第11讲 奇偶性（知识梳理+8大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第11讲 奇偶性 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 函数的奇偶性 …………………………………………………………………………1 知识点2 奇偶性与单调性 ………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 判断函数的奇偶性 ……………………………………………………………………2 题型二 奇偶函数的图像特征 …………………………………………………………………3 题型三 利用奇偶性求函数值 …………………………………………………………………4 题型四 由奇偶性求解析式 ……………………………………………………………………4 命题角度1 求对称区间上的解析式……………………………………………………………4 命题角度2 构造方程组求解析式………………………………………………………………6 题型五 利用奇偶性求参数 ……………………………………………………………………6 题型六 奇偶性与单调性的综合应用 …………………………………………………………7 题型七 已知奇函数 ……………………………………………………………8 题型八 抽象函数的奇偶性 ……………………………………………………………………9 四、强化训练 ………………………………………………………………………10 学习目标 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 知识梳理 知识点1 函数的奇偶性 ⑴函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数 定义域特征 关于原点对称 ⑵奇、偶函数的图象特征 （1）奇函数的图象是以原点为中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）偶函数的图象是以轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴 对称，则这个函数是偶函数. 知识点2 奇偶性与单调性 ⑴若为奇函数且在区间上单调递增，则在上单调递增，即在对称区间上单调性一致（相同）．符号相同 ⑵若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上单调递减 ，即在对称区间上单调性相反．符号相同 题型归纳 题型一 判断函数的奇偶性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【方法总结】判断奇偶性的方法：⑴定义法；⑵图像法. 题型二 奇偶函数的图像特征 1．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，的图象如图所示， 则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 题型三 利用奇偶性求函数值 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知函数 且， 则 ． 3．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 4．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 题型四 由奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式 1．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 4．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 6．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值；(2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 命题角度2 构造方程组求解析式 1．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 3．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 题型五 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 2．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 3．（24-25高一上·广东汕尾·期末）若函数为偶函数，则实数 . 4．（24-25高一上·吉林·期末）若函数为上的奇函数，则实数 . 5．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 题型六 奇偶性与单调性的综合应用 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 8．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【常用结论】⑴若为奇函数且在区间上单调递增，则在上 单调递增 ，即在对称区间上单调性一致（相同）．符号相同；⑵若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上单调递减，即在对称区间上单调性相反．符号相同 题型七 已知奇函数 1．（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 4．（24-25高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 5．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 6．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 题型八 抽象函数的奇偶性 1．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 3．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（    ） A． B．-1 C． D．0 5．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 6．（多选）（24-25高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 7．（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 8．（多选）（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【方法总结】对于抽象函数奇偶性的判断，由于没有具体的解析式，因此要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有，的式子，再利用奇偶性的定义加以判断，其解题策略为： ⑴要善于对所给关系式进行赋值； ⑵变形要有目的性，要以“与的关系”为目标进行化简和变形. 题型归纳 一、单选题 1．（2019·四川南充·二模）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江温州·期中）函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 6．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 8．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·河南驻马店·期末）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）设为实数，函数是奇函数，则 ． 12．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 13．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 四、解答题 14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 15．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 16．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 奇偶性 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 函数的奇偶性 …………………………………………………………………………1 知识点2 奇偶性与单调性 ………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 判断函数的奇偶性 ……………………………………………………………………2 题型二 奇偶函数的图像特征 …………………………………………………………………4 题型三 利用奇偶性求函数值 …………………………………………………………………6 题型四 由奇偶性求解析式 ……………………………………………………………………7 命题角度1 求对称区间上的解析式……………………………………………………………7 命题角度2 构造方程组求解析式………………………………………………………………11 题型五 利用奇偶性求参数……………………………………………………………………12 题型六 奇偶性与单调性的综合应用…………………………………………………………13 题型七 已知奇函数 ……………………………………………………………17 题型八 抽象函数的奇偶性……………………………………………………………………19 四、强化训练 ………………………………………………………………………24 学习目标 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 知识梳理 知识点1 函数的奇偶性 ⑴函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数 一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数 定义域特征 关于原点对称 ⑵奇、偶函数的图象特征 （1）奇函数的图象是以原点为中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）偶函数的图象是以轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴 对称，则这个函数是偶函数. 知识点2 奇偶性与单调性 ⑴若为奇函数且在区间上单调递增，则在上单调递增，即在对称区间上单调性一致（相同）．符号相同 ⑵若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上单调递减 ，即在对称区间上单调性相反．符号相同 题型归纳 题型一 判断函数的奇偶性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足． 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 【方法总结】判断奇偶性的方法：⑴定义法；⑵图像法. 题型二 奇偶函数的图像特征 1．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，的图象如图所示， 则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是偶函数，是奇函数，故是奇函数，且在处没有意义． 3．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【答案】D 【详解】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 题型三 利用奇偶性求函数值 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知函数 且， 则 ． 【答案】 【详解】由，， 又，所以为奇函数， . 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为： 4．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 题型四 由奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式 1．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 又． 故选:C． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 6．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值；(2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1)；(2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为，；(3)或. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 命题角度2 构造方程组求解析式 1．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①， 所以，，即②， 联立①②得，，故. 故答案为：. 题型五 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·广东汕尾·期末）若函数为偶函数，则实数 . 【答案】2 【详解】由题意可知，即， 展开可得， 即对于都成立，所以，即. 故答案为：2 4．（24-25高一上·吉林·期末）若函数为上的奇函数，则实数 . 【答案】0 【详解】因为为上的奇函数， 所以，此时， 所以，即函数是奇函数， 所以满足题意. 故答案为：. 5．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 题型六 奇偶性与单调性的综合应用 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的偶函数，得， 又在上单调递减，因此，整理得，解得， 所以满足不等式的的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 4．（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 5．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 6．（23-24高一上·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 【答案】； 【详解】由偶函数性质可知， 又函数 在区间 上单调递增， 所以， 故答案为： 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或． 易错警示 解题中易忽视函数的定义域． 8．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 【常用结论】⑴若为奇函数且在区间上单调递增，则在上 单调递增 ，即在对称区间上单调性一致（相同）．符号相同；⑵若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上单调递减，即在对称区间上单调性相反．符号相同 题型七 已知奇函数 1．（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【详解】， . 故答案为：2. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以． 4．（24-25高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 5．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【详解】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 6．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数，化简为，，构造函数，判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 题型八 抽象函数的奇偶性 1．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】D 【详解】对任意实数x，y，都有，， 取，得，即，解得， 取，得，即，解得， 任意，则，因此， 取，得，则，， 所以. 故选：D 5．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 6．（多选）（24-25高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 8．（多选）（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【详解】对于A选项，对任意的实数、满足， 令可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得， 即，解得， 再令可得，B错； 对于D选项，令， 由可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 对于C选项，由题意可知，当时，， 当时，，即时，， 故当时，， 任取、且， 则， 即函数在上为增函数，C对. 故选：ACD. 【方法总结】对于抽象函数奇偶性的判断，由于没有具体的解析式，因此要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有，的式子，再利用奇偶性的定义加以判断，其解题策略为： ⑴要善于对所给关系式进行赋值； ⑵变形要有目的性，要以“与的关系”为目标进行化简和变形. 题型归纳 一、单选题 1．（2019·四川南充·二模）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江温州·期中）函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 当时，， 令，则，则， 所以当时，， 综上所述，. 故选：A. 4．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 【答案】A 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：A. 6．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 7．（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 8．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 2、 多选题 9．（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，的定义域为R，且， 所以为偶函数，A错误； B选项，的定义域为， ， 所以是奇函数，B正确； C选项，是定义在R上的分段函数， 当时，，； 当时，，， 且x＝0时，，所以是奇函数，C正确； D选项，的定义域为且，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一上·河南驻马店·期末）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）设为实数，函数是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】由题意，函数在上为奇函数，， 所以，即， 则时，， 所以时，，则，即，即. 故答案为：. 12．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 13．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，等价于， 又奇函数在上单调递增，可知在R单调递增， 所以可得：，解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 由题， 当， ， 所以， （2）在单调递增， 所以 在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 15．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数；(2) 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 16．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 17．（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)在上单调递减，理由见解析；(3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$