专题1.6空间直线与平面易错必刷题型专训（68题17个考点）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.5空间直线与平面易错必刷题型专训（68题17个考点） 【易错必刷一 平面的概念及其表示】 1．（23-24高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 3．（23-24高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 4．（23-24高二·浙江台州·阶段练习）用符号语言表示下列语句,并画出图形. 三个平面交于一点, 且平面与平面交于PA, 平面与平面交于,平面与平面交于 【易错必刷二 平面分空间的区域数量】 5．（24-25高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（多选）（23-24高一下·山东青岛·期中）设三个不同的平面将空间分成个不同的部分，则的可能的取值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）一个平面可以把空间分成 部分． （2）两个平面可以把空间分成 部分． （3）三个平面可以把空间分成 部分． 1．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【易错必刷三 平面的基本性质及辨析】 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 10．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·上海·阶段练习）下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 12．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系． 【易错必刷四 点(线)确定的平面数量问题】 13．（23-24高一下·北京通州·期末）下列命题正确的是（    ） A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．两条不平行的直线确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 14．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 15．（23-24高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 16．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【易错必刷五 空间中的点(线) 共面问题) 17．（24-25高二·上海·随堂练习）空间四个不重合的点，则“有三点共线”是“四点共面”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 18．（多选）（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）（多选题）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 19．（23-24高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 20．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【易错必刷六 空间中的点共线问题】 21．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）给出下列四种说法： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行线确定三个平面．正确说法的个数为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（23-24高一下·全国·课后作业）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 23．（23-24高二上·天津和平·期中）若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是 ． 24．（2023高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【易错必刷七 空间中的线共点问题】 25．（23-24高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 26．（多选）（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 27．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则 ．    28．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【易错必刷八 由平面的基本性质作截面图形】 29．（23-24高三上·河北石家庄·期末）四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，平面MNP交BC于点Q，则BQ的长为（    ） A． B． C． D．1 30．（多选）（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 31．（23-24高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 . 32．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【易错必刷九 异面直线的概念及辨析】 33．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（多选）（24-25高一下·云南文山·阶段练习）下列四个结论中假命题的是（    ）． A．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．平行于同一直线的两直线平行 C．若直线满足，，则 D．若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线 35．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 36．（2023高三·全国·专题练习）已知直线上有两点，直线上有一点，若同垂直于，求证：直线与必为异面直线． 【易错必刷十 异面直线的判定】 37．（24-25高一下·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 38．（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 39．（23-24高二下·全国·自主招生）从正方体的12条棱中选出4条两两不相交的棱，共有 种选法． 40．（23-24高二·上海·课堂例题）下页左图是一个正方体的平面展开图，请在下页右图的正方体中画出对应的线段，并指出正方体中的线段、、、中，哪些线段所在的直线与所在的直线是异面直线． 【易错必刷十一 异面直线所成的角的概念及辨析】 41．（23-24高二上·河南驻马店·期末）空间中两条异面直线，的夹角为，若直线过空间一定点且与，的夹角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 42．（多选）（23-24高一下·福建漳州·期末）正方体中，为底面的中心，则（    ） A．直线与所成的角等于 B．直线与所成的角等于 C．直线与是异面直线 D．直线与所成的角等于 43．（23-24高一·全国·课后作业）两条异面直线所成的角为，则的取值范围为 ． 44．（2023高三·全国·专题练习）证明正三棱柱中，若时，则与就不可能垂直． 【易错必刷十二 判断图形中的线面关系】 45．（23-24高二·全国·课后作业）若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是 (　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 46．（多选）（23-24高一下·山东青岛·期中）如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．以上都不是 47．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 48．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【易错必刷十三 线面关系有关命题的判断】 49．（2025高三·全国·专题练习）如果是异面直线，是不在上的任意一点，下列四个结论：（1）过点一定可作直线与都相交；（2）过点一定可作直线与都垂直；（3）过点一定可作平面与都平行；（4）过点一定可作直线与都平行，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 50．（多选）（24-25高一下·四川广元·期末）已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 52．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分．    【易错必刷十四 判断线面平行】 53．（2025高三·全国·专题练习）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 54．（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 55．（24-25高二·上海·假期作业）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是 . （1） （2）  （3）      （4） 56．（23-24高一·全国·随堂练习）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【易错必刷十五 判断线面是否垂直】 57．（2024·全国·模拟预测）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 58．（多选）（24-25高三上·广东湛江·期中）已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 59．（2023·四川·高考真题）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 60．（23-24高二·上海·课堂例题）在长方体中，与棱所在直线异面且垂直的棱有几条？ 【易错必刷十六 判断面面平行】 61．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 62．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知m，n表示两条直线，，，表示三个平面，则下列选项中，不正确的有（   ） A．若，，，则 B．若m，n相交且都在平面，外，，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 63．（23-24高一下·天津·期中）已知，是两个不重合的平面，给出下列条件： ①，是平面内的两条直线，且，； ②，都平行于平面； ③内不共线的三点到的距离相等； ④，是两条异面直线，，，且，． 其中可判断的是 ．（填序号） 64．（2023高三·全国·专题练习）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长. 【易错必刷十七 判断面面是否垂直】 65．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知两条不同直线与两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 66．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（   ） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 67．（23-24高二上·上海闵行·期末）设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 68．（2023·甘肃·二模）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若，，分别为，的重心． (1)求证：平面； (2)当时，求到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5空间直线与平面易错必刷题型专训（68题17个考点） 【易错必刷一 平面的概念及其表示】 1．（23-24高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【分析】根据平面的定义判断A，根据基本事实2判断B，举反例判断C，根据基本事实一的推论判断D. 【详解】根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线在这个平面内，可得若，则，B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确； 故选：BD. 3．（23-24高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 【答案】，， 【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案. 【详解】点在直线上，在平面内，则，， 故､､之间的关系可记作，，. 故答案为：，， 4．（23-24高二·浙江台州·阶段练习）用符号语言表示下列语句,并画出图形. 三个平面交于一点, 且平面与平面交于PA, 平面与平面交于,平面与平面交于 【答案】答案见解析 【分析】由题意将自然语言转化为符号语言，并画出图形即可. 【详解】符号语言为:，，，. 其对应的图形如图所示： 【易错必刷二 平面分空间的区域数量】 5．（24-25高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平面的性质，结合空间想象画出划分空间最多的情况即可得. 【详解】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C 6．（多选）（23-24高一下·山东青岛·期中）设三个不同的平面将空间分成个不同的部分，则的可能的取值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】ACD 【分析】此类问题的解决可以借助实物模型来研究，结合所学的立体图形如空间直角坐标系、三棱柱的三个侧面，以及三个平面相交于同一条直线的位置时求出三个平面将空间分成几个部分. 【详解】当三个平面互相平行时，；当两平面平行，另一平面与其相交时，；当三个平面两两相交于三条直线时，若三交线平行，则，若三交线共点，. 故选：ACD. 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）一个平面可以把空间分成 部分． （2）两个平面可以把空间分成 部分． （3）三个平面可以把空间分成 部分． 【答案】 2 3或4 4或6或7或8 【分析】利用面面位置关系，结合图形逐一分析求解. 【详解】（1）一个平面可以把空间分成2部分，如图1． （2）两个平面可以把空间分成3或4部分，如图2、图3． （3）三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分．如图4～图8．    故答案为：2；3或4；4或6或7或8 8．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 【易错必刷三 平面的基本性质及辨析】 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【详解】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D 10．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用平面的基本性质判断. 【详解】 对于选项A，如图所示：，两条线段不平行，可知其不共面； 对于选项B，如图所示：，两条线是平行的，因而是在同一个平面； 对于选项C，如图所示：，不能作出一个平面，因而是不共面的， 对于选项D，如图所示：，两条线平行，是共面的. 故选：BD 11．（23-24高二上·上海·阶段练习）下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 【答案】1 【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题. 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 12．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系． 【答案】详见解析 【分析】根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 【详解】在（1）中，. 在（2）中，. 【易错必刷四 点(线)确定的平面数量问题】 13．（23-24高一下·北京通州·期末）下列命题正确的是（    ） A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．两条不平行的直线确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的确定情况即可得到答案. 【详解】对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误， 对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误； 对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误； 对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面. 故选：D. 14．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 【答案】BC 【分析】根据平面的公理，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，当点在直线上时，这个点和这条直线不能确定一个平面，A错误； 对于B，不共线3点确定一个平面，正确； 对于C，过一条直线的平面有无数多个，正确； 对于D，两个平面的公共点组成的集合，是一条直线，D错误， 故选：BC 15．（23-24高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【答案】1 【分析】根据平面的事实1即可判定. 【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 16．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【答案】20 【分析】根据题意可得，这6个点中任意三点均可确定一个平面，再将所有可能的情况列举求解即可 【详解】由题意，设内的三点为，内的三点为，根据题意可得，6个点中任意三点均可确定一个平面，故一共可由共20个不同的平面 【易错必刷五 空间中的点(线) 共面问题) 17．（24-25高二·上海·随堂练习）空间四个不重合的点，则“有三点共线”是“四点共面”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】由确定平面的基本事实即可得到. 【详解】如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的． 而有四点共面，不一定得到其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的． 所以，“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”．因此是充分不必要条件． 故选：A． 18．（多选）（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）（多选题）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】ABD 【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线，再根据与、平面、平面的位置关系知在平面与平面的交线上，同理判断，即可判断各选项的正误. 【详解】因为，则四点共面.因为，则平面， 又平面，则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确； 三点均在平面内，而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内， 即四点不共面，故选项C错误； 点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面， 所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确. 故选：ABD 19．（23-24高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 【答案】相交 【分析】应用空间想象，讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论. 【详解】当两条对角线不相交时，四边形的四个顶点不共面，故不是平面图形，如下图，    对角线不相交，即为空间四边形； 当两条对角线相交时，四边形的四个顶点共面，是平面图形，如下图，    对角线相交，即为平面四边形； 故答案为：相交 20．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【易错必刷六 空间中的点共线问题】 21．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）给出下列四种说法： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行线确定三个平面．正确说法的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间位置关系分别判断各命题. 【详解】对于①两个相交平面交于一条直线，不可能有不在同一条直线上的三个公共点，故①错误； 对于②一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 对于③假设有三点共线，则另外一点一定和这个直线在同一个平面上，即此四点共面，与题设矛盾．故空间四点不共面，则其中任意三点不共线，即③正确． 对于④三条平行线确定一个或三个平面，故④错误； 故选：A. 22．（多选）（23-24高一下·全国·课后作业）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】CD 【分析】根据平面的基本性质判断. 【详解】因为， 所以点A在与的交线上，点B在与的交线上，点C在与的交线上，点D在与的交线上， 故选：CD 23．（23-24高二上·天津和平·期中）若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是 ． 【答案】共线 【分析】证明点O，C，D同在另一平面内，结合平面基本事实推理作答. 【详解】因AC//BD，则AC与BD确定一个平面，而C，D∈，从而得， 又，即，而，则有，于是得， 所以O，C，D三点共线. 故答案为：共线 24．（2023高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断； （2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面； （2）∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 【易错必刷七 空间中的线共点问题】 25．（23-24高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【分析】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 26．（多选）（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    27．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则 ．    【答案】 【分析】由平面的基本性质确定是与的交点，进而利用平行线分线段成比例即可得解. 【详解】连接交于，连接、，    由，面，则面， 又面，而面面，故， 所以是与的交点，又， 所以， 所以. 故答案为：. 28．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【分析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 【易错必刷八 由平面的基本性质作截面图形】 29．（23-24高三上·河北石家庄·期末）四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，平面MNP交BC于点Q，则BQ的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】延长交于，交于点，过作∥交于，过作∥交于点点，可得为边长为1的等边三角形，再利用平行线分线段成比例定理可求得结果. 【详解】因为四面体ABCD的所有棱长都是3，，，， 所以， 延长交于，交于点，过作∥交于， 因为为边长为1的等边三角形，为的中点， 所以≌， 所以， 所以， 过作∥交于点点， 所以为边长为1的等边三角形， 所以， 所以， 因为∥， 所以，即，所以， 故选：C 30．（多选）（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】ABC 【分析】根据四棱锥的几何特点解题即可. 【详解】如下图 （1）截面为三角形 （2）截面为四边形 （3）截面为五边形 而四棱锥共5个面，故截面的形状不可能是六边形. 故选：ABC 31．（23-24高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 . 【答案】 【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长. 【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.    故答案为： 32．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【易错必刷九 异面直线的概念及辨析】 33．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 34．（多选）（24-25高一下·云南文山·阶段练习）下列四个结论中假命题的是（    ）． A．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．平行于同一直线的两直线平行 C．若直线满足，，则 D．若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线 【答案】AD 【分析】根据空间两条直线的位置关系，结合平面的基本性质、平行公理判定A、B、C；应用正方体找到反例说明D. 【详解】A：垂直同一直线的两条直线可能平行、异面、相交，错； B：根据平行公理，平行于同一直线的两直线平行，对； C：由，，必有，对； D：如下图，正方体中是异面直线，与两条异面直线都相交， 但在同一个平面内，错. 故选：AD 35．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 【答案】异面 【分析】假设共面推出矛盾. 【详解】假设直线共面，平面， 由，则平面， 同理，平面，故共面， 这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面. 故答案为：异面. 36．（2023高三·全国·专题练习）已知直线上有两点，直线上有一点，若同垂直于，求证：直线与必为异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法进行证明. 【详解】证明：如图，假设为共面直线，设共面于平面． ∵，∴． 又，在同一平面内，过直线上一点作此直线的垂线不可有两条，矛盾， ∴必为异面直线． 【易错必刷十 异面直线的判定】 37．（24-25高一下·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断即可. 【详解】 与直线AC是异面直线的直线有，，，，，，，共7条. 故选：B. 38．（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 【答案】AB 【分析】连接，可证，从而推得；利用异面直线的定义可判断GH和EF异面；连接，证明四点共面，可推得与相交，即可逐一判断. 【详解】    如图，连接，易得，且，则得，故，则C错误； 因平面，平面，但，平面， 故GH和EF异面； 连接，因，且，则得， 故，又，则，即四点共面， 又与不平行，故与相交，故D错误. 综上可得，A，B两项正确. 故选：AB. 39．（23-24高二下·全国·自主招生）从正方体的12条棱中选出4条两两不相交的棱，共有 种选法． 【答案】9 【分析】结合题意，由正方体的性质判断可得. 【详解】①都平行：3  ②相对面中两两平行：，共9种. 故答案为：9. 40．（23-24高二·上海·课堂例题）下页左图是一个正方体的平面展开图，请在下页右图的正方体中画出对应的线段，并指出正方体中的线段、、、中，哪些线段所在的直线与所在的直线是异面直线． 【答案】、、． 【分析】根据题意，作出正方体得到直观图，结合正方体的结构特征，由异面直线的定义分析即可得答案． 【详解】根据题意，作出正方体得到直观图如图所示： 与所在的直线异面的有、、，共3条． 【易错必刷十一 异面直线所成的角的概念及辨析】 41．（23-24高二上·河南驻马店·期末）空间中两条异面直线，的夹角为，若直线过空间一定点且与，的夹角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】将异面直线平移至相交，只需要判断过交点与两条相交直线所成角为的直线条数，即可得答案. 【详解】将直线平移至，与相交，则与的夹角为， 过、交点的直线与，的夹角均为，即与，的夹角均为， 此时，过点平行于的直线与，的夹角均为，    如上图，的补角为，所以及其补角的一半均小于， 故在、相交所成的四个角斜上方各存在一条过交点的直线与它们的夹角均为， 所以共存在4条直线. 故选：D 42．（多选）（23-24高一下·福建漳州·期末）正方体中，为底面的中心，则（    ） A．直线与所成的角等于 B．直线与所成的角等于 C．直线与是异面直线 D．直线与所成的角等于 【答案】BD 【分析】根据异面所成角的定义与计算方法，结合正方体的几何结构特征，逐项判定、求解，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在等腰直角，可得， 即异面直线与所成的角为，所以A不正确；， 对于B中，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在等边，可得， 即异面直线与所成的角为，所以B正确；， 对于C中，在正方体中，由为底面的中心， 可得平面，且平面， 所以直线与不是异面直线，所以C错误； 对于D中，在正方体中，因为为正方形，可得， 又由平面，平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以D正确. 故选：BD.    43．（23-24高一·全国·课后作业）两条异面直线所成的角为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线的定义求出的取值范围，再根据余弦函数的性质得到的取值范围. 【详解】解：因为两条异面直线所成的角为，所以， 所以. 故答案为： 44．（2023高三·全国·专题练习）证明正三棱柱中，若时，则与就不可能垂直． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法即可证明. 【详解】如图，如果，根据定差幂线定理知    ， 设三棱柱底面边长为a，高为b，则，于是， 而， 得，即，∴，与条件矛盾，∴与不可能垂直． 【易错必刷十二 判断图形中的线面关系】 45．（23-24高二·全国·课后作业）若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是 (　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】利用图形，举例求解. 【详解】解：如图所示， 长方体中，平面平面， 所以；即可相交， 又平面，有；即可平行， 取和的中点，则，则平面， 有与异面，即可异面， 故选：D． 46．（多选）（23-24高一下·山东青岛·期中）如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．以上都不是 【答案】BC 【分析】利用线面平行的判定定理和直线与平面的位置关系即可得出结果. 【详解】由题意知，直线直线，且平面， 当不在平面内时，平面内存在直线， 则，符合线面平行的判定定理，所以； 当在平面内时，也符合条件， 所以与的位置关系为或在平面内. 故选：BC. 47．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论. 【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. 故答案为：或. 48．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【答案】作图见解析 【分析】把问题转化成平面平面，再利用即为所求． 【详解】连接，连接延长与相交于，连接交于，再连接交于点，即为所求，如下图： 【易错必刷十三 线面关系有关命题的判断】 49．（2025高三·全国·专题练习）如果是异面直线，是不在上的任意一点，下列四个结论：（1）过点一定可作直线与都相交；（2）过点一定可作直线与都垂直；（3）过点一定可作平面与都平行；（4）过点一定可作直线与都平行，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】由点、线、面位置关系判断即可. 【详解】（1）错，当点在过且与平行的平面内时，不存在这样的直线满足题意． （2）对，若点在的公垂线上，则公垂线即为所求直线， 若点不在的公垂线上，则过点作异面直线的公垂线的平行线即满足要求． （3）错，当点在过且与平行的平面内时，不存在这样的平面满足题意． （4）错，因为是异面直线，由公理4知不可能． 故选：B. 50．（多选）（24-25高一下·四川广元·期末）已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】由直线与平面的位置关系可得与平面，的位置关系还有其他情况满足题意，所以排除A、C选项，B、D选项可以用直线的方向向量和平面的法向量的角度来说明直线与平面的位置关系. 【详解】若，，与的位置关系可以是平行，相交或在面内，所以A选项错误； 若，则的方向向量是的法向量，因为，的方向向量与相同，故，所以B选项正确； 若，，与的位置关系可以是平行或在面内，所以C选项错误； 若，则的方向向量与的法向量平行，因为，的法向量与的法向量垂直， 所以与的法向量垂直，故或，又因为，则，所以D选项正确. 故选：BD. 51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 【答案】或 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图：     ，  ， 则或. 故答案为：或 52．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分．    【答案】证明见解析 【分析】过点做的垂线, 在Rt、Rt、Rt中表示出、、,并找出其中的关系，即证明出最小角定理，再运用求证即可. 【详解】证明：设点在平面内的射影为点，则为在平面内的射影．    如图过点做的垂线交于点, 由平面，可得，又且点M，面,面，故面，因此. 在Rt中，令，则， 在Rt中，令，, 在Rt中，令，， , 即最小角定理（三余弦定理），因此有 ， ， 由可得，且， 因此，即平分． 【易错必刷十四 判断线面平行】 53．（2025高三·全国·专题练习）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定和性质进行判断. 【详解】如图：    由，，，得． 又，，所以， 结合，，得． 故选：C 54．（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】ABC 【分析】A. 利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的性质定理判断；C.利用线面平行的判定定理判断；D.利用线面平行的判定定理判断. 【详解】A. ，或，故错误； B. ，或a与b异面，故错误； C. ，或，故错误； D. ，，，故正确； 故选：ABC 55．（24-25高二·上海·假期作业）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是 . （1） （2）  （3）      （4） 【答案】（1）（3） 【分析】对（1）（3）利用线面平行的判定定理即可判断；对（2），将平面扩展，即可得出与平面相交；对（4），由，而与平面相交，可知与平面相交. 【详解】对于（1），平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（2），如图，取正方体所在棱的中点G，连接并延长，交延长线于H， 则与平面相交于点H，错误； 对于（3），，平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（4），如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交,所以直线与平面相交，错误. 故答案为：（1）（3） 56．（23-24高一·全国·随堂练习）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时， 满足要求，结合棱柱的几何特征和线面平行的判定定理，可证得结论. 【详解】    如图，当时，平面.理由如下： 因为，所以 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 平面，平面，平面. 【易错必刷十五 判断线面是否垂直】 57．（2024·全国·模拟预测）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 58．（多选）（24-25高三上·广东湛江·期中）已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，可能有，故A错误； B选项，若，则，而，则，所以B正确. C选项，若，可能，则未必有，故C错误. D选项，若，则，而，则，所以D正确. 故选：BD 59．（2023·四川·高考真题）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【分析】根据立体几何相关定理逐项分析. 【详解】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确； 对于②，如果，则结论不成立，错误； 对于③，如图：   ，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误； 对于④，，又，正确； 故答案为：①④. 60．（23-24高二·上海·课堂例题）在长方体中，与棱所在直线异面且垂直的棱有几条？ 【答案】4条 【分析】由正方体的结构特征，结合异面直线的定义，分析与棱所在直线异面且垂直的棱的情况，即可得答案． 【详解】根据题意，如图， 与棱所在直线异面的棱有，，，， 由于垂直于上下底面，且，在上底面，，在下底面， 所以与棱所在直线异面且垂直的有，，，，共4条． 【易错必刷十六 判断面面平行】 61．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 62．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知m，n表示两条直线，，，表示三个平面，则下列选项中，不正确的有（   ） A．若，，，则 B．若m，n相交且都在平面，外，，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】对于ACD，举例分析判断即可，对于B，由面面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于A，可考虑三棱柱模型，三棱柱的三个侧面中任意两个与第三个侧面相交， 两条交线即侧棱相互平行，但这两个侧面不平行，所以A错误； 对于B，设直线m，n所确定的平面为，因为，，，且m，n相交，所以‖， 因为，，，且m，n相交，所以‖， 所以，所以B正确， 对于C，如图当，时，与相交，所以C错误， 对于D，如图当，，时，与相交，所以D错误， 故选：ACD 63．（23-24高一下·天津·期中）已知，是两个不重合的平面，给出下列条件： ①，是平面内的两条直线，且，； ②，都平行于平面； ③内不共线的三点到的距离相等； ④，是两条异面直线，，，且，． 其中可判断的是 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】对于①，一个平面内的两条直线平行于两一个平面不一定得到两平面平行；对于②，由平面平行的传递性可知正确；对于③，内不共线的三点到的距离相等，有可能两平面相交，也不一定平行；对于④，两平面内的两条异面直线分别平行于另一个平面，则两平面平行. 【详解】，，，是平面内的两条直线， 此条件没有排除两条直线平行的情况，故不能得出面面平行，故①不行； 平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 内不共线的三点到的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出， 故不能保证两平面平行，故③不对； ，是两条异面直线，，，且，， 能得到，故④正确. 故答案为：②④. 64．（2023高三·全国·专题练习）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长. 【答案】作图见解析，周长为 【分析】利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长. 【详解】 如图，分别取，为棱，的中点，连结、、、、， 则，同理，，，，. 显然四边形是平行四边形，所以，， 则，E，F，B，D四点共面. 显然、不平行，所以四边形为梯形. 又，则 又，所以，四边形是平行四边形. 则， 因为，平面，所以，平面. 同理，平面. 因为，平面，平面，， 所以，平面平面. 所以，平面即为所求截面. 由题意知，，，,同理，， 所以截面四边形的周长为. 【易错必刷十七 判断面面是否垂直】 65．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知两条不同直线与两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以存在直线，使得， 又，所以，所以，故A正确； 对于B：若，则或或或与相交（不垂直），故B错误； 对于C：若，则或与相交或与异面，故C错误； 对于D：若，则或，故D错误. 故选：A 66．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（   ） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 【答案】BC 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A项，，，当时， 因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B项，因为m与所成角为60°，，所以与不垂直，所以与不垂直， 所以过可作唯一平面与垂直，故B正确； 对于C，D项，由，，，得与的关系是或， 所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. 故选：BC. 67．（23-24高二上·上海闵行·期末）设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 【答案】①③ 【分析】利用面面垂直的判定定理判断①；利用特例法判断②④；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定定理判断③. 【详解】对于①，若，，根据面面垂直的判定定理可知，正确； 对于②，若，，则可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 对于③，若，则内存在一条直线，因为所以，所以，正确； 对于④，若，，，可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 综上可得，中能使成立的条件是①③ 故答案为：①③. 68．（2023·甘肃·二模）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若，，分别为，的重心． (1)求证：平面； (2)当时，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据等分点与三角形底边平行关系先证明线线平行，再证明线面平行； （2）因为，设到平面的距离为，到平面的距离，则，然后利用等体积法求出即可. 【详解】（1）延长交于，延长交于，如图所示： 因为分别为和的重心， 所以分别为的中点，且， 又因为底面为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）设到平面的距离为，到平面的距离， 由（1）可知：，则， 由题意可得：，平面，平面， 故平面， 因为在棱上， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 因为底面，底面，可得， 又因为，，平面， 所以平面，且平面，故， 由题意可知：， 从而， 在等腰中，可得， 对于三棱锥的体积可得：， 则，解得， 故到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $