第15讲 指数函数（知识梳理+12大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第15讲 指数函数 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 指数函数的概念 ………………………………………………………………………1 知识点2 指数函数的图象和性质 ………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 指数函数的概念 ………………………………………………………………………2 题型二 求指数函数的解析式、函数值 ………………………………………………………3 题型三 指数型函数图象过定点 ………………………………………………………………3 题型四 指数函数的图象及应用 ………………………………………………………………4 题型五 指数函数的定义域和值域 ……………………………………………………………5 题型六 指数函数单调性的应用 ………………………………………………………………6 命题点1 比较大小 ……………………………………………………………………………6 命题点2 解简单指数不等式 …………………………………………………………………6 题型七 指数型复合函数的单调性 ……………………………………………………………7 题型八 指数型复合函数的值域 ………………………………………………………………7 题型九 由指数型复合函数的单调性和最值求参数 …………………………………………8 题型十 有关指数函数的图像变换 ……………………………………………………………9 题型十一 含指数函数的函数的奇偶性………………………………………………………11 题型十二 含指数函数的函数的值域…………………………………………………………12 4、 强化训练………………………………………………………………………13 学习目标 1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念. 2. 能用描点法画出具体知识函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识梳理 知识点1 指数函数的概念 函数叫作指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 知识点2 指数函数的图象和性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点，即0时，1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 题型归纳 题型一 指数函数的概念 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】一个函数是指数函数，需满足三个条件： ⑴底数大于且不等于；⑵指数是单一的自变量；⑶系数为，且没有其他项. 题型二 求指数函数的解析式、函数值 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若函数是指数函数，则 ． 3．（24-25高一上·新疆·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84％，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为 ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）国际象棋源于古印度，相传一位老人向国王推荐了它，国王很高兴，他便问那位老人，他需要得到什么赏赐．老人开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．请写出麦子粒数y与第x格的关系表达式是 ． 题型三 指数型函数图象过定点 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点 ． 3．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 【方法总结】此类题型主要应用. 题型四 指数函数的图象及应用 1．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 2．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（   ） A． B． B． C． D． 4．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立 题型五 指数函数的定义域和值域 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州·期中）下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 4．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的值域是 . 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，则 . 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的值域为 . 7．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 题型六 指数函数单调性的应用 命题点1 比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北保定·期末）设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】比较幂大小的方法： （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 命题点2 解简单指数不等式 1．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 2．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解为 ； 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）解不等式； 5．（24-25高一上·全国·课前预习）若求的取值范围． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若（，且），求的取值范围． 【方法总结】指数不等式的解法： （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，；②当时，． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 题型七 指数型复合函数的单调性 1．（20-21高一上·河南郑州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】形如（且）的复合函数，①的定义域与的定义域相同；②当时，与具有相同的单调性，当时，与的单调性相反. 题型八 指数型复合函数的值域 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东德州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（18-19高一上·浙江台州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一上·山东济南·期末）已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【方法总结】指数型复合函数的值域的求解步骤： ⑴分解函数结构：将复合函数拆分为外层函数（指数函数或二次函数）和内层函数（一次、二次函数或指数函数）. ⑵确定内层函数值域：先求内层函数的值域，需特别注意指数函数本身的取值范围限制（如）. ⑶结合外层函数特性求最终值域：根据外层函数的单调性和内层值域推导最终结果. 题型九 由指数型复合函数的单调性和最值求参数 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·辽宁·期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 6．（22-23高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十 有关指数函数的图像变换 1．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2023高一·全国·课后作业）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（11-12高一上·浙江衢州·期末）若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆·期末）设函数，若有不相等的实数、，满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．不能确定 题型十一 含指数函数的函数的单调性和奇偶性 1．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 2．（24-25高一上·河南·期中）函数的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 3．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）设，，那么是（   ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 4．（2020·四川·二模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为偶函数，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【常用结论】奇函数：，，，； 偶函数：，（其中且） 题型十二 含指数函数的函数的值域 1．（19-20高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 . 3．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 4．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 5．（24-25高一下·河南漯河·阶段练习）设则下列选项不正确的是（    ） A． B．时，在上单调递减 C．时，在上单调递减 D．的值域为 【注意点】求此类函数的值域时，需注意（其中且） 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东汕头·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 5．（20-21高一·全国·课后作业）下列函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 9．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·天津宝坻·阶段练习）已知 是奇函数，则不正确的是（    ） A． B．上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 二、多选题 12．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 13．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知函数是指数函数，且，则 ． （2）指数函数的图象过点，则 ， ． 15．（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 17．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 19．（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数（为常数）是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域； (3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围. 20．（24-25高一下·四川成都·期中）函数（且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值. (2)判断并用定义法证明的单调性. (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 指数函数 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 指数函数的概念 ………………………………………………………………………1 知识点2 指数函数的图象和性质 ………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 指数函数的概念 ………………………………………………………………………2 题型二 求指数函数的解析式、函数值 ………………………………………………………3 题型三 指数型函数图象过定点 ………………………………………………………………5 题型四 指数函数的图象及应用 ………………………………………………………………6 题型五 指数函数的定义域和值域 ……………………………………………………………8 题型六 指数函数单调性的应用………………………………………………………………11 命题点1 比较大小 ……………………………………………………………………………11 命题点2 解简单指数不等式 …………………………………………………………………13 题型七 指数型复合函数的单调性……………………………………………………………14 题型八 指数型复合函数的值域………………………………………………………………16 题型九 由指数型复合函数的单调性和最值求参数…………………………………………18 题型十 有关指数函数的图像变换……………………………………………………………21 题型十一 含指数函数的函数的奇偶性………………………………………………………24 题型十二 含指数函数的函数的值域…………………………………………………………28 4、 强化训练………………………………………………………………………31 学习目标 1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念. 2. 能用描点法画出具体知识函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识梳理 知识点1 指数函数的概念 函数叫作指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 知识点2 指数函数的图象和性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点，即0时，1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 题型归纳 题型一 指数函数的概念 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据指数函数定义可知，是指数函数，B正确：AD均不是指数函数；是指数函数，C正确． 【方法总结】一个函数是指数函数，需满足三个条件： ⑴底数大于且不等于；⑵指数是单一的自变量；⑶系数为，且没有其他项. 题型二 求指数函数的解析式、函数值 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 2.若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 3．（24-25高一上·新疆·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 【答案】 【详解】由题意设，且， ∵的图象过点，∴，解得， 则的解析式为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84％，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为 ． 【答案】 【详解】设该物质最初的质量是1，经过年剩留量是， 经过1年，剩留量； 经过2年，剩留量； …… 一般地，经过年，剩留量， 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）国际象棋源于古印度，相传一位老人向国王推荐了它，国王很高兴，他便问那位老人，他需要得到什么赏赐．老人开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．请写出麦子粒数y与第x格的关系表达式是 ． 【答案】 【详解】由题意可知第一格放了粒麦子， 第二格放了粒麦子， 第三格放了粒麦子， 以此类推可得第x格放了粒麦子， 故答案为：. 题型三 指数型函数图象过定点 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点 ． 【答案】 【详解】令得，此时， 故函数（，且）的图象过定点． 故答案为：. 3．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 【答案】 【详解】根据指数的性质有，即函数的图象过定点. 故答案为： 【方法总结】此类题型主要应用. 题型四 指数函数的图象及应用 1．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 【答案】D 【详解】因为，且函数与的图象如图所示： 所以函数与的图象关于轴对称. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称. 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用特值法求解，取，可知． 4．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 5．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示． 令，若，则；若，则；若，则． 6．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立 题型五 指数函数的定义域和值域 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 2．（24-25高一下·贵州·期中）下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：因为为指数函数，所以其值域为. 对于选项B：因为为二次函数，抛物线开口向上，其值域为. 对于选项C：因为，其图象为： 可以看出其值域为. 对于选项D：因为是反函数，所以其值域为. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 【答案】AB 【详解】由题意，得函数，即 因为的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 令，则， 则， 又因为在上单调递增， 所以，即， 故选：AB. 4．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【详解】易知指数函数在上单调递减， 所以，即该函数在上的值域为. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，则 . 【答案】 【详解】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以. 对于函数，因为对于任意都成立，所以. 因为，，所以. 故答案为：. 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【详解】解：当时，单调递减，所以函数的值域为， 当时，单调递增，所以函数的值域为， 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 7．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【答案】D 【详解】解：当时，函数为增函数，则， 故，解得或（舍去）， 当时，函数为减函数，则， 故，无解， 综上，. 故选：D. 题型六 指数函数单调性的应用 命题点1 比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在定义域内单调递增，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：A. 3．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又函数是减函数， 所以，所以， 故选：C. 5．（24-25高一上·河北保定·期末）设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为指数函数在上单调递减，则，即， 因为指数函数在上单调递减，则，即， 又因为指数函数在上单调递增，则，即， 则. 故选：D 【方法总结】比较幂大小的方法： （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 命题点2 解简单指数不等式 1．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【详解】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解为 ； 【答案】． 【详解】由，因为是R上单调递增函数， 所以上式等价于， 所以原不等式的解为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）解不等式； 【答案】 【详解】原不等式，由是R上的增函数， 上式等价于，解得. 故原不等式的解集为. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）若求的取值范围． 【答案】 【详解】因为是上的增函数，且， 所以，即， 故的取值范围是． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若（，且），求的取值范围． 【答案】答案见解析 【详解】因为，所以当时，为增函数，可得，所以． 当时，为减函数，可得，所以． 综上，当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为． 【方法总结】指数不等式的解法： （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，；②当时，． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 题型七 指数型复合函数的单调性 1．（20-21高一上·河南郑州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 4．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，令， 函数在上单调递增，由，得， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 故选：A 【方法总结】形如（且）的复合函数，①的定义域与的定义域相同；②当时，与具有相同的单调性，当时，与的单调性相反. 题型八 指数型复合函数的值域 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 2．（22-23高一上·山东德州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，又当时，所以， 当时，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 3．（18-19高一上·浙江台州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为在上单调递减，∵，∴， 故函数的值域为. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴， 故选：D 5．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 6．（21-22高一上·山东济南·期末）已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为. 故选：B 【方法总结】指数型复合函数的值域的求解步骤： ⑴分解函数结构：将复合函数拆分为外层函数（指数函数或二次函数）和内层函数（一次、二次函数或指数函数）. ⑵确定内层函数值域：先求内层函数的值域，需特别注意指数函数本身的取值范围限制（如）. ⑶结合外层函数特性求最终值域：根据外层函数的单调性和内层值域推导最终结果. 题型九 由指数型复合函数的单调性和最值求参数 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的； 再由复合函数单调性可得，使二次函数在区间上单调递减即可； 因此，可得. 故选：D 2．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】令，则，令； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递减， 要使在上单调递增，则在上单调递减，则，解得； 当时，因为，所以，且在定义域上单调递增， 要使在上单调递增，则在上单调递增，则，； 综上可得. 故选：A 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高一下·云南·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，， 显然在上单调递增，且的值域为， 又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在区间上单调递减，所以， 即的取值范围为. 故选：A 5．（21-22高一上·辽宁·期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【详解】∵函数在上有最大值， ∴，， ∴，解得或（舍去）. 故选：A. 6．（22-23高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 令（），则（）， 要想方程有实数解只需与有交点即可； 设，当时，单调递增，所以， 即时，解得：， 故a的取值范围是为：. 故选：C. 7．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 题型十 有关指数函数的图像变换 1．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， 当时，恒成立，排除CD， 当时，，当趋向于0时，趋向于0，排除B，正确选项为A. 故选：A 2．（23-24高一上·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数， 要使图象不经过第一象限，则，解得. 故选：B. 3.（2023高一·全国·课后作业）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】函数的图象与轴有交点， 有解，，， ，则实数的取值范围是. 故选：A． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 5．（11-12高一上·浙江衢州·期末）若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得， 故选：A. 6．（24-25高一上·重庆·期末）设函数，若有不相等的实数、，满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．不能确定 【答案】B 【详解】作的图象如图所示： 由题可知若有不相等的实数、，满足，不妨令，则， 所以，所以. 故选：B. 题型十一 含指数函数的函数的单调性和奇偶性 1．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【详解】函数定义域为， ，函数为奇函数， 设 ，，函数单调递增，设 ，在 上单调递减， 故函数 在R上是减函数. 故选：D 2．（24-25高一上·河南·期中）函数的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 【答案】D 【详解】易知的定义域为，关于原点对称， ， 是偶函数，其图象关于轴对称， 故选：D. 3．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）设，，那么是（   ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 【答案】D 【详解】因为， 所以该函数是偶函数， 当时，，此时函数单调递增， 故选：D 4．（2020·四川·二模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立，排除A、B； 由，排除C. 故选：D 5．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确. 故选：B. 6．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【详解】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为偶函数，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，所以，所以． 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， 为奇函数，且知在上单调递增． ， 原不等式可转化为， ，解得． 故选：D． 9．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数， 则，所以为偶函数， 当时，， 函数单调递减，函数单调递减， 则函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则由不等式，得， 则，化简得， 解得，则不等式的解集为. 故选：A. 【常用结论】奇函数：，，，； 偶函数：，（其中且） 题型十二 含指数函数的函数的值域 1．（19-20高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，即， 所以的值域为， 故选：C 2．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 . 【答案】 【详解】因为函数定义域为，又， 所以， 所以，即， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 4．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】，令，则， 则， 且，则 因，则，则， 又，则，即， 则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C 5．（24-25高一下·河南漯河·阶段练习）设则下列选项不正确的是（    ） A． B．时，在上单调递减 C．时，在上单调递减 D．的值域为 【答案】C 【详解】对于A，，故A正确； 对于B、C，因为， 所以当时，函数单调递减，则函数单调递增，所以在上单调递减； 当时，函数单调递增，则函数单调递减，所以在上单调递增. 故B正确，C错误； 对于D， ，因为，所以， 所以.故D正确. 故选：C. 【注意点】求此类函数的值域时，需注意（其中且） 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即函数的值域为， 故选：A. 2．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 3．（24-25高一上·广东汕头·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，函数在上单调递增，函数在R上单调递减， 则，所以的大小关系为. 故选：D. 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 5．（20-21高一·全国·课后作业）下列函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数的值域为，函数的值域为，函数的值域为，的值域为． 故选：A． 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，排除A，C； 当时，，故，排除D. 故选：B． 7．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二次函数开口向下，当时，最大值为， 函数是单调递减函数，所以的值域为. 故选：B. 8．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 9．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 10．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，，函数的值域，不成立， 当时，，，单调递减，， 函数的值域，不成立， 当时，，，单调递增，， 函数的值域是，所以，解得， 所以. 故选：A 11．（24-25高一上·天津宝坻·阶段练习）已知 是奇函数，则不正确的是（    ） A． B．上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】B 【详解】A：由，得，即函数的定义域为， 由为奇函数，得， 即，整理得， 又，所以，解得.故A正确； B：由选项A知， 当时，.又函数在上为增函数， 所以在上为减函数，故B错误； C：令，得，解得或， 所以的值域为，故C正确； D：因为在上为减函数，且为奇函数， 所以在上为减函数，且， 由得，解得， 即原不等式的解集为，故D正确. 故选：B 二、多选题 12．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】AC 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增． 因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误． 因为，所以，则C正确，D错误． 故选：AC 13．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知函数是指数函数，且，则 ． （2）指数函数的图象过点，则 ， ． 【答案】125 ； ； 【详解】（1）设（且），且，所以，则，故，所以． （2）设（且），则，则，故， 所以. 15．（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】从已知不等式中分离出实数a，得.因为函数在R上是减函数，所以当时，，从而得，所以. 四、解答题 17．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. （2）由（1）知 当， 当，的值域为. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)是定义在上的奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1）因为，，函数的定义域为，， 所以. 所以是定义在上的奇函数. （2）任取，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即，所以函数在其定义域上是增函数. （3）由，得， 因为函数为奇函数，所以， 所以． 由（2）已证得函数在上是增函数， 所以， 所以. 所以不等式的解集为. 19．（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数（为常数）是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域； (3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以对有， 即，整理得， 则由的任意性得，所以. 此时，的定义域为R，且， 所以，. （2）， 在上单调递减，在上单调递减且， 函数在上的值域为. （3）由向左移1个单位，向上移1个单位得到， 所以关于对称，所以令， 则，即：， 由得， 在上单调递减，在上单调递减， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令得：对任意恒成立， 令，其对称轴为，， 所以 所以实数的取值范围是. 20．（24-25高一下·四川成都·期中）函数（且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值. (2)判断并用定义法证明的单调性. (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）由题意，得，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，适合题意，故. （2）函数为R上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为R上的增函数. （3）由（1）得在上单调递增，， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：由在上单调递增，得，将原问题转化为，只需即可，换元令，在上单调递增，求出最小值可得的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$