2.5一元二次方程根与系数的关系同步作业 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程根与系数的关系 同步作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，两根分别为2和3的方程是（    ） A．x2-x-6=0 B．x2-5x-6=0 C．x2+x+6=0 D．x2-5x+6=0 2．关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（   ） A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2 5．若m，n为方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 6．二次项系数为1的一元二次方程的两个根分别为1＋和1－，那么这个方程是() A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x－1＝0 7．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是(   ) A． B．－ C．4 D．－1 8．方程与所有根的乘积等于（ ） A．-18 B．18 C．-3 D．3 二、填空题 9．已知，，且，则 ． 10．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 11．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ，= ． 12．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足，则k的值是 ． 13．已知，是的两个根，则 ． 14．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则 ． 三、解答题 15．已知：关于的一元二次方程． 求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 16．关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根． 17．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根，求下列代数式的值． （1） （2）x12+x22 （3）（x1﹣x2）2 （4） （5）（x1﹣2）（x2﹣2） （6）（x1+）（x2+） 18．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《一元二次方程根与系数的关系 同步作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C A D A A 1．D 【分析】根据方程的两根为2和3，结合根与系数的关系即可得出方程，此题得解． 【详解】解：∵方程的两根分别为2和3， ∴2+3=5，2×3=6， ∴方程为x2-5x+6=0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知当是一元二次方程的两根时，则有，是解决问题的关键．根据根与系数的关系可得出两根之积为，从而得出另一个根． 【详解】解：设另一个根为m， ∵关于x的一元二次方程的一个根为1． ∴， 故选：D． 3．A 【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解． 【详解】解：是一元一次方程的两根， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 4．C 【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题． 【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2， ∴m+6=m2， 解得m=3或m=-2， ∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得m=6或m=-2 ∴m=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 5．A 【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：m为方程的实数根， ∴， 即， ∴， ∵m，n为方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：A． 6．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答. 【详解】由题意及韦达定理，得，x1·x2＝.已知a＝1，得到b＝－2，c＝－1.所以，答案选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键. 7．A 【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=， ∴ba=（）2=． 故选A． 8．A 【详解】方程+3x-6=0的两根之积为-6， -6x+3=0的两根之积为3， 所以两个方程的所有根的积：-3×6=-18， 故选A． 9． 【分析】已知，，且，则a，b就是方程的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：a，b就是方程的两根 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程中根与系数之间的关系，正确理解a，b就是方程的两根是解决本题的关键． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．直接根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， 解得： 故答案为：． 11． 【分析】是方程的两实根，，又是关于的方程的两实根， 再解关于p，q的方程即可得出答案． 【详解】∵是方程的两实根， ∴, 又∵是关于的方程的两实根， ∴ ∴−p+2=−q，q−p+1=p， 即p−q=2，2p−q=1， 解得：q=−1，p=−3. 故答案为−1，−3. 【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 12．2 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别是，， ∴，， ， 解得：k=2， 故答案为：2 13．2 【分析】根据题意，利用根与系数的关系求出的值，把代入得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：是的两个根， ，即， 则原式． 故答案为∶2． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 14．1 【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可． 【详解】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根， ∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1， ∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1） ＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β） ＝（0+α）（0+β） ＝αβ ＝1． 故答案是：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 15．详见解析 【详解】试题分析：要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数； 试题解析：证明：∵△=[-（2m+1）]2-4（m2+m-2）=4m2+4m+1-4m2-4m+8=9＞0 ∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根； 考点：根的判别式 16．，． 【分析】将代入方程，求解关于的一元一次方程，再将代入原方程，根据两根之积求解即可． 【详解】解：把代入， 得，解得， ∴原方程为， 设另一根为， 由根与系数的关系可得：，即 解得，即原方程的另一个根是． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，涉及了一元一次方程的求解，理解一元二次方程解的含义以及熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 17．（1）-3（2）（3）（4）-（5）（6）- 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，然后把它们的值代入代数式可以求出代数式的值． 【详解】∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=，x1x2=﹣． （1）+===﹣3； （2）x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（）2﹣2×（﹣）=； （3）（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣4×（﹣）=； （4）+===﹣； （5）（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=﹣﹣2×+4=； （6）（x1+）（x2+）=x1x2+2+=﹣+2+=﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是求出两根之和与两根之积. 18．(1)k； (2)k=3 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$