第16讲 对数（知识梳理+5大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第16讲 对数 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 对数的有关概念 ………………………………………………………………………1 知识点2 对数与指数的关系 ……………………………………………………………………2 知识点3 对数的性质 ……………………………………………………………………………2 知识点4 对数的运算性质 ………………………………………………………………………2 知识点5 换底公式 ………………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 指数式与对数式的互化 ………………………………………………………………3 题型二 利用对数式与指数式的关系求值 ……………………………………………………3 题型三 对数的运算性质的应用 ………………………………………………………………4 题型四 对数换底公式的应用 …………………………………………………………………6 题型五 对数的实际应用 ………………………………………………………………………8 4、 强化训练………………………………………………………………………10 学习目标 1. 理解对数的概念，掌握对数的基本性质. 2. 掌握指数式与对数式的互化，能够应用对数的定义和性质解方程. 3. 理解常用对数和自然对数的定义形式. 4. 理解对数的运算性质，并能用运算性质化简、求值. 5. 知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数. 6. 能运用运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明. 知识梳理 知识点1 对数的概念 ⑴对数的概念：一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. ⑵对数与指数的互化 当，且时，由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，关系如下： 式子 名称 意义 指数式 底数 指数 幂 的次幂等于 对数式 底数 对数 真数 以为底的对数为 知识点2 常用对数与自然对数 以10为底的对数叫作常用对数，并且把记为；科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，并且把记为． 知识点3 对数的性质 当，且时：①零和负数没有对数； ②0；③ 1；④；⑤. 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1）；（2）； （3）． 推广：． 知识点5 换底公式 （1）对数的换底公式:且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型归纳 题型一 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若（，且），则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，则． 3．（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 【方法总结】指数式与对数式的互化的思路 ⑴指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. ⑵对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 题型二 利用对数式与指数式的关系求值 1.求下列各式中x的值． ① ；② ． 【答案】 ；4 【详解】由题意，，所以．②由，得，所以． 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【答案】 【详解】方程的解. 故答案为：. 3．（2024·江西上饶·一模）若，则 . 【答案】 【详解】，，又，. 故答案为：. 【方法总结】若要求对数的值，则设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 题型三 对数的运算性质的应用 1．（江苏省常州市2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试题）（    ） A．－5 B． C． D．5 【答案】D 【详解】. 故选：. 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】原式． 4．（2025高一上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】11 【详解】原式． 5．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）计算的值为 ． 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·周测）（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）1 【详解】（1） （2）原式 7．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0；(2)1 【详解】（1）原式. （2）原式 . 【方法总结】利用对数运算性质求值的方法 ⑴“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数. ⑵“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. 题型四 对数换底公式的应用 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】． 3．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试） . 【答案】1 【详解】 . 故答案为：1 4．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为 ． 【答案】2 【详解】原式． 5．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值；(2)设，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明：． 所以． 【方法总结】利用换底公式求值的思想与注意点 ⑴思想：：“化异为同”的思想在求值或恒等变形中起重要作用. ⑵注意点：①针对具体问题选择恰当的底数. ②换底公式与对数的运算性质结合使用. ③换底公式可以正用、逆用、还可以变形用. 题型五 对数的实际应用 1．（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意:,, 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 3．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（   ） （参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意可得，即， 两边同时取以10为底的对数，则有， 所以， 解得，因为，所以. 故选：B 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【详解】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为 （注：素数即质数，）． 【答案】8686 【详解】． 【方法总结】对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型（公式），在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式，另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算. 强化训练 一、单选题 1．（2025高二上·云南·学业考试）（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】. 故选：D 2．计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】原式. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 4．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得，即，解得. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 6．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 7．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 2、 多选题 8．已知，且，则下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：BD. 9．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 10．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由对数的运算法则得，故A正确， 对于B，取，，，则， ，等式不恒成立，故B错误， 对于C，取，，则， ，等式不恒成立，故C错误， 对于D，由对数的运算法则得，故D正确. 故选：AD 三、填空题 11.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习） 【答案】7 【详解】第一步：根据指数幂的运算法则， 第二步：根据对数恒等式， 第三步：根据对数运算法则， 第四步：将上述计算结果代入原式可得： 故答案为：. 12．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】 【详解】由已知且，， 得，则，故， 故答案为： 13.（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 【答案】 【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则， 故至少需要天. 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)1；(3)52 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3）法一：原式 . 法二：原式 . 15．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，求的值； （2）已知，且，求； （3）求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）3 【详解】解：（1）解法1  由，得，由换底公式得，所以． 解法2  由，两边同时取以6为底数的对数，得，所以，所以． （2）令，所以，所以，由，得，所以，所以． （3）原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 对数 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 对数的有关概念 ………………………………………………………………………1 知识点2 对数与指数的关系 ……………………………………………………………………2 知识点3 对数的性质 ……………………………………………………………………………2 知识点4 对数的运算性质 ………………………………………………………………………2 知识点5 换底公式 ………………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 指数式与对数式的互化 ………………………………………………………………3 题型二 利用对数式与指数式的关系求值 ……………………………………………………3 题型三 对数的运算性质的应用 ………………………………………………………………4 题型四 对数换底公式的应用 …………………………………………………………………4 题型五 对数的实际应用 ………………………………………………………………………5 4、 强化训练 ………………………………………………………………………6 学习目标 1. 理解对数的概念，掌握对数的基本性质. 2. 掌握指数式与对数式的互化，能够应用对数的定义和性质解方程. 3. 理解常用对数和自然对数的定义形式. 4. 理解对数的运算性质，并能用运算性质化简、求值. 5. 知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数. 6. 能运用运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明. 知识梳理 知识点1 对数的概念 ⑴对数的概念：一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. ⑵对数与指数的互化 当，且时，由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，关系如下： 式子 名称 意义 指数式 底数 指数 幂 的次幂等于 对数式 底数 对数 真数 以为底的对数为 知识点2 常用对数与自然对数 以10为底的对数叫作常用对数，并且把记为；科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，并且把记为． 知识点3 对数的性质 当，且时：①零和负数没有对数； ②0；③ 1；④；⑤. 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1）；（2）； （3）． 推广：． 知识点5 换底公式 （1）对数的换底公式:且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型归纳 题型一 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若（，且），则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【方法总结】指数式与对数式的互化的思路 ⑴指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. ⑵对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 题型二 利用对数式与指数式的关系求值 1.求下列各式中x的值． ① ；② ． 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 3．（2024·江西上饶·一模）若，则 . 【方法总结】若要求对数的值，则设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 题型三 对数的运算性质的应用 1．（江苏省常州市2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试题）（    ） A．－5 B． C． D．5 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 4．（2025高一上·全国·专题练习）计算： ． 5．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）计算的值为 ． 6．（24-25高一上·全国·周测）（1）； （2）. 7．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2) 【方法总结】利用对数运算性质求值的方法 ⑴“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数. ⑵“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. 题型四 对数换底公式的应用 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）设，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试） . 4．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为 ． 5．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值；(2)设，求证：. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【方法总结】利用换底公式求值的思想与注意点 ⑴思想：：“化异为同”的思想在求值或恒等变形中起重要作用. ⑵注意点：①针对具体问题选择恰当的底数. ②换底公式与对数的运算性质结合使用. ③换底公式可以正用、逆用、还可以变形用. 题型五 对数的实际应用 1．（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 3．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（   ） （参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 5．（25-26高一上·全国·课后作业）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为 （注：素数即质数，）． 【方法总结】对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型（公式），在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式，另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算. 强化训练 一、单选题 1．（2025高二上·云南·学业考试）（   ） A． B．0 C． D．1 2．计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 2、 多选题 8．已知，且，则下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习） 12．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 13.（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 四、解答题 14．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 15．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，求的值； （2）已知，且，求； （3）求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$