第二章一元二次方程章末练习作业2025-2026学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程 章末练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．方程5 x 2 ＝6 x －4化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5、6、4 B．5、6、－4 C．5、－6、－4 D．5、－6、4 2．将一元二次方程化为一般形式为（        ） A． B． C． D． 3．方程的一次项系数和常数项分别为（ ） A．， B．，5 C．， D．， 4．若a是方程的一个解，则的值为　　 A．3 B． C．9 D． 5．已知是方程的一个根，则的值为（ ） A．5 B．－5 C．6 D．－6 6．关于的一元二次方程．下列论断：若，则它有一根为；若它有一根为，则一定有；若，则它一定有两个不相等的实数根；其中正确的是（          ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．下列方程中，一元二次方程共有（         ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知，，．则的值是（       ） A． B． C． D． 9．若实数范围内定义一种运算“﹡”，使，则方程的解为（      ） A．-2 B．-2，3 C． D． 10．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（ ） A．64 B．75 C．53或75 D．64或75 二、填空题 11．在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行两次比赛，共要比赛72场，若参赛队有支队，则可得方程 ． 12．方程的解为 ． 13．若将方程化为，则 ． 14．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握一次手，一共握手次，参加聚会有 人． 15．已知，是方程的两根，则 ． 16．如图：靠着的房屋后墙，围一块的矩形鸡场，现在有篱笆共，长方形地的长为 ；宽为 ． 三、解答题 17．选择适当方法解下列方程： ； ； ； ． 18．已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0. (1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？ (2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？ 19．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用总长为的篱笆（靠墙一面不用篱笆）围成一个矩形菜园．当长度为多少时，矩形菜园的面积为？ 20．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．问一次卖多少只获得的利润为120元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《一元二次方程 章末练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C A C A C D D 1．D 【详解】分析：一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 详解：5x2＝6x−4化成一元二次方程一般形式是5x2−6x＋4＝0， 它的二次项系数是5，一次项系数是−6，常数项是4． 故选D． 点睛：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 2．A 【分析】展开合并同类项即可. 【详解】(x+1)(x－2)=x2－x－2=3－x2，化为一般形式2x2－x－5=0，所以选A. 【点睛】展开合并是解题的关键. 3．D 【分析】把方程整理为一般形式，即可得出一次项系数和常数项. 【详解】把方程整理为一般形式为： 一次项系数和常数项分别为，. 故选D. 【点睛】一元二次方程的一般形式：，是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 4．C 【详解】∵a是方程的一个解， ∴2a2-a-3=0， ∴2a2-a=3， ∴6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9． 故选C． 5．A 【分析】把x=2代入方程得一个以m为未知数的方程，解方程即可求得m值． 【详解】把x=2代入方程，得， 4－2m+6=0 解得，m=5． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 6．C 【分析】（1）与（2）根据方程的根的定义，代入方程分别把x＝−1和x＝−c代入检验即可； （3）将b＝a＋2c代入△中，再判断△与0的关系即可确定方程根的个数． 【详解】（1）∵方程有一根为−1； ∴ax2＋bx＋c＝0可变形为a−b＋c＝0；所以（1）正确； （2）∵方程有一根为−c； ∴a（−c）2＋b（−c）＋c＝0可变形为ac2−bc＋c＝0；化简得：c（ac−b＋1）＝0， 当c≠0时，ac−b＋1＝0，ac−b＝−1； 但是当c＝0时，上面的关系不一定成立，所以（2）不一定成立； （3）∵b＝a＋2c， ∴△＝b2−4ac＝（a＋2c）2−4ac＝a2＋4c2； ∵a≠0； ∴△＝a2＋4c2＞0； ∴方程一定有两个不相等的实数根；所以（3）正确． 故选C． 【点睛】本题考查了方程的根的定义，方程解的个数的判定可以转化为判定判别式与0的大小关系． 7．A 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ②含有x、y两个未知数，故本选项错误； ③分母中含有未知数，故本选项错误； ④不是等式，从而不是方程，故本选项错误； ⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 8．C 【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a、b、c的值，从而得出结论． 【详解】由a2﹣4b=﹣18，b2+10c=7，c2﹣6a=﹣27得： a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38=0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2=0，∴a=3，b=2，c=﹣5，∴a+b+c=0． 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 9．D 【分析】先由所给的运算得出新的式子，求解即可得出答案. 【详解】(x+2+1)2-（x+2）5=x2+x-1=0，用求根公式得x=，所以答案选择D项. 【点睛】本题考查了根据题意得出新的式子，熟练运用求根公式是解决本题的关键. 10．D 【分析】令个位上的数字为x，然后用x表示出十位上的数字，再根据题意列出方程求解出x的具体数值，最后写出这个两位数. 【详解】令个位上的数字为x，则依据题意可知十位上的数字为(x+2)，该两位数可表示为： 10(x+2)+x 依据题意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40 整理得到：x2-9x+20=0           (x-4)(x-5)=0 解得：x1=4，x2=5 则该两位数为64或75, 故选择D. 【点睛】本题三个关键，第一是要会用字母表示出这个两位数，第二是要能够根据题意列出方程，第三是要能够合理选择方法解方程. 11． 【分析】两个球队比赛共比赛x（x-1）场，但因为每个球队都要比赛2次，则比赛的总次数要乘以2，令其等于72即可列出方程． 【详解】依题意得：共要比赛x（x-1）场， 则x（x-1）=72． 故答案是：x（x-1）=72． 【点睛】考查了一元二次方程的运用，要注意每个球队都比赛两次，学生往往会忽略而列出x（x-1）=72的错误答案． 12．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．利用因式分解法求解即可． 【详解】解: 或， ， 故答案是: ，． 13． 【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数． 【详解】x2﹣3x=2，x2﹣3x+（﹣）2=2+（﹣）2，（x﹣）2=． 则m=﹣． 故答案为﹣． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 14． 【分析】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x-1）个人握手，所以共握手 次，根据共握手次数=28为等量关系列出方程求出符合题意的解即可． 【详解】解：设有x人参加聚会，由题意可得： =28， 整理，得x2-x-56=0， 解得x1=8，x2=-7（不合题意舍去）． 答：共有8人参加聚会． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，由共握手次数找出等量关系列出方程求解． 15． 【分析】先由根与系数的关系得出，，再将变形为，然后带入数值计算即可. 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴. 故答案为. 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，对要求的式子进行适当变形是解题的关键. 16． 【分析】设出平行于墙的一边长为xm，则垂直于墙的一边为m，根据矩形的面积列方程解答即可． 【详解】解：设平行于墙的一边长为xm，则垂直于墙的一边长为m，根据题意列方程得， x•=150， 解得x1=15，x2=20（因为长靠着18m的房屋后墙，不合题意，舍去）； 将x=15代入得：（35−15）=10， 即：养鸡场的长为15m，宽为10m． 故答案是：15；10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用矩形的面积=长×宽列出方程是解决本题的关键． 17．（1），； （2），； （3），； （4），． 【分析】（1）利用提取公因式法； （2）利用直接开平方法； （3）利用因式分解法； （4）利用因式分解法. 【详解】解： ， ∴， 解得：，； ， 则， 解得：，； ， ， 解得：，； ， ， 解得：，． 【点睛】本题综合考查了解一元二次方程的方法，熟练掌握各种解方程的方法是解此题的关键. 18．(1)当m≠±1时，该方程为一元二次方程(2)当m＝－1时，该方程为一元一次方程． 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义得到：m2-1≠0，由此可以求得m的值； （2）由一元一次方程的定义得到：m2-1=0，且m-1≠0，由此可以求得m的值. 【详解】 解：(1)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元二次方程， ∴m2－1≠0，解得m≠±1， 即当m≠±1时，该方程为一元二次方程； (2)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元一次方程， ∴m2－1＝0，且m－1≠0，解得m＝－1， 即当m＝－1时，该方程为一元一次方程． 【点睛】 本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键． 19． 【分析】根据题意，设长度为，则，矩形菜园的面积为，由此可列出一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】解：设当长度为时，矩形菜园的面积为， 根据题意得：， 解得：，， ∵当时，，即，不符合题意， ∴舍去， ∴当长度为时，矩形菜园的面积为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际中的运用，掌握题目中的数量关系，列出方程是解题的关键． 20．20只 【分析】设每次卖x只，所获得的利润为120元，根据我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，可列方程求解. 【详解】设每次卖x只，所获得的利润为120元， x[20-13-0.1（x-10）]=120 x2-80x+1200=0 x=20或x=60（舍去）．（因为最多降价到16元，所以60舍去．） 故卖20只时利润可达到120. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$