第14讲 指数（知识梳理+5大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第14讲 指数 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 次方根 ………………………………………………………………………………1 知识点2 分数指数幂 ……………………………………………………………………………1 知识点3 指数幂的运算性质 ……………………………………………………………………1 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 指数和指数幂的运算 …………………………………………………………………2 题型二 利用根式的性质化简求值 ……………………………………………………………3 题型三 根式与分数指数幂的互化 ……………………………………………………………5 题型四 运用指数幂运算公式化简求值 ………………………………………………………5 题型五 条件求值问题 …………………………………………………………………………9 四、强化训练 ………………………………………………………………………11 学习目标 1. 通过对有理数指数幂（且，为整数，且）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2. 通过对实数指数幂（且，）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 知识梳理 知识点1 次方根 ⑴n次方根 定义 一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 个数 n是奇数 x仅有一个值，记为 n是偶数 x有两个值，且互为相反数，记为 x不存在 （2）根式 ①定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②性质：（，且） a； 知识点2 分数指数幂 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：（，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 知识点3 指数幂的运算性质 运算性质： （1）；. （2）；. （3）. 题型归纳 题型一 利用根式的性质化简求值 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则 ． 【答案】1 【详解】由，知，所以． 68．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2；(2)；(3) 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式 【方法总结】根式化简与求值的思路与注意点 ⑴思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简. ⑵注意点：①注意正确区分与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用，必要时进行讨论. 题型二 指数和指数幂的运算 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A中，；B中，；C正确；D中，． 2．（20-21高一上·天津南开·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 3．（24-25高一上·江西南昌·期中） 【答案】 【详解】. 故答案为：. 4．（24-25高一上·陕西·期中）求值： ． 【答案】 【详解】 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课前预习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 6．（24-25高一上·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）原式； （2）原式：． 题型三 根式与分数指数幂的互化 1．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 2.（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】由题意. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1） （2）因为，，所以 ． （3）因为，， 所以 ． 【方法总结】根式与分数指数幂互化的方法 根指数分数指数幂的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子. 【注意】如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 题型四 运用指数幂运算公式化简求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（   ） A．3 B． C．9 D．81 【答案】B 【详解】． 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）指数幂的值为 ． 【答案】 【详解】由. 故答案为：4 3．（24-25高一上·福建莆田·期中） . 【答案】0 【详解】. 故答案为：0. 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）化简求值: . 【答案】2 【详解】. 故答案为：2 6．（24-25高一上·云南保山·期末）计算： ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 8．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 【方法总结】有理数指数幂运算的解题通法 ⑴有括号的先算括号例的，无括号的先做指数运算. ⑵先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. ⑶底数是复数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数. ⑷若是根式，应化成分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质求解答. ⑸运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 题型五 条件求值问题 1．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）若，则 ． 【答案】 【详解】若，则． 故答案为：. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【详解】两边平方得， 故. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【详解】由， 因，故，即得，. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的值为（   ） A． B．2或 C． D．2 【答案】D 【详解】因为，所以，所以．又，所以． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】11 【详解】因为，所以，， 两边平方得， 故. 故答案为：11 6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 即，所以. 7．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【答案】(1)；(2)①；② 【详解】（1）. （2）①，所以； ②，且， 所以 【方法总结】对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值；也可以先对条件加以变形，使它与所要求的的式子的联系更加以明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A：，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：A． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． 4.（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 5．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 二、多选题 6．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，当时，，当时，，错误； D选项，，正确. 故选：AD. 7．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【详解】， 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 10．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中） . 【答案】 【详解】. 故答案为： 11．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期中）化简： . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 四、解答题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)32；(2)4608 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 指数 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 次方根 ………………………………………………………………………………1 知识点2 分数指数幂 ……………………………………………………………………………1 知识点3 指数幂的运算性质 ……………………………………………………………………1 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 指数和指数幂的运算 …………………………………………………………………2 题型二 利用根式的性质化简求值 ……………………………………………………………3 题型三 根式与分数指数幂的互化 ……………………………………………………………5 题型四 运用指数幂运算公式化简求值 ………………………………………………………5 题型五 条件求值问题 …………………………………………………………………………9 四、强化训练 ………………………………………………………………………11 学习目标 1. 通过对有理数指数幂（且，为整数，且）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2. 通过对实数指数幂（且，）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 知识梳理 知识点1 次方根 ⑴n次方根 定义 一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 个数 n是奇数 x仅有一个值，记为 n是偶数 x有两个值，且互为相反数，记为 x不存在 （2）根式 ①定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②性质：（，且） a； 知识点2 分数指数幂 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：（，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 知识点3 指数幂的运算性质 运算性质： （1）；. （2）；. （3）. 题型归纳 题型一 利用根式的性质化简求值 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则 ． 68．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 4．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【方法总结】根式化简与求值的思路与注意点 ⑴思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简. ⑵注意点：①注意正确区分与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用，必要时进行讨论. 题型二 指数和指数幂的运算 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·天津南开·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西南昌·期中） 4．（24-25高一上·陕西·期中）求值： ． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）计算下列各式： (1)； (2)． 6．（24-25高一上·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 题型三 根式与分数指数幂的互化 1．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 2.（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 3．（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 4．（24-25高一上·全国·课前预习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【方法总结】根式与分数指数幂互化的方法 根指数分数指数幂的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子. 【注意】如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 题型四 运用指数幂运算公式化简求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（   ） A．3 B． C．9 D．81 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）指数幂的值为 ． 3．（24-25高一上·福建莆田·期中） . 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）化简求值: . 6．（24-25高一上·云南保山·期末）计算： ． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 8．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【方法总结】有理数指数幂运算的解题通法 ⑴有括号的先算括号例的，无括号的先做指数运算. ⑵先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. ⑶底数是复数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数. ⑷若是根式，应化成分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质求解答. ⑸运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 题型五 条件求值问题 1．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）若，则 ． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的值为（   ） A． B．2或 C． D．2 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 7．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【方法总结】对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值；也可以先对条件加以变形，使它与所要求的的式子的联系更加以明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 4.（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 9．（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 10．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中） . 11．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期中）化简： . 四、解答题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$