专题02 直线与直线的位置关系（高效培优专项训练）数学沪教版2020高二必修第三册

专题02 直线与直线的位置关系 题型一：等角定理的应用 题型二：异面直线的判断与证明 题型三：求异面直线所成角 题型四：根据异面直线所成角求参数 题型五：证明直线与直线垂直 题型一：等角定理的应用 1．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 2．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 3．如图：在平面内，在平面内，且平行于，平行于．求证： 4．如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．求证：．    题型二：异面直线的判断与证明 5．如图为正方体的平面展开图，则图中的在原正方体中互为异面直线的对数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 6．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      8．在正方体中，与异面的棱有 条. 9．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 题型三：求异面直线所成角 10．在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．在正四棱台中，，高为1，则直线与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 13．在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 14．空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 15．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    题型四：根据异面直线所成角求参数 16．已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 . 17．如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ． 18．四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长 . 19．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    20．正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 21．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    题型五：证明直线与直线垂直 22．在直三棱柱中，，求证：． 23．已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 24．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与直线的位置关系 题型一：等角定理的应用 题型二：异面直线的判断与证明 题型三：求异面直线所成角 题型四：根据异面直线所成角求参数 题型五：证明直线与直线垂直 题型一：等角定理的应用 1．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 【答案】 【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解. 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 2．如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得与的两边分别对应平行，继而即可证明. 【详解】如图，连接EE1． ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又，∴， ∴四边形是平行四边形． ∴,同理． 又与的两边分别对应平行， 且和均为锐角， ∴． 3．如图：在平面内，在平面内，且平行于，平行于．求证： 【答案】证明见解析 【分析】分别在和的两边上截取和，使得，证明即可. 【详解】如图，分别在和的两边上截取和， 使得， 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 同理， ， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以. 4．如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】利用数形结合的解题思想，根据几何性质，可得答案. 【详解】证明：在正方形中，，分别为，的中点， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴且． 又且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 同理可得四边形为平行四边形，∴． 由平面几何知识可知，和都是锐角， ∴． 题型二：异面直线的判断与证明 5．如图为正方体的平面展开图，则图中的在原正方体中互为异面直线的对数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先画出正方体，根据异面直线的定义，正方体中判断. 【详解】如图，和，和，和都是异面直线，有3对. 故选：B 6．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定A，B，C，根据异面直线判定D. 【详解】 在A中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形，所以， 所以，∴四点共面． 在B中，取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，可得交于直线延长线上一点， ∴P，N，R，S四点共面，设为，因为，∴P，Q，N，S四点共面，设为. ∵都经过不共线的P，N，S三点，∴与重合，∴P，Q，R，S四点共面． 在C中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，所以，所以，∴P，Q，R，S四点共面． 在D中，连接，如图②，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面． 故选：D. 7．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 8．在正方体中，与异面的棱有 条. 【答案】6 【分析】结合正方体，根据异面直线的定义即可判断. 【详解】如图，正方体中，与异面的棱有，，，，，共6条. 故答案为：6.    9．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【答案】证明见解析 【分析】用反证法证明，假设它们是异面直线，然后可以得到在同一平面，与题干相矛盾，从而证之. 【详解】证明：假设与不是异面直线，则与共面， 从而与共面，即与共面， 所以在同一平面内，这与是所平面外的一点相矛盾． 故直线与是异面直线． 题型三：求异面直线所成角 10．在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在中，利用余弦定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在中，， 由余弦定理得． 故选：A． 11．在正四棱台中，，高为1，则直线与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正棱台的几何性质求得，，过点作的垂线，垂足为，可得，从而可得的值，确定异面直线与AC所成角结合余弦定理求解即可得结论. 【详解】在正四棱台中，， 所以， 又高为，所以， 过点作的垂线，垂足为，可得， 所以， 同理可得， 因为，所以为直线与所成角或补角， 在中，， 由余弦定理得， 即直线与AC所成角的余弦值为. 故选：B. 12．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，可证，则为异面直线与所成的角. 【详解】解：取的中点，连接，. ， 因为是的中点，所以，， ， 且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成的角， 在中，， 故选：C. 13．在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 14．空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 15．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    【答案】 【分析】取中点，连接，则为所求， 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．   ，F分别是CD，AB的中点， ，，且，． 为EF与AC所成的角（或其补角）． 又，，， 为直角三角形，，又为锐角， ，即EF与AC所成的角为． 故答案为：. 题型四：根据异面直线所成角求参数 16．已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】根据四棱柱的性质可得点的轨迹是以为轴的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线，分析点在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果. 【详解】∵，直线与所成的角为， ∴直线与所成的角为， ∴点的轨迹是以为轴（其中为顶点），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线． 如图，在线段和上分别取点，使得，连接， ∵在四棱柱中，底面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴，故， ∴点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且. 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点在四边形上运动的轨迹长度为， 综上得，点的轨迹长度为． 故答案为：. 17．如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】将异面直线与所成的角转化成或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，连接. 因为M，N分别是的中点， 所以且，且， 从而（或其补角）即为与所成的角． 又异面直线与所成的角为，所以或， 当时，由余弦定理可知 . 当时，由余弦定理可知 . 故答案为：或. 18．四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长 . 【答案】4 【分析】利用三角形的中位线定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理的推论即可求解. 【详解】取的中点，连、，如图所示 是的中点， 故为异面直线与所成角， 设，则, 因为，异面直线与所成的角的大小为， 所以由余弦定理,得,解得， 所以线段的长为4． 故答案为：. 19．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 20．正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】1 【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 21．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    【答案】或 【分析】过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接，根据圆柱的性质得到且，从而得到，与所成的角就是或其补角，再分和两种情况讨论，分别计算可得． 【详解】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接， 垂直于上下底面，，，    则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 题型五：证明直线与直线垂直 22．在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 23．已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 【答案】(1)，，，DA，DC，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用异面直线的定义判断作答. （2）（3）利用异面直线的定义，求出异面直线的夹角即可作答. 【详解】（1）正方体共有12条棱，与相交的棱有6条，与平行的棱不存在， 因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是，，，DA，DC，． （2）在正方体中，由，得与AD的夹角就是与BC的夹角， 因为，则与BC的夹角为， 所以． （3）连接，因为， 于是四边形是平行四边形，即， 从而与AC的夹角就是与的夹角，连接， 而，与都是正方体的面对角线，则有，即是正三角形， 所以与的夹角为，即与AC的夹角为． 24．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$