精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2023-2024学年高三下学期期中联考数学（理科）试卷

鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第二学期期中联考试卷 高三数学（理科） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，即，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 2 已知，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模. 【详解】因为，即，即， 因为，，所以，解得， 所以. 故选：A 3. 若实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定不等式组表示的点的区域,再进行分析何时取得最大值. 【详解】实数满足约束条件,表示的可行域如图阴影部分所示. 当直线经过点A时,取得最大值． 由,解得. 所以． 故选:C． 4. 已知是的边上一点，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，进而可得，代入运算即可. 【详解】由题意可得：， 可知，所以. 故选：B. 5. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果. 【详解】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大， 则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则， 则展开式通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故选：A 6. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表所示： 色差 21 23 25 27 色度 15 18 19 20 根据上表提供的数据，得该产品的色度和色差的线性回归方程为，当该产品的色差为28时，估计该产品的色度为（ ） A. 20.8 B. 20.6 C. 21.6 D. 21.2 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出样本中心点，即可求出，从而求出回归直线方程，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，， 由线性回归方程为必过样本中心点，即，解得，所以， 当时，即当该产品的色差为28时，估计该产品的色度为. 故选：D 7. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解. 【详解】若，，，则与有可能平行，故A错误； 若，，则可能在内，故B错误； 若，，则，又，则，故C正确； 若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误. 故选：C. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D 9. 已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题设转化为的图象和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解. 【详解】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以k的取值范围是. 故选：A． 10. 已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案. 【详解】由题意可得：的最小正周期， 又对任意的恒成立， 所以为的一条对称轴， 所以，解得， 又，则，， 所以． 当时，， 若函数在区间上恰有3个零点，则，解得， 即的取值范围是. 故选：D． 11. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由题中条件可得，，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，再求出离心率即可. 【详解】在平面直角坐标系中，如图， 反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点， 由，，可得，. 则， ， 记双曲线的焦距为，长轴长为， 在直角三角形中，，， 由双曲线的定义，可得，所以， 即， 所以离心率. 故选：A 12. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得，构造函数，利用导数可得，则答案可求. 【详解】因为，所以，所以， 令，所以，则， ， 所以， 即恒为递增函数， 则，即，所以， 综上：， 故选：A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆柱上、下底面的圆周都在一个表面积为169π的球面上，圆柱底面的直径为5，则该圆柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出球半径，然后根据勾股定理求出圆柱的母线长，最后再根据圆柱的体积公式求解. 【详解】设球的半径为，所以，解得， 设圆柱的母线长为，圆柱底面的半径为， 所以，即，解得， 所以该圆柱的体积． 故答案为： 14. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在直线上确定出值，根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，结合即可计算出的值，即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点在直线上， 令，则，故双曲线的右焦点为， 所以，所以，① 又因为双曲线的一条渐近线平行于直线， 所以，② 由①②解得， 所以，双曲线的方程为：. 故答案为： 15. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案． 【详解】函数的定义域为，满足， 且当,时，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 锐角的内角的对边为，若的面积是，则的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】作于，根据面积求出，再设，再求出，从而得到，再利用两角和的正弦公式得到，代入上式利用基本不等式即可. 【详解】作于，则，所以. 设，则，因为是锐角三角形， 所以，解得，则， 又， 所以 ，等号仅当，即时成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化弦为切，再将正切表达式代入，最后结合基本不等式即可求出最值. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在数列中，，，数列是公比不为1的等比数列，且，，成等差数列． （1）求数列与的通项公式， （2）若，求数列的前项和 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求的通项，然后可得的通项，根据等差中项列方程求出q，然后可得的通项； （2）利用等比数列求和公式和裂项相消法可得. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，，即. 由题知，， 记的公比为q，则，解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，直线PB与平面ABCD所成的角为，E是棱PD的中点． （1）求证：平面平面PCD； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）确定得到，根据线面垂直得到，利用勾股定理确定，证明平面PAC，得到证明. （2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成的角为，即， 又AB，平面ABCD，所以，． 中，，，，所以． 在梯形ABCD中，，，，， 所以，，所以，所以， 又，AC，平面PAC，所以平面PAC， 又平面PCD，所以平面平面PCD． 【小问2详解】 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，，，，， ，， 设平面ACE的一个法向量为，， 令，解得，，所以平面ACE的一个法向量． 设平面PCE的一个法向量为，， 令，解得，，所以平面PCE的一个法向量， 所以， 由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为． 19. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞． （1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率； （2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件得出每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率，再利用独立重复试验模型，即可求出结果； （2）分别计算出能被招飞院校录取的概率，再按步骤求出离散型随机变量的分布列及期望. 【小问1详解】 因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 故这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率. 【小问2详解】 因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估能被招飞院校录取的概率分别为， 所以能被招飞院校录取的概率为， 能被招飞院校录取的概率为， 能被招飞院校录取的概率为， 由题知，的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 . 20. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程； （2）设，且，求得，再根据已知可得直线，而直线，进而求出坐标，过作轴，利用等比例关系求即可得结论. 【小问1详解】 由题意，故. 【小问2详解】 由（1）及题设知：，直线的斜率存在且不为0， 设，则，即， 所以，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则， 故直线，而直线，则， 联立，而，可得， 所以，故，过作轴，如图， 所以为定值. 21. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）求证：，， 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）将问题转化为对任意的恒成立，构造函数分类讨论判定函数的单调性结合端点函数值计算即可； （3）利用（2）的结论得出，令，通过累加即可证明不等式. 【小问1详解】 若，则，所以， 所以， 又，所以函数的图象在处的切线方程为， 即； 小问2详解】 若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，， 所以， 若，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意． 若，方程的判别式， 当，即时， 令，解得，令， 解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意； 当，即时，则，所以在上单调递减， 所以，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当，时，，令， 所以，所以， 所以， 即，． 【点睛】本题难点在于第二问，需要将恒成立问题转化为对任意的恒成立，然后利用端点效应分类讨论计算；第三问，需要根据（2）的结论构造并取，利用累加法证明即可.技巧性比较强，需要多练习总结. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为． （1）求的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若点的直角坐标为，直线与交于两点，求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，求得曲线的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程； （2）由点的直角坐标为，得到点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的方程，结合韦达定理得到，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：因为曲线的参数方程为（为参数）， 即，平方相加得， 即曲线的普通方程为， 直线的极坐标方程为，所以， 将代入，可得，即， 所以直线的直角坐标方程为． 【小问2详解】 解：点的直角坐标为，可得点在直线上， 直线的一个参数方程为（为参数）， 将代入，可得， 设点在直线上对应的参数分别为， 所以且， 所以与的夹角为，所以． 23. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且正数满足，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值求解不等式； （2）先求出的最小值，确定，再利用基本不等式证明. 【小问1详解】 当时，， 解得，所以； 当时，， 解得，所以； 当时，， 解得，所以． 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以． 因为，所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第二学期期中联考试卷 高三数学（理科） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A B. 2 C. D. 10 3. 若实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. 13 D. 15 4. 已知是的边上一点，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 6. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表所示： 色差 21 23 25 27 色度 15 18 19 20 根据上表提供的数据，得该产品的色度和色差的线性回归方程为，当该产品的色差为28时，估计该产品的色度为（ ） A. 20.8 B. 20.6 C. 21.6 D. 21.2 7. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 12. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆柱上、下底面的圆周都在一个表面积为169π的球面上，圆柱底面的直径为5，则该圆柱的体积为________． 14. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为______． 15. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________． 16. 锐角的内角的对边为，若的面积是，则的最小值是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在数列中，，，数列是公比不为1等比数列，且，，成等差数列． （1）求数列与的通项公式， （2）若，求数列的前项和 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，直线PB与平面ABCD所成的角为，E是棱PD的中点． （1）求证：平面平面PCD； （2）求二面角的余弦值． 19. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞． （1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率； （2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望． 20. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由． 21. 已知函数． （1）若，求函数图象在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围； （3）求证：，， （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为． （1）求的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若点的直角坐标为，直线与交于两点，求的值． 23. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且正数满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$