �1 =− 1，�2 = 3 B. �1 = 9，�2 =− 3 C. �1 = 1，�2 = 9 D. �1 = 1，�2 =− 3 7.下表是一组二次函数� = ��2 + �� + �的自变量�与函数值�的对应值，则关于�的一元二次方程��2 + �� + � = 0 的一个解的范围可能是( ) � 6.17 6.18 6.19 6.20 � −0.03 −0.01 0.02 0.04 A. 6 < � < 6.17 B. 6.17 < � < 6.18 C. 6.18 < � < 6.19 D. 6.19 < � < 6.20 8.新定义：若一个点的横纵坐标之和为 6，则称这个点为“和谐点”.若二次函数� = �2 − 2� + �(�为常数) 在−1 < � < 3 的图象上存在两个“和谐点”，则�的取值范围是( ) 第 2页，共 5页 A. 254 < � < 7 B. 4 < � < 25 4 C. −1 < � < 1 D. 0 < � < 25 4 二、填空题 9.已知二次函数� = ��2 + �� + �的部分图象如图所示，则关于�的一元二次方程��2 + �� + � = 0 的解 为 ． 第 9题 第 12题 第 15题 10.抛物线� = (� − 1)�2 − � + 1 与�轴有交点，则�的取值范围是 ． 11.已知二次函数� = �2 + � − 2025 与�轴的交点的横坐标为�, �，则1�+ 1 �的值为 ． 12.如图，二次函数� = ��2 + �� + �的图象与�轴交于点�、�，与�轴交于点�.过点�作�� ⊥ �轴，交该图象 于点�.若�(8,0)、�(6,4)，则△ ���的面积为______． 13.在平面直角坐标系中，点�(2, − 4)在二次函数� = ��2 + �� − 4(� > 0)的图象上，二次函数的图象与� 轴交于�(�1, 0)、�(�2, 0)两点，且 4 < �2 − �1 < 8，则�的取值范围为______． 14.把二次函数� = �2 + 4� + �的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位，如果平移后所得抛物线与 坐标轴有且只有一个公共点，那么�应满足 . 15.二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点( − 1,0)，其对称轴为直线 � = 1.下列结论：①��� < 0；②�2 − 4�� < 0；③8� + � < 0；④9� + 3� + 2� < 0；⑤点� �1, �1 、� �2, �2 是抛物线上的两点，若�1 < �2，则�1 < �2；⑥若抛物线经过点( − 3, �)，则关于�的一元二次方程��2 + �� + � − � = 0(� ≠ 0)的两根分别为�1 =− 3, �2 = 5.其中正确的有__________(填序号)． 三、解答题 16.如图，抛物线�1 = �(� − ℎ)2 + �与�轴交于点�，与�轴交于点�，直线��的解析式为�2 = �� + �． (1)� = ______，ℎ = ______； (2)当�1 ≥ 0 时，�的取值范围是______； (3)当−2 < � < 2 时，�1的取值范围是______； (4)当�1 < �2时，�的取值范围是______． 第 3页，共 5页 17.已知二次函数� = �2 + 2� + � − 1． (1)若� = 2，求二次函数的图象与�轴的交点个数； (2)若二次函数的图象与�轴有交点，求�的取值范围． 18.小明和小芳学习了二次函数知识，准备用相互提问的方式来考查对方对二次函数知识的掌握情况.他们找 到一个二次函数问题的一部分： 已知二次函数� = �2 + �� + �，下面表格中给出了部分�，�的对应数据： � ⋯ −2 0 2 ⋯ � ⋯ � 0 0 ⋯ 小明首先提出问题： (1)根据表格可知，二次函数图象的对称轴为 . �的值可以为 3 吗?请说明理由． 小芳也提出问题： (2)将函数的一次项系数作为二次项系数，常数项作为一次项系数，二次项系数作为常数项，得到的新函数 解析式是 ;请在同一个坐标系中大致画出原函数和新函数的图象，并直接写出两个函数的函数值都随� 值的增大而减小的�的取值范围． 共同探讨问题： (3)如果直线� = �和这两个函数图象有三个交点，求出�的值． 请帮他们解决以上问题． 第 4页，共 5页 19.已知二次函数� = 2(� − 1)(� − � − 3)(�为常数)． (1)求证：不论�为何值，该函数的图象与�轴总有公共点； (2)当�取什么值时，该函数的图象与�轴的交点在�轴的上方？ 20.已知二次函数� = �2 −  (2� + 2)�  +  �2 − 1． (1)若二次函数的图象与�轴有两个不同的交点，求�的范围； (2)若� > 2 时，�随�的增大而增大，求�的取值范围． (3)若点(2, �1)，点(3, �2)都在二次函数图象上，且�1 > �2,求�的取值范围． 21.已知二次函数� = ��2 + (� + 2)� − 2� − 2(�为常数且� ≠ 0)． (1)当函数图象经过点(0, − 6)时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； (2)求证：当� ≠− 23时，函数图象与�轴必有两个不同的交点； (3)若函数图象经过�(�1, �1)，�(�2, �2)两点，其中�1 + �2 = 3，且当�1 < �2时，总有�1 > �2，求�的取值 范围． 第 5页，共 5页 22.在平面直角坐标系中，已知抛物线� = ��2 − 2�� − 3�(� > 0)． (1)①抛物线的对称轴为直线______； ②求证：该函数的图象与�轴总有两个公共点； (2)当−2 ≤ � ≤ 2 时，函数值�的取值范围是−4 ≤ � ≤ �． ①求�和�的值； ②将该抛物线在 0 ≤ � ≤ 4 间的部分记为�，将�在直线� = �下方的部分沿� = �翻折，其余部分保持不变， 得到的新图象记为�，设�的最高点、最低点的纵坐标分别为�1，�2，若�1 − �2 < 7，求�的取值范围． 答案和解析 1.   2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.，  10.且  11.  12.  13.  14.  15.  16.        或  解：由图象可得， 把代入得， 解得， 故答案为：；； ，与轴的一个交点为， 则另一个交点的坐标为：． 时，的取值范围为：． 故答案为：； 抛物线顶点坐标为，图象开口向下， 当时，， 时，． 故答案为：； 点横坐标为，点横坐标为， 或时，抛物线在直线下方， 故答案为：或． 17.（1）解：当时，二次函数的解析式为． ， 方程有两个相等的实数根． 二次函数的图象与轴的交点个数为． （2）由题意，得解得．   18.解：根据表格数据可知，函数图象的对称轴为直线． 故填直线． 二次函数的解析式为， 把代入， 解得． 二次函数的解析式为． 当时， 不可以为． 新函数解析式是：． 两个函数的图象如图所示． 由图象知，函数值都随值的增大而减小的的取值范围是 令， 解得，， 对应的值分别为，． 根据图象，可知或．   19.（1）证明：当时，， 解得，． 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不等的实数根． 所以不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． （2）解：当时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方．   20.解：在中， 令得，， ， ； ， ； 抛物线开口向上， 当，即时，两点均在对称轴的左侧，恒满足 当，即时，， ， ； 综上，的取值范围为：．  21.解：将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以函数的表达式为． 则， 将代入函数解析式得， ． 所以函数图象的顶点坐标为． 证明：因为， 又因为， 所以， 所以二次函数的图象与轴必有两个不同的交点． 解：将，两点坐标代入函数解析式得， ， ， 两式相减得， ， 又因为， 所以 又因为当时，总有， 所以， 解得． 所以的取值范围是：．  22.对称轴是直线． 故答案为：； 令，则， ， 该函数的图象与轴总有两个公共点． 当时，函数值的取值范围是， 抛物线的顶点为． ． ． ． ， 当时，取最大值． ． 设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， 点，点，则点， 当点在点下方时，． 函数的最高点为，最低点为， ． ． ． 当点在点上方时，同理可得：； ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级上22.2 二次函数与一元二次方程 同步提升 1、 选择题 1.抛物线与轴的交点个数是(    ) A. B. C. D. 无法判断 2.如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 或 第2题 第4题 第5题 第6题 3.二次函数的图象与轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 4.已知二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根的情况是  (    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个不相等的负根 D. 有两个不相等的正根 5.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ，C. ， D. ， 7.下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值，则关于的一元二次方程的一个解的范围可能是(    ) A. B. C. D. 8.新定义：若一个点的横纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”若二次函数为常数在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为          ． 第9题 第12题 第15题 10.抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 11.已知二次函数与轴的交点的横坐标为，则的值为          ． 12.如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点过点作轴，交该图象于点若、，则的面积为______． 13.在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，二次函数的图象与轴交于、两点，且，则的取值范围为______． 14.把二次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足           15.二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线下列结论：；；；；点是抛物线上的两点，若，则；若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为其中正确的有__________填序号． 三、解答题 16.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． ______， ______； 当时，的取值范围是______； 当时，的取值范围是______； 当时，的取值范围是______． 17.已知二次函数． 若，求二次函数的图象与轴的交点个数； 若二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围． 18.小明和小芳学习了二次函数知识，准备用相互提问的方式来考查对方对二次函数知识的掌握情况他们找到一个二次函数问题的一部分： 已知二次函数，下面表格中给出了部分，的对应数据： 小明首先提出问题： 根据表格可知，二次函数图象的对称轴为          的值可以为吗请说明理由． 小芳也提出问题： 将函数的一次项系数作为二次项系数，常数项作为一次项系数，二次项系数作为常数项，得到的新函数解析式是          请在同一个坐标系中大致画出原函数和新函数的图象，并直接写出两个函数的函数值都随值的增大而减小的的取值范围． 共同探讨问题： 如果直线和这两个函数图象有三个交点，求出的值． 请帮他们解决以上问题． 19.已知二次函数为常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？ 20.已知二次函数． 若二次函数的图象与轴有两个不同的交点，求的范围； 若时，随的增大而增大，求的取值范围． 若点，点都在二次函数图象上，且求的取值范围． 21.已知二次函数为常数且． 当函数图象经过点时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； 求证：当时，函数图象与轴必有两个不同的交点； 若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 22.在平面直角坐标系中，已知抛物线． 抛物线的对称轴为直线______； 求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； 当时，函数值的取值范围是． 求和的值； 将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为，设的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$