5.3 无理数 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学上册

5.3 无理数 第五章 勾股定理与实数 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 无理数 估计无理数的大小 在数轴上表示 (n 为大于 1 的整数) 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 无理数 1 1.无理数的概念 定义 特征 常见形式 无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为不循环 ①含有根号，且被开方数开方开不尽，如： ， 等；②含有 π 的一类数，如： π ， π ，1+π 等； ③以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如： 0.121 121 112… (相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加 1)等 感悟新知 知1－讲 特别警示 1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数， 只有无限不循环小数才是无理数。 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数。 感悟新知 2. 无理数与有理数的区别 知1－讲 有理数 无理数 本质 可以化为分数形式 不能化为分数形式 表现形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 知1－练 感悟新知 [母题 教材 P138 习题 T1 ]下列各数：3.141 59， ，0.131 131 113…(相邻两个 3 之间的个数逐次加1)， π － 5， +1， － 中，无理数有_______个 . 例1 3 解题秘方：根据无理数的三种形式去辨析 。 知1－练 感悟新知 解：因为 3.141 59 是有限小数，所以 3.141 59 是有理数 ； 因为= 3， 所以 是有理数 ； 因为0.131 131 113…(相邻两个 3 之间的个数逐次加1)是无限不循环小数，所以 它是无理数 ； 因为π 是无理数，所以 π － 5 是无理数 ； 因为 是无理数，所以 +1 是无理数 ； 因为－ 是分数，所以 － 是有理数。 所以无理数有3个。 知1－练 感悟新知 1-1. [ 模 拟· 枣 庄 ]下列实数 ，－ ， ，－， 3 中，无 理 数 有（    ）个。 A.1  B.2  C.3   D.4 B 知1－练 感悟新知 1-2.假设如图的方格纸中，每个小正方形的面积是1，则图中的四条线段中，长度是无理数的有( ) A． 1条  B． 2条 C． 3条  D． 4条 C 感悟新知 知2－讲 知识点 估计无理数的大小 2 1. 求一个正数 ( 非完全平方数 ) 的算术平方根的范围，通常有两种方法：一是用计算器，二是估算。 感悟新知 知2－讲 2. 对算术平方根进行估计时，通常利用“夹逼法”，步骤如下： 确定整数部分 用 n 表示正整数，若 n2<a<( n+1) 2，则 的整数部分为 n 确定小数部分 若( n+ ) 2 <a<( n+) 2，则十分位为 m，依此类推，判断出其他数位上的值，判断到比要求的精确度多一位，然后四舍五入即可 知2－讲 感悟新知 特别解读 夹逼法是数学估算的重要方法，所谓 “夹”就是从两边确范围，而“逼”就是一点一点逼近，使其所处的范围逐渐变小，从而逐步达到要求的精确度。 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P138 习题 T2(2)] 估算 的近似值(精确到 0.01)。 例2 解题秘方：根据夹逼法进行估算，先确定整数部分，再确定小数部分。 知2－练 感悟新知 解： 因为 1 2=1，2 2=4，所以 1< <2。 因为 1.7 2=2.89，1.8 2=3.24，所以 1.7< <1.8。 因为 1.73 2=2.992 9，1.74 2=3.027 6， 所以 1.73< <1.74。 因为 1.732 2=2.999 824，1.733 2=3.003 289， 所以 1.732< <1.733。 所以 ≈ 1.73。 知2－练 感悟新知 2-1.若一个正方形的面积是8，则估计它的边长大小在(     ) A． 2与2.5之间 B． 2.5与3之间 C． 3与3.5之间 D． 3.5与4之间 B 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P136 例 2]求 + 的近似值（结果精确到0.01）。 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：先求出各算术平方根的近似值后相加，或利用计算器求值并按要求求近似值即可。 解： 解法 1： + ≈ 2.646+3.317 ≈ 5.96。 解法 2：按下列顺序依次按键： 屏幕上显示 5.962 376 101。 按精确到 0.01 取近似值， + ≈ 5.96。 知2－练 感悟新知 C 3-1. [期末·烟台芝罘区] 用科学计算器进行计算，按 键 顺 序 依 次 为  ，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是(     ) A． 1.2  B． 2.0 C． 2.5  D． 2.3 知3－讲 感悟新知 知识点 在数轴上表示 (n 为大于 1 的整数) 3 任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 我们可借助勾股定理作出长为 (n为大于 1 的整数)的线 段以及在数轴上画出表示无理数的点。 感悟新知 知3－讲 画长为 的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为 1 时，斜边长为 ，即 12+12= （ ） 2；当两条直角边长分别为 1， 2 时，斜边长为 3 ，即 12+（ ） 2= （ ） 2；…；依此类推，可以画出长为 ， ， …的线段 感悟新知 知3－讲 在数轴上表示 如图，构造两条直角边长都是 1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为 ，再用圆规截取的方法画出 在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为 ， 1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为 ，再用圆规截取的方法画出 在数轴上的对应点，…。依此规律可以在数轴上作出 表示 ， ， 的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 感悟新知 知3－讲 特别解读 关键是找到两个正整数a， b，使a2+b2=n，然后作出直角边长分别为a， b的直角三角形，则斜边的长即为。如 = ， = 。 感悟新知 知3－讲 易错警示 并 不 是 所 有 的无 理 数 都 是 用 尺 规作 图 的 方 法 在 数 轴上 作 出 对 应 的 点，如 π，0.121 121 112…（相 邻 两 个2之 间1的个数逐次加1）等。 知3－练 感悟新知 [母题 教材 P138 练习 T2 ]在数轴上作出表示 的点。 例4 思路导引：在数轴上作表示无理数的点的步骤。 知3－练 感悟新知 解： 因为 1 2+3 2=10， 所以直角边长分别为 1，3 的直角三角形的斜边长为 10 。 如图 5.3-1 所示。 (1)画出数轴，在数轴上找出表示 3 的点 A，则 OA=3； (2)过点 A 作直线 l 垂直于数轴， 在 l 上取点 B， 使 AB=1； (3)连接 OB，以点 О 为圆心， 以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点 C，点 C 即为表示 的点。 也可作OA=1，AB=3 知3－练 感悟新知 4-1.如 图，长 方 形ABCD 中 ， AB = 3 ，AD=1， AB 在 数 轴 上，若以点A为圆心， AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为(     ) A. -1  B. -1 C.2      D. A 无理数 无理数 与有理数的区别 无限不循环小数 估计无理数的大小 课堂小结 $$