22.1.4二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 同步提升练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.4 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 同步提升 一、选择题 1.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 2.将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，则函数的表达式是(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 4.若抛物线的对称轴是轴，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的顶点在轴上，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是       A.   B. C. D. 图象的对称轴是直线 第6题 第8题 第14题 第15题 7.二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 且当时，与其对应的函数值有下列结论： ；和是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.二次函数化，成的形式是          ． 10.二次函数的图象与轴相交于，两点，则该抛物线的对称轴是          ． 11.已知点，点是抛物线上两个不同的点，则          ． 12.已知二次函数的最小值为，则的值为          ． 13.已知抛物线经过点，对称轴是直线，则          ． 14.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，则边上的中线的最小值为          ． 15.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：；；； 其中正确的是          ． 16.实数，满足，则的最大值为          ． 三、解答题 17.已知二次函数． 请用配方法将其化成的形式； 该函数图象的顶点坐标为          ； 请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； 18.已知二次函数与的一些对应值如下表： 求此二次函数的表达式； 若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是，求出符合条件的点的坐标； 当时直接写出的取值范围． 19.在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． 若轴，用含的代数式表示； 记抛物线在，之间的部分为图象包含，两点，若图象上存在一点，使得，求的取值范围． 20.在平面直角坐标系中，抛物线经过点． 求的值； 求抛物线的对称轴用含的式子表示； 点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 21.已知函数为常数设自变量取时，取得最小值． 若，，求的值； 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且求点到轴的距离； 当，且时，分析并确定整数的个数． 22.在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求该抛物线的对称轴用含的式子表示； 若，自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值； 已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 22.1.4 二次函数 y=ax²＋bx＋c的图象和性质 同步提升 一、选择题 1.抛物线� = �2 − 4� + 7 的顶点坐标为( ) A. ( − 2,3) B. ( − 2, − 3) C. (2, − 3) D. (2,3) 2.将二次函数� = �2 − 2� − 3 的图象先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到二次函数�1 的图象，则函数�1的表达式是( ) A. �1 = �2 − 6 B. �1 = �2 − 2 C. �1 = �2 − 4� − 2 D. �1 = �2 − 4� + 2 3.已知抛物线� = ��2 − 2�� + �(� > 0)上三个点的坐标分别为�(3, �1)，�(2, �2)，�( − 2, �3)，则�1，�2， �3的大小关系为( ) A. �3 < �1 < �2 B. �2 < �1 < �3 C. �1 < �3 < �2 D. �1 < �2 < �3 4.若抛物线� = �2 + �� + 2 的对称轴是�轴，则�的值是( ) A. −2 B. −1 C. 0 D. 2 5.已知抛物线� = �2 − 8� + �的顶点在�轴上，则�的值为( ) A. 16 B. −4 C. 4 D. 8 6.如图，二次函数� = ��2 + �� + �的图象经过点�(1,0)，�(5,0)，下列说法正确的是( ) A. � < 0 B. �2 − 4�� < 0 C. � − � + � < 0 D.图象的对称轴是直线� = 3 第 6题 第 8题 第 14题 第 15题 7.二次函数� = ��2 + �� + �(�, �, �是常数，� ≠ 0)的自变量�与函数值�的部分对应值如下表： � … −2 −1 0 1 2 … � = ��2 + �� + � … � � −2 −2 � … 且当� =− 12时，与其对应的函数值� > 0.有下列结论： ①��� > 0；② − 2 和 3 是关于�的方程��2 + �� + � = �的两个根；③0 < � + � < 203 .其中，正确结论的个 数是( ) 第 2页，共 4页 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8.如图，已知二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的图象如图所示，有下列 5 个结论：①��� > 0；②� − � > �； ③4� + 2� + � > 0；④3� >− �；⑤� + � > �(�� + �)(� ≠ 1).其中正确结论的有( ) A.①②③ B.②③⑤ C. ②③④ D.③④⑤ 二、填空题 9.二次函数� =− 2�2 − 4� + 5 化，成� = �(� − ℎ)2 + �的形式是 ． 10.二次函数� = ��2 + �� + �的图象与�轴相交于( − 2,0)，(6,0)两点，则该抛物线的对称轴是 ． 11.已知点�(5, �)，点�(�, �)是抛物线� = 2�2 +  4� − �上两个不同的点，则� = ． 12.已知二次函数� = �2 + (2� + 1)� + �2 − 1 的最小值为 0，则�的值为 ． 13.已知抛物线� = ��2 + �� + �经过点�( − 3,0)，对称轴是直线� =− 1，则� + � + � = ． 14.如图，在平面直角坐标系中，点�在抛物线� = �2 − 2� + 3 上运动，过点�作�� ⊥ �轴于点�，以��为 斜边作�� △ ���，则��边上的中线��的最小值为 ． 15.二次函数 � = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的图象如图所示，对称轴是直线 � = 1，下列结论：①�� < 0；②�2 > 4��；③� + � + 2� < 0；④3� + � < 0 其中正确的是 ． 16.实数�，�满足�2 + �2 − 2� = 0，则 4� + �2的最大值为 ． 三、解答题 17.已知二次函数� =− �2 + 2� + 3． (1)请用配方法将其化成� = �(� − ℎ)2 + �的形式； (2)该函数图象的顶点坐标为 ； (3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； 第 3页，共 4页 18.已知二次函数�与�的一些对应值如下表： � … −3 −2 −1 0 1 2 … � … 0 3 −4 −3 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是 4，求出符合条件的点的坐标； (3)当−2 < � < 3 时.直接写出�的取值范围． 19.在平面直角坐标系���中，抛物线� = ��2 + �� + �(� > 0)交�轴于点�，点�(6, �)在抛物线上．设抛物 线的对称轴为直线� = �． (1)若��//�轴，用含�的代数式表示�； (2)记抛物线在�，�之间的部分为图象�(包含�，�两点)，若图象�上存在一点�(��, ��)，使得�� < � ≤ �， 求�的取值范围． 20.在平面直角坐标系���中，抛物线� = ��2 + (2� − 6)� + 1 经过点(1,2� − 4)． (1)求�的值； (2)求抛物线的对称轴(用含�的式子表示)； (3)点 −�, �1 ， �, �2 ， �+ 2, �3 在抛物线上，若�2 < �3 ≤ �1，求�的取值范围． 第 4页，共 4页 21.已知函数� = (� − �)2 + (� − �)2(�, �为常数).设自变量�取�0时，�取得最小值． (1)若� =− 1，� = 3，求�0的值； (2)在平面直角坐标系���中，点�(�, �)在双曲线� =− 2�上，且�0 = 1 2 .求点�到�轴的距离； (3)当�2 − 2� − 2� + 3 = 0，且 1 ≤ �0 < 3 时，分析并确定整数�的个数． 22.在平面直角坐标系���中，已知抛物线� = ��2 − 2�2� − 3(� ≠ 0)． (1)求该抛物线的对称轴(用含�的式子表示)； (2)若� = 1，自变量�满足� ≤ � ≤ � + 2 时，此函数的最大值为�，最小值为�，且� − � = 2，求�的值； (3)已知�(2� − 1, �1)，�(�, �2)，�(� + 2, �3)为该抛物线上的点，若(�1 − �3)(�3 − �2) > 0，求�的取值范 围． 答案和解析 1.   2.  3.  4.  5. 6.  7.  【解答】 解：当时，， 当时，， ， ， ， 正确； 是对称轴， 时，则时，， 和是关于的方程的两个根； 正确； ，， ， ， 当时，， ， ， 错误， 正确的结论有个， 故选：． 8.  解：由抛物线开口向下可知， 抛物线与轴交点在轴上方可知：， 对称轴在轴的右侧， 即，， ， 故不正确； 当时，， ， 故正确； 由对称知，当时，函数值大于， 即， 故正确； ， ， ， ， ， 故不正确； 当时，的值最大，此时，， 而当时，， 所以， 故，即， 故正确． 故正确． 故选：． 9.  10.直线  11.  12.  13. 14.  15.  本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数有决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得到，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到的符合，则可对进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有个交点可对进行判断；利用时，和可对进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，则可对进行判断． 【解答】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以正确； 抛物线与轴有个交点， ，所以正确； 时，， ， 而， ，所以正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 而时，，即， ，即，所以错误． 故答案为：． 16.  解：设，则， ， ， ， ， ，即， ， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值是， 即的最大值为 故答案为： 设，则，代入已知等式中，化为关于的二次函数，配方后可得最大值． 本题考查了二次函数的最值，换元法是本题的关键． 17.（1）解：． （2） 画二次函数的图象如答图所示． 18.解：由已知表中的数据可分析出，此二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为， 可设二次函数的表达式为， 选点代入，解得，   所求二次函数表达式为，即． 由二次函数对称轴为直线， 距离对称轴距离为的点的横坐标为或， 将代入抛物线中，得， 距离对称轴距离为的点为，． 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值 ， 当时， ．   19.（1） 轴， 点，点关于对称，且 ． 抛物线的对称轴为直线． ， ． （2） ，，， 点应在点的下方， 当时，抛物线开口向下，不存在，当时不符合题意， ， ， ． ， 对称轴不能大于． ．   20.（1）解：抛物线经过点，  ， ． （2）由得抛物线的表达式为， 即， 抛物线的对称轴为． （3） 当时，点，，从左至右分布， 根据，可得， ． 根据，可得， ， ． 当时，． ， ，不符合题意． 综上，的取值范围为．   21.解：若，，则， 当时，取得最小值， ； 点在双曲线上， ， ， ， ，， 当时，点到轴的距离为； 当时，点到轴的距离； 综上所述，点到轴的距离为或； ， ， 由题意得：， ， ， 整理得：， 或， 为整数， 或或或，共个．  22.， ， 该抛物线的对称轴为直线； ， 抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 如图，，当时，即， 此时函数的最大值为，最小值为， 当时，， 当时，， ， ， 解得：，不符合题意，舍去， 如图，当，即时， 同理可得：，， ， 解得：舍去 如图，当，即时， 同理可得：，， ， 解得：，舍去， 如图，当时， 同理：当时，， 当时，， ， 解得：，不符合题意，舍去 综上：或； ， ，或，； 当，时，即， 的对称轴为直线， ，且， 解得，； 当，时，即， 对称轴为直线， ，且， 解得，， 综上所述，或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$