精品解析：福建省漳州市芗城区漳州立人学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

漳州立人学校2024—2025学年下学期期中考试 八年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三边上高所在直线的交点 5. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 7. 若，，则 的值为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8. 如图,一次函数与的图象相交于点P(-2,3)，则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为___________． 12. “x与6的和不大于1”用不等式表示为____． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为_______ 15. 如图，中，，，平分交于点D，若，则_____． 16. 如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 把下列多项式分解因式： （1）； （2） 18. 解不等式（组）： （1） （2）解不等式组 19. 如图，在中，，点，在边上，．求证：． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，的顶点都在网格点上，其中，B点坐标为．将向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到． （1）画出平移后的图形； （2）是关于原点的中心对称图形，画出； （3）的面积是________． 21. 【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． （1）【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． （2）【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 23. 漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． （1）求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ （2）据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 25. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）如图1，DE与BC的数量关系是　　； （2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州立人学校2024—2025学年下学期期中考试 八年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项不合题意； B．当时，，故本选项不合题意； C．∵，∴，故本选项符合题意； D．∵，∴，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用在数轴上表示不等式的解集时：点是否为空心或实心，方向与正方向相同或者相反进行判断即可． 【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向与正方向相反，如下图， 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点是实心或空心，以及方向与正方向相同或者相反等． 4. 一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三边上高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 5. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“如果，那么”，错误，为假命题，故A选项不符合题意； B选项的逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B选项不符合题意； C选项的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C选项不符合题意； D选项的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，正确，为真命题，故D选项符合题意； 故选：D． 7. 若，，则 的值为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，首先把利用提取公因式法分解因式，然后代入已知条件即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 8. 如图,一次函数与的图象相交于点P(-2,3)，则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出关于x的不等式m-2x＜ax+6的解集． 【详解】观察函数图象可知：当x＞-2时，一次函数y1=-2x+m的图象在y2=ax+6的图象的下方， ∴关于x的不等式m-2x＜ax+6的解集是x＞-2． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形，，得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 即点P到边的距离为6． 故答案为：6． 12. “x与6的和不大于1”用不等式表示为____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，正确选择不等号．x与6的和表示为，不大于1即小于等于1，由此列出不等式即可． 【详解】解：“x与6的和不大于1”用不等式表示为． 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 14. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，，将四边形的周长转化为的周长与、的和，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，， 的周长为，  ， ， 四边形的周长       ． 15. 如图，中，，，平分交于点D，若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角和定理等知识，根据，，易求，而是角平分线，易得，那么易证是等腰三角形，且是含有角的直角三角形，易求，从而可求． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是角平分线， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故答案为：4 16. 如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质． 如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵的面积为 24， ， ， ∵垂直平分， ， ∵为直线上一动点， ， ， ， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 把下列多项式分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，单项式乘以多项式． （1）直接提公因式，即可得到结果； （2）直接提公因式，即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式（组）： （1） （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式，解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ． 【小问2详解】 解： ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，在中，，点，在边上，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，的顶点都在网格点上，其中，B点坐标为．将向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到． （1）画出平移后的图形； （2）是关于原点的中心对称图形，画出； （3）的面积是________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，三角形的面积，掌握平移和中心对称的性质是解题的关键； （1）先向下平移5个单位，再向左平移2个单位长度，平移时先找准三角形平移后的顶点的位置，然后顺次连接，即可求解； （2）找到关于原点的对应点，顺次连接，即可求解； （3）根据网格的特点结合三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 故答案为：． 21. 【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． （1）【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． （2）【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】（1） 解：淇淇的说法错误，理由如下， ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； （2） 解： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． （1）利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； （2）利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． （1）求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ （2）据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； （2）商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； 【小问2详解】 解：设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000杯果汁可获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 答：商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）； （2）；； 由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴； （3）证明 :∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）略 （3）略 25. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）如图1，DE与BC的数量关系是　　； （2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系． 【答案】解：（1）DE=BC （2）BF+BP=DE； （3）BF﹣BP=DE 【解析】 【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC； （2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE； （3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE． 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵点D是AB的中点， ∴DB=DC， ∴△DCB为等边三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE=BC； 故答案为DE=BC． （2）BF+BP=DE．理由如下： ∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF， 而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF， 在△DCP和△DBF中 ∴△DCP≌△DBF（SAS）， ∴CP=BF， 而CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE=BC， ∴BC=DE， ∴BF+BP=DE； （3）如图， 与（2）一样可证明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF， 而CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP=DE． 【点睛】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $