精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2024—2025学年 下学期七年级期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期第一次质量监测七年数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间100分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 抛一个瓶盖，落地后盖口向上 D. 口袋里共有5个大小相同的红球，从中摸出1个球是黄球 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，过点的线段交边于点，若与的面积相等，则线段是的（ ） A. 高 B. 垂线 C. 角平分线 D. 中线 6. 如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 8. 如图，，，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 下列说法不正确的是(　　) A. 若两个相等的角有一组边平行,则另一组边也平行 B. 两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直 C. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直 D. 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 10. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则补角为______． 12. 如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内概率是________________. 13. 下列图形中，能直观解释“”的是______． 14. 如图，直线，点E在直线上，射线交直线于点G，则图中与互补角有______个． 15. 地球表面平均上的空气质量约为，地球表面的面积大约，已知地球的质量约为，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的______倍． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）用完全平方公式计算：； （2）计算：， 17. 已知，求代数式的值． 18. 如图，已知，射线分别交，于点M，N，点G在的延长线上，若． （1）判断与是否平行？请说明理由； （2）若，求的度数． 19. 一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，混合均匀后任意摸出一个球，求“摸出的球的号码不超过3”这个事件的概率是多少？ 20. 已知实数，，，满足，，试说明为非负数． 21. 如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． （1）判断直线与是否垂直？请说明理由； （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． （1）设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； （2）请判断与的数量关系，并说明理由． 23. 定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． （1）若，求“5系数补角”的度数； （2）在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期第一次质量监测七年数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间100分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的形式为，其中，为整数即可求解． 【详解】解： 故选：C． 2. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 抛一个瓶盖，落地后盖口向上 D. 口袋里共有5个大小相同的红球，从中摸出1个球是黄球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类；根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断．必然事件是一定发生的事件，不可能事件是绝对不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A：骰子只有1到6点，掷出7点不可能，属于不可能事件． B：根据平行公理，平行于同一直线的两直线必平行，属于必然事件． C：瓶盖落地后盖口方向不确定，可能向上或向下，属于随机事件． D：口袋中无黄球，摸出黄球不可能，属于不可能事件． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式和平方差公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 在中，过点的线段交边于点，若与的面积相等，则线段是的（ ） A. 高 B. 垂线 C. 角平分线 D. 中线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中的线段，三角形中线的性质，当线段将分为面积相等的和时，必为的中点，此时为中线． 【详解】解：与的面积相等，则线段是的中线， 故选：D． 6. 如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质．根据三角形外角性质求出，再根据三角形外角的性质，可求出的大小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， 故选：B． 7. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 8. 如图，，，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 9. 下列说法不正确的是(　　) A. 若两个相等的角有一组边平行,则另一组边也平行 B. 两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直 C. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直 D. 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的定义，平行线的性质，垂线的性质分别进行分析即可． 【详解】A、若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行或者相交，所以说法错误； B、两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直，正确； C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，正确； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确， 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义，平行线的性质，垂线的性质等知识，难度不大． 10. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法；根据题意，将左边的个相加转化为乘法，右边的个相乘转化为幂运算，利用指数运算性质化简等式，进而得到与的关系． 【详解】解：左边为个相加，即；右边为个相乘，即． 将左边改写， 因此等式变为． 由于底数相同，指数相等， 故， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的补角为______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】此题主要考查了互为补角，直接利用互为补角的定义即可得出答案，正确掌握互为补角的定义是解题关键． 【详解】解：∵， ∴的补角为， 故答案为：． 12. 如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积，即可求出停止后指针都落在阴影区域内的概率． 【详解】指针停止后指向图中阴影的概率是：. 故答案为． 【点睛】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积． 13. 下列图形中，能直观解释“”的是______． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键．根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可． 【详解】解：图①表示：，故不符合题意； 图②表示：，故不符合题意； 图③表示：，故不符合题意； 图④表示：，故符合题意； 综上分析可知：只有④符合题意． 故答案为：④． 14. 如图，直线，点E在直线上，射线交直线于点G，则图中与互补的角有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴图中与互补角有，，，共3个． 故答案为：3． 15. 地球表面平均上的空气质量约为，地球表面的面积大约，已知地球的质量约为，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的______倍． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的应用，同底数幂乘法，整式的除法运算，先把地球的表面积转换为，再列出即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵地球的表面积大约是， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）用完全平方公式计算：； （2）计算：， 【答案】（1）10200；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式与单项式的乘除法及乘法公式，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式可进行求解； （2）根据积的乘方和单项式与单项式的乘除法法则可进行求解； 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】，-2 【解析】 【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键． 18. 如图，已知，射线分别交，于点M，N，点G在的延长线上，若． （1）判断与是否平行？请说明理由； （2）若，求度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和平行线的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知可得，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 19. 一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，混合均匀后任意摸出一个球，求“摸出的球的号码不超过3”这个事件的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率． 先确定 “号码不超过3” 的球的个数，再根据概率公式用“号码不超过3”的球的个数除以球的总数，即可解答． 【详解】解：∵口袋中装有五个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码， ∴“摸出的球的号码不超过3”的球为1、2、3号球，共3个， ∴“摸出的球的号码不超过3”这个事件的概率是． 20. 已知实数，，，满足，，试说明为非负数． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，由，得，然后代入，从而求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ， ∴为非负数． 21. 如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． （1）判断直线与是否垂直？请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，平行线的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出，证明，求出，即可得出结论； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． （1）设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； （2）请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， ． 【小问2详解】 如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 23. 定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． （1）若，求的“5系数补角”的度数； （2）在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 【答案】（1） （2）①；②的度数为或或 【解析】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）根据平行线的性质得出，根据题意求出，根据角平分线定义得出，，求出最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 的“5系数补角”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ∵， ， ， ，， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ∵， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$