专题1.2 空间向量基本定理（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.. 2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 教学重难点 1.重点 通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.难点 结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 知识点01 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中_________的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组_________.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 2．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 知识点02 空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两_________，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，则在上的投影向量为 2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如_________相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、_________法则仍然成立 【即学即练】 1．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 2．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 题型01 基底的判断 【典例1】若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式1】若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型02 基底的运用 【典例1】如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【变式1】在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【变式3】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 正交分解 【典例1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 正交基底的三个向量共起点　　　 【变式1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【变式3】以下四个命题中正确的是（    ） A．若非零空间向量满足，则有 B．若是空间的一个基底，则都不是零向量 C．纵坐标为0的空间向量都共面 D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 题型04 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例1】如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【变式1】正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 1.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 2.已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 3.如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 5．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．正方体中， ．（用、、表示） 7．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 8．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 9．在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 10．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 12．在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 13．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 14．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 15．在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.. 2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 教学重难点 1.重点 通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.难点 结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 知识点01 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据可得判断B；运用反证法思想说明不共面即可判断C；根据空间向量共面定理的推论即可判断D. 【详解】对于A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，由，可得，因，则，故B错误； 对于C，假设共面，则存在，， 因向量组是空间的一个基底，故不存在使得成立， 故假设不成立，不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对于D，因，且，故四点共面，即D正确. 故选：ACD. 2．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 知识点02 空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，则在上的投影向量为 【答案】AB 【分析】对于A，由数量积的定义即可判断，对于BC，根据空间向量的共面定理及推论，对于D，根据投影向量的计算公式可判断； 【详解】对于A，，可得，正确； 对于B，对于空间中任意一点，由， 因为，所以四点共面，正确； 对于C，由，可知共面，错误； 对于D，因为向量，可得， 所以在上的投影向量为，错误； 故选：AB 2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，由空间向量基底概念可判断各选项正误. 对于D，由题目中所提供信息可得答案. 【详解】根据空间向量基本定理及题意知这三个向量，，不共面，即这三个向量能构成空间的一个基底. 对于A，三个向量，，对应坐标的竖坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故A错误； 对于B，三个向量，，对应坐标的纵坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故B错误； 对于C，三个向量，，对应坐标的横坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故C错误； 对于D，设空间中任意向量为，， 则存在唯一的有序实数组，使 ， 则为“空间基本点集”，故D正确 故选：D 知识点03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【即学即练】 1．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 2．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 题型01 基底的判断 【典例1】若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式1】若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 【变式2】已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 【变式3】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 题型02 基底的运用 【典例1】如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    【答案】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意，. 故答案为： 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【变式1】在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【变式2】如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法法则，将转化为以、、表示的形式，再根据已知条件逐步计算. 【详解】因为，所以， 因为点是的中点，所以. 所以， 故选：A. 【变式3】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 题型03 正交分解 【典例1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 正交基底的三个向量共起点　　　 【变式1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】结合基底的概念，根据空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】向量是不共面的三个向量， 对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底； 对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底； 对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底； 对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数， 使得， 整理得，而向量不共面， 则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底. 故选：C 【变式2】关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 【变式3】以下四个命题中正确的是（    ） A．若非零空间向量满足，则有 B．若是空间的一个基底，则都不是零向量 C．纵坐标为0的空间向量都共面 D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】将向量想象为正方体三条相邻的棱可判断A；根据基底的性质判断B；由纵坐标都为0的向量都与平面平行判断C；假设共面推得也共面判断D. 【详解】A：根据题设，以正方体三条相邻的棱为例，易知不成立，错； B：根据基底的性质，都是非零向量，对； C：纵坐标都为0的向量都与平面平行或在其内，即它们都共面，对； D：若共面，则， 所以也共面，与题设矛盾，故也是空间的一个基底，对. 故选：BCD 题型04 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例1】如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【变式1】正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 【变式2】如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 【变式3】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 1.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 2.已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解. 【详解】由四点共面，所以，即， 故选：C. 3.如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接ON，因为，所以()， 因为，所以， 所以. 故选：C. 4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 5．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 6．正方体中， ．（用、、表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 7．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 8．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 9．在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， ； 故选：A 10．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意选为一组基底，利用空间向量基本定理，先表示，利用即可求解. 【详解】由题意有：， ， 所以， 故选：C． 11．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确. 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 12．在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式和同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】由题意有，， 所以 ， ， 所以，又 ， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 13．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 14．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 15．在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用空间位置的向量证明判断B；（或其补角）即为直线与所成的角，由余弦定理求出异面直线夹角余弦判断C；是平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，利用三角函数关系求出二面角大小判断D. 【详解】对于A：依题意，，则四边形为平行四边形, 所以，又平面，平面，故平面，故A正确； 对于B：因为，又，， 所以 ， 则，故B正确； 对于C，因为，所以（或其补角）即为直线与所成的角， 不妨设，，则，， 故直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面， 平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 取的中点，连接，由， 得，又，则是平面与平面的夹角， 在中，，则， 所以平面与平面的夹角为，故D正确． 故选：ABD 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$