专题1.4 空间向量的应用（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题1.4 空间向量的应用 教学目标 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 3.会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 教学重难点 1.重点 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 2.难点 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 知识点01 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使__________或，这就是空间直线的向量表达式. 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用__________求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个__________的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【即学即练】 1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是__________向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个__________向量线性表示即可． （3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【即学即练】 1．在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，，下列结论正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则四面体的体积是定值 C．若，，则存在点，使得的最小值为 D．若，则点F的轨迹长为 2．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即__________． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条__________垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 【即学即练】 1．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 2．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 知识点04 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则__________． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角__________， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【即学即练】 1．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 2．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 知识点05 用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离__________，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离__________. 【即学即练】 1．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 2．在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 题型01 求平面的法向量 【典例1】结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【变式1】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 【变式4】已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用向量研究平行问题 【典例1】在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【典例2】已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（   ） A．四点共面 B．直线与直线是异面直线 C．点坐标为 D．点坐标为 （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【变式1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【变式2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【变式3】在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 题型03 利用向量研究垂直问题 【典例1】如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题： ①四棱锥的体积为20； ②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； ③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面； ④存在唯一的点E，使得平面，且. 其中正确的是 （填写所有正确的序号）. 【典例2】如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直．　 【变式1】若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【变式3】如图，在正三棱柱中，，，是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与平面成角 B．若，则平面平面 C．若，则 D．若，则三棱柱有内切球 题型04 异面直线所成的角 【典例1】在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】在平行六面体中，各棱长均为6．，则下列结论正确的有（    ） A． B．四边形为正方形 C．与平面所成角的余弦值为 D．四边形内存在点P，使得直线与所成角为 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 【变式1】在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型05 线面角 【典例1】如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值. 【典例2】如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【变式1】已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式2】如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【变式3】若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为 ． 题型06 二面角 【典例1】如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【典例2】在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 【变式1】如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是 . 【变式2】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 【变式3】如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则 ． 题型07 距离问题 【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【典例2】如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式1】如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【变式2】如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【变式3】在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 1．下列说法正确的是（    ） A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 C．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 2．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 9．若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 10．若平面向量与向量的夹角是，且，则的坐标等于（   ） A． B． C．或 D．或 11．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 12．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 13．如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. (1)求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 14．如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 15．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间向量的应用 教学目标 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 3.会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 教学重难点 1.重点 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 2.难点 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 知识点01 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【即学即练】 1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【即学即练】 1．在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，，下列结论正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则四面体的体积是定值 C．若，，则存在点，使得的最小值为 D．若，则点F的轨迹长为 【答案】ABD 【分析】若，则在上，利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；若，则三点共线，利用线面平行的判定定理得出平面，得上的点到平面的距离都相等，再由，可判断B；若，，则点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面，此时有最小值，由余弦定理可判断C；取的中点，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设利用 可判断D正确. 【详解】对于A，若，则，即在上， 连接，因为底面是菱形，所以， 因为底面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以，故A正确；    对于B，若，则三点共线，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面， 可得上的点到平面的距离都相等， 可得，取的中点，连接， 可得是边长为2的等边三角形，， 又平面，平面，所以，又， 平面，可得平面， 平面，因为， ，可得，故B正确；    对于C，若，，则，即， 即点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面， 此时有最小值，在中，， 所以，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，故C错误；    对于D，取的中点，连接，， 由余弦定理得，则，以为原点，分别以所在 的直线为轴建立空间直角坐标系，设，， ， 因为，所以， 即，可得点F的轨迹是在平面内，以为圆心， 为半径的半圆，且，所以点F的轨迹长为，故D正确.    故选：ABD. 2．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解. 【详解】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行， 则，； 故选：A. 知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 【即学即练】 1．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 2．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）通过证明垂直平面与平面的交线，利用平面与平面垂直的性质定理来证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证得两直线垂直； （2）建立空间直角坐标系，将垂直关系、线段长度都转化成坐标运算，设，通过解得或，分别代入计算可得结果. 【详解】（1）设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. （2）在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 知识点04 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【即学即练】 1．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 或 【分析】（1）由平面 平面 ，得到 平面 ，再结合即可求证； （2）建系，设 求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解，利用体积公式计计算得出结果. 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 2．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据给定条件，以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出点坐标，再求出平面AFM的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 于是，， ，， 而和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以平面ACF. （2）设点存在，，， ， 设平面法向量为，则， 取，得， 设与平面所成角为，， 由，解得， 即为中点，坐标为， ，设面AFM法向量， 则，取，得， 设平面AFM与平面的夹角为，则， 所以平面AFM与平面夹角的余弦值. 知识点05 用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【即学即练】 1．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接，   是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 2．在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【分析】利用面面平行证明线面平行，判断A.；建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断B，利用等体积法求得点到直线的距离C，利用向量法求得点到直线的距离判断D. 【详解】对于A，如图，取的中点，连接、， 因为点、是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，且，所以， 因为平面，平面，所以平面， 且，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B，若是上靠近的四等分点， 以为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，， 所以，，且，、平面， 所以平面，且过点只有条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故B正确； 对于C，因为是棱的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 由题意可得是等边三角形，且，设点到平面的距离为， 由，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为，C错； 对于D，若点在棱上运动，设，， ，， 则点到的距离， 当时，的最小值为，D对. 故选：ABD 题型01 求平面的法向量 【典例1】结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【变式1】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要是平面的一个法向量，则要与平面的两不共线的向量垂直，两向量垂直即数量积为零，再根据数量积的运算验证即可. 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 【变式3】棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的方程，点关于平面的对称点坐标，结合对称求出最小值. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面的截距式方程方程为， ，设的法向量，则， 令，得，令点关于平面的对称点为， 则，解得，即， 连接交平面于点，则在内，且， 因此的周长， 当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为. 故选：D 【变式4】已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 题型02 利用向量研究平行问题 【典例1】在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 【典例2】已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（   ） A．四点共面 B．直线与直线是异面直线 C．点坐标为 D．点坐标为 【答案】BCD 【分析】选项A，求平面法向量，验证是否为0判断四点是否共面即可；选项B，求和方向向量，假设共面列方程组，根据有无解判断是否共面即可；选项C，设得坐标表达式，利用和共线列方程求确定坐标即可；选项D，由和共线求出，根据确定坐标即可. 【详解】选项A，， ，， 设平面的法向量，则， 解得，，为不为的实数， 不妨取，因为， 所以四点不共面，选项A错误； 选项B，直线的方向向量， 直线的方向向量， 假设直线与直线共面，则存在实数，使得， 即，此方程无解， 所以直线与直线是异面直线，选项B正确； 选项C，因为在直线上，设，，， 则点坐标为，又有， 则， 因为在直线上，设，，， 则点坐标为，则， 因为和共线，则，解得， 此时点坐标为，选项C正确； 选项D，，解得，， 此时点坐标为，选项D正确； 故选：BCD. （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【变式1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【变式2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式3】在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 【答案】AC 【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 题型03 利用向量研究垂直问题 【典例1】如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题： ①四棱锥的体积为20； ②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； ③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面； ④存在唯一的点E，使得平面，且. 其中正确的是 （填写所有正确的序号）. 【答案】①②④ 【分析】由给定条件可得是平行四边形，求出三棱锥体积可判断①；求出中的最小值可判断②；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算可判断③，④即可作答. 【详解】平面与棱交于点F，连接，如图， 在长方体中，平面平面，平面平面，平面平面， 则有，同理，因此，四边形是平行四边形， 而平面，所以四棱锥的体积，①正确； 因截面四边形是平行四边形，则周长为， 把矩形与矩形展开在同一平面内，如图， 连接交于E，从而得的最小值为，显然点E唯一， 所以存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值，②正确； 在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点，，， 令是平面的一个法向量，则，令得， 设AD上点，而，， 当平面时，有，即，， 由得，则有， 即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含点）上移动时，在棱AD上均存在点G，使得平面， 当时，，此时点G在线段AD的延长线上， 即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含两个端点）上移动时，在棱AD上不存在点G，使得平面，③不正确； 由③中信息知，要有平面，必有， 而，因此，，解得， 所以存在唯一的点E，使得平面，且，④正确. 故答案为：①②④ 【典例2】如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，只需验算是否成立，对于B，只需验算是否成立，对于C，为定值，故只需判断点运动时到距离是否是定值即可；对于D，由到底面距离不变，面积不变即可判断. 【详解】不妨以为原点，、、分别为、、轴正方向建立直角坐标系， 设，则，，，设， 结论：，，令得，故当与重合时，，正确； 结论：，，令，故当时，，正确； 结论：与不平行，故点运动时到距离不是定值，又为定值，故的面积不是定值．错误． 结论：到底面距离不变，面积不变，而为定值．正确． 故选：C． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直．　 【变式1】若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【变式3】如图，在正三棱柱中，，，是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与平面成角 B．若，则平面平面 C．若，则 D．若，则三棱柱有内切球 【答案】ACD 【分析】对于A，找到线在平面上的射影，通过相关线段的长度关系求解角度；对于B，C，运用空间向量法，计算判断；对于D，三棱柱内切球，找出其半径与三棱柱棱长的关系，计算判断. 【详解】对于选项A，取中点，连接.因为正三棱柱中平面，所以就是与平面所成的角. 已知，则，. 当时，，所以，选项A正确.   对于选项B，以为原点，分别以所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 当时，，，，，. 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，解得. 又，， 设平面的法向量为，则， 令，解得. 计算， 所以平面与平面不垂直，选项B错误.   对于选项C，，. 已知，，，，，. 当时， ，故，选项C正确.   对于选项D，若正三棱柱有内切球，则内切球的半径等于底面正三角形的内切圆半径且等于侧棱长的一半， 即，此时，选项D正确. 故选：ACD. 题型04 异面直线所成的角 【典例1】在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 【典例2】在平行六面体中，各棱长均为6．，则下列结论正确的有（    ） A． B．四边形为正方形 C．与平面所成角的余弦值为 D．四边形内存在点P，使得直线与所成角为 【答案】BC 【分析】对于选项A，用向量的线性定理将向量表示出来，然后求向量的模即可；对于选项B，可计算是否为0来验证四边形是否为矩形，然后结合线段长度验证其是否为正方形；对于选项C，求出平面的法向量后可求与平面所成角的正弦值，故可求其余弦值，对于D，设，根据线线角可得的方程，结合判别式可判断其正误. 【详解】对于选项A： 因为， 所以 , 因为， 而， 同理，， 所以， 所以，A错误；    对于选项B： 因为，所以， 又，故为等边三角形，故. 因为， 所以平行四边形为正方形，B正确； 对于选项C：设平面的法向量为且， 则，故， 取，故， 结合A中计算可得： ， 设与平面所成角的为， 故， 故，故C正确； 对于选项D：因为在四边形内的动点，故可设， 其中，故， 故， ， 而 ， 故， 整理得， 整理得， 此时，故方程无解， 故四边形内不存在点P，使得直线与所成角为，故D错误， 故选：BC. 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 【变式1】在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系结合向量求解异面直线的夹角. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系: 设点 ，，，. 则 为 . 因为在正四棱锥中，所以由图形可知. 因为 是 的中点，所以由，. 得到中点坐标： . 所以 所以 设这两条异面直线夹角为 则 故选：A. 【变式2】中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式3】如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 题型05 线面角 【典例1】如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线性质得线线平行，即可证线面平行； （2）运用等腰三角形和等边三角形三线合一的性质证出两组线线垂直，从而得到线面垂直，线面垂直可直接推出面面垂直； （3）解法一：由正四面体的性质求出点C到平面PAD的距离，即可求解；解法二：建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面所成角的正弦公式即可. 【详解】（1）四边形是菱形，则是中点的同时也是中点， 分别为的中点， 是的中位线，， 平面，平面， 平面. （2），是中点，等腰三角形三线合一，， ，，是等边三角形， 是中点，等边三角形三线合一，， ，平面， 平面， 平面， 故平面平面. （3）解法一：由题意，, 所以三棱锥为正四面体，设棱长为2， 则， 设交于点O，连接PO， 则点O为底面的中心，平面ABD， 由正三角形的性质可得，所以, 由正四面体的性质可得点B到平面PAD的距离也为， 又平面APD，平面APD，所以平面APD， 所以点C到平面PAD的距离也为， 所以直线与平面夹角的正弦值 解法二：由（2）可知，故以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，易知，，，，，，，， 再设，由，，，可得： ，解得， 即，， 设平面的法向量， ，，， 解得， 设直线与平面夹角为， ， 故直线与平面夹角的正弦值为. 【典例2】如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根基线面平行的向量表示，设出F的坐标，根据线面平行，说明F是的中点. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量方法，求出线面角的正弦值. 【详解】（1） 如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则， 设， ，可得，解得， 可得，则设平面的一个法向量， 则，得，解得，所以F是的中点. （2） 如图所示，，，当时，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【变式1】已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，可通过线面垂直推导出线线垂直，即证明平面即可. （2）首先根据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用向量夹角的余弦值公式将直线与平面所成角的正弦值表示出来，并确定其最大值. 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接． 在中，根据余弦定理得 ， 得．同理． 所以，又为中点，所以， 又是正三角形，为中点，所以， 又平面， 故平面，因为平面，因此． （2）在中，， 又，所以， 由勾股定理逆定理得，即， 由（1）可知，又，平面， 所以平面． 因此建立如图所示建立空间直角坐标系，． ，设，则， 由，得， ． 设平面的法向量为，则 ，令得，即． 设与平面所成角为， 则． 设，则， 由，得，所以， 此时，因此． 【变式2】如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】解法一：将直线与平面所成角转化为与平面所成的角即可求解；解法二：设，由等体积法得出，由线面夹角定义即可求解；解法三：以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体，再由线面夹角定义即可求解；解法四：以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用直线与平面夹角的向量公式求解即可． 【详解】解法一：如图所示，设是的中点，连接， 则，故与平面所成的角相等， 设为的中点，连接，则， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，且， 所以平面，又平面 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影， 过点作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，由此可得，，则， 由平面，平面，所以， 在中，， 则由等面积法得，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接， 则为与平面所成的角． 设，则，则， ，，， 因为，所以， 由解法一得，， 由可得，代入数据得， 故． 解法三（补体法）：如图所示，以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体（为该长方体的体对角线）． 设是的中点，则，点在平面上， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影必在上， 过点作于点， 因为，平面， 所以平面， 因此即为与平面所成的角， 设，则，， 在中，． 解法四（向量法）：因为底面，底面， 所以， 又因为，是的中点，所以， 如图所示，以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则由，得，取，得， 设直线与平面所成的角为，则． 【变式3】若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面角的向量法求解. 【详解】设直线l与平面所成角为，依题意，， 所以. 故答案为： 题型06 二面角 【典例1】如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【答案】 【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【典例2】在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据二面角、空间向量运算等知识来求得点与点之间的距离. 【详解】分别作，，垂足为，，则 由已知可得，，，．因为， 则，所以. 故答案为： 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 【变式1】如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，向量法表示出二面角的平面角的余弦值，结合题意建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围． 【详解】以A为原点，以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则， ，，且平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，有，可得 ，                                                   设二面角的大小为，则， 化简得，所以， 所以实数k的取值范围. 故答案为： 【变式2】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】四棱锥的底面是正方形，底面， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，令，得； ，令，得， 依题意，解得，所以. 故答案为：1 【变式3】如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则 ． 【答案】1 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量的坐标表示，再由二面角为即可得或，可求出. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，得，所以可得， 设平面的法向量，则， 令 ，得，即， 因此， 化简可得，解得或， 即或， 可得. 故答案为：1 题型07 距离问题 【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点是中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面．    以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为，           所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”．          因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 【典例2】如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）应用线面垂直得出结合已知应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式计算求解； （3）应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算再结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式1】如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 【变式2】如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式以及三角函数的有界性可求得三棱锥的体积的最大值； （3）利用空间向量法可求得二面角余弦值的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以， 易知平面的一个法向量为，则，即， 又因为平面，所以平面. （2）不妨设点，其中， 则、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 因为为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，故，则， 所以 ， 因为，则，故，所以， 则， 即三棱锥的体积的最大值为. （3）设平面的一个法向量为， ，，则， 取，则， 所以 ， 因为，则，故. 结合图形可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角余弦值的取值范围为. 【变式3】在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合余弦定理即可求解； （2）过点作于点，说明所求为线段的长度，解三角形即可得解. 【详解】（1）由题意，而，， 所以由余弦定理有，即，解得； （2）如图所示，过点作于点， 由题意平面，又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 故所求为线段的长度， 由（1）可知， 所以. 1．下列说法正确的是（    ） A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 C．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量基底的意义判断A；求出对称点坐标判断B；求出线面角判断C；求出点到平面距离判断D. 【详解】对于A，假定向量共面，则存在实数使得， 而不共面，则，此方程组无解，即不共面， 可构成空间的另一个基底，A正确； 对于B，点关于平面对称点为，B正确； 对于C，直线l与平面α所成的角等于，C错误； 对于D，点P到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 2．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可； （3）利用可求. 【详解】（1）因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. （2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； （3）， 因Q为线段PC的中点， 则. 3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 4．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值即可求解. 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ，, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 5．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过的母线为，连接，则，以为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求与所成角的余弦值. 【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，    以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 6．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解. 解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 7．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 8．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 9．若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 10．若平面向量与向量的夹角是，且，则的坐标等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，由条件结合向量的模的坐标公式和向量夹角的公式列方程，解方程可得结论. 【详解】设，因为，所以，故， 又，所以，， 因为平面向量与向量的夹角是， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 若，代入可得，， 若，代入可得，， 所以的坐标等于或， 故选：C. 11．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线与平面所成的角的正弦，进而可得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 12．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程，求出直线经过点，且为一个方向向量，再利用向量法求解即可． 【详解】由题意可得直线的方向向量， 直线经过点，又， 则， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：B. 13．如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. (1)求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得. （2）方法一：连接AC，BD交于点，得到和，证得平面，得到，进而证得平面，得到，作，证得，得到为平面与平面所成二面角的平面角，在直角中，即可求解； 法二：以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由翻折的性质，可得，且 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：方法一：连接AC，BD交于点， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以 由（1）知：，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 作，连接，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在直角中，可得，所以. 法二：以点为原点，以所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 由（1）知平面，所以平面的法向量为， 设，则，即，解得，即， 设平面的法向量为，且， 则，即，取，可得，所以， 设平面与平面所处二面角的平面角为，则. 14．如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）说明两两垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式以及平方关系即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 如图，由平面图易得为平行四边形，则为的中点， 连接，则， 又平面平面，故平面． （2）取的中点，连接，， 由平面图形可知，，则． 又平面平面，且平面平面，面， 故平面． 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设平面的法向量为， ，即，取， 又平面的法向量为， 设平面与平面所成二面角为， ， 即所求平面与平面所成二面角的正弦值为． 15．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可. （2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$