第二章应用一元二次方程同步作业2025-2026学年北师大版数学九年级上册

应用一元二次方程 同步作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2．两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟． 设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（    ） A． B． C．或 D． 7．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　） A．1+x+x（1+x）＝225 B．1+x2＝225 C．2（1+x）＝225 D．1+（1+x2）＝225 8．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 二、填空题 9．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． 10．将进货单价为40元/件的商品按50元/件出售，每天能售出500件，如果该商品每件每涨价1元，那么每天的销售量就要减少10件，为了每天获得8000元的利润，销售单价应定为多少元/件？ 思路分析：设每件商品涨价x元时，每天能获得8000元的利润． 当销售单价是50元/件时，每天能售出 件， 那么每件商品涨价x元后的销售单价为 元/件，每天的销售量为 件，每件的利润为 元； 根据总利润=销售量×每件的利润，可列方程： ． 11．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 12．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 13．如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知花园的占地面积为670平方米，设小路的宽为米，则可列方程为 . 14．某批发店将进价为 元的小商品按 元卖出时，可卖出 件，已知这种商品每件涨价 元，其销售量就减少 件．若要赚得 元利润，设每件涨价 元，则 满足方程 ． 三、解答题 15．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 16．某种音乐播放器原来每只售价元，经过连续两次降价后，现在每只售价为元．求平均每次降价的百分率． 17．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 18．已知a，b，c是的三边长，且关于a的方程有两个相等的实数根，判断的形状． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《应用一元二次方程 同步作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B C D A C 1．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 2．A 【分析】两个连续的奇数相差2，据此即可建立方程 【详解】解：∵较小的奇数为 x ∴较大的奇数为 故： 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意． 3．C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则第一次降价后的价格为：， 第二次降价后的价格为：， 故， 故选C． 4．B 【分析】设该组共有x名同学，依题意，每位同学送出本书，进而列出方程，即可求解． 【详解】设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 5．C 【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为m，分别表示出2022年第四季度和2023年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程． 【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为m， ∵2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟， ∴2022年第四季度平均每周作业时长为分钟， 2023年第一季度平均每周作业时长为分钟， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意掌握增长率（或下降率）类方程的列法是解题的关键． 6．D 【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】解：设交于H，交于点G，    由平移的性质知，， ∴四边形是平行四边形， ∵由正方形的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， 同理，也是等腰直角三角形， 设，则阴影部分的底长为x，高， ∴， ∴． 即． 故选：D． 【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键. 7．A 【分析】根据每人传染人数，算出每轮增加的人数，再求和即可； 【详解】第一轮传染以后会增加x人，共有1+x人感染，1+x人每人传染x人，第二轮会增加（1+x）x，所以两轮以后共有1+x+x(1+x)人，根据题意可列方程1+x+x(1+x)=225 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程解决问题，掌握知识并熟练使用，找到题中的等量关系并根据等量关系列出对应方程是本题的解题关键． 8．C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 9． 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 10． 【分析】根据题意逐步分析即可． 【详解】解：根据题意可得销售单价是50元/件时，每天能售出500件； 每件商品涨价x元后的销售单价为元/件； 该商品每件每涨价1元，那么每天的销售量就要减少10件， 故每件商品涨价x元后，每天的销售量为件； 每件的利润为元； 根据总利润=销售量×每件的利润，可列方程； 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 11．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 12．16 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 13．或 【分析】设小路的宽为米，两条小路的重合部分是边长为x米的正方形，根据矩形的面积-两条小路的面积+小正方形的面积=花园面积，即可列出一元二次方程；或把两条小路都移到边上，得到一个矩形，根据矩形的面积公式即可列出一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14． 【分析】设每件涨价 元，小商品的利润为元，再根据每件涨价 元其销售量就减少 件得到该商品的销售量件，再根据根据总利润单件利润销售数量即可解答． 【详解】解：设每件涨价 元根据题意， 可得方程， 故答案为； 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意明确题目中的数量关系与等量关系是解题的关键． 15．(1)平均每次降价盈利减少的百分率为 (2)每件应降价60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 16．平均每次降价的百分率为 【分析】设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得， 解得：或（不符题意，舍去） 答：平均每次降价的百分率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 17．(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 18．为等腰直角三角形． 【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理逆定理，等腰三角形定义，由，得出三边关系，进一步利用勾股定理逆定理判定三角形的形状即可． 【详解】解：根据题意，得， ， 且， 即且， 为等腰直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$