第10讲 单调性与最大（小）值（知识梳理+11大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第10讲 单调性与最大（小）值 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 增函数与减函数的定义 ………………………………………………………………1 知识点2 函数的单调区间………………………………………………………………………2 知识点3 函数的最大值与最小值………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 利用函数的图像判断函数的单调性 …………………………………………………2 题型二 定义法判断或证明函数的单调性 ……………………………………………………6 题型三 由解析式判断函数的单调性 …………………………………………………………9 题型四 单调性的应用…………………………………………………………………………11 命题点1 已知单调区间求参数…………………………………………………………………11 命题点2 根据函数的单调性解不等式…………………………………………………………12 题型五 分段函数的单调性……………………………………………………………………14 题型六 图像法求函数的最值…………………………………………………………………19 题型七 单调性法求函数的最值………………………………………………………………23 题型八 根据函数的最值求参数………………………………………………………………26 题型九 函数不等式恒（能）成立……………………………………………………………29 题型十 函数的单调性和最值的综合问题……………………………………………………34 题型十一 抽象函数单调性的判断……………………………………………………………40 四、强化训练 ………………………………………………………………………50 学习目标 借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最值，理解它们的作用和实际意义； 知识梳理 知识点1 增函数与减函数的定义 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有，则称在区间I上是增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有，则称在区间I上是减函数，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间和单调递减区间。 知识点2 函数的单调区间 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间. 知识点3 函数的最大值与最小值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 题型归纳 题型一 利用函数的图像判断函数的单调性 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 2．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】ABC 【详解】由已知，因此，A错； 不是单调增函数，例如且，B错； 定义域是，C错； 值域是，D正确 故选：ABC． 3．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 【答案】2 ；和. 【详解】由图象可知：在时取最大值，所以最大值点为； 由图象可知：的单调递减区间为和， 故答案为：；和. 4．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为 故答案为： 5．（21-22高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1)图象见解析；(2)为增区间，为减区间；(3). 【详解】（1）由解析式有： 函数图象如下图示： （2）由图知：函数在上为增区间，在上为减区间； （3）由图知： 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，求函数的值域为. 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 【方法总结】根据函数的图像进行判断，作出函数的图像，根据图像的上升、下降的特征进行判断. 题型二 定义法判断或证明函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 2．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】的定义域为． 设，则， 当时，， 所以，所以在单调递增， 则函数在区间和上单调递增，A，D正确； 当或时， ，则 和上不单调递增，B，C错误． 故选：AD. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【详解】任取，则，，，所以 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，且． (1)求m； (2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． (3)画出函数在上的大致图象.（要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势） 【答案】(1)m=4；(2)单调递减，证明见解析；(3)答案见解析 【详解】（1）因为函数，且， 所以，所以. （2）由（1）知函数，函数在上是单调递减. 证明：任取且， 则 . 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以， 所以函数在上是单调递减. （3）解：函数在上的大致图象（如图）关键点. 【方法总结】利用定义证明函数的单调性的四个步骤： ⑴取值：设是该区间内的任意两个值，且（或）； ⑵作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式； ⑶定号：确定或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ⑷结论：根据定义得出结论. 题型三 由解析式判断函数的单调性 1．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是上单调减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，结合一次函数的性质可知是R上的递增函数，故A错误； 对于B，结合反比例函数的性质可得在上的单调递增，故B错误； 对于C，结合二次函数的性质可得在上的单调递减，故C满足题意； 对于D，因为与都是上的增函数，所以在上的单调递增，故D错误， 故选：C. 2．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 3．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B 【详解】函数图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由题意，得．又，则当时，在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值．综上，在上单调递增． 【方法总结】单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 题型四 单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据二次函数性质，在上递增，在上递减. 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为， 函数在区间上单调递增，，解得.所以的取值范围是. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，且， 当时，函数在上单调递减； 当时，函数无单调性； 当时，函数在上单调递增， 由函数在区间上是减函数，得，且， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 命题点2 根据函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ． 【答案】 【详解】依题意，不妨设，则，即， 因此函数是定义在R上的增函数，由，得，解得， 所以的解集为. 故答案为： 5．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 ； 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 6．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，对任意的且，总有， 所以在上为单调递增函数， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法总结】利用单调性解不等式时，由条件脱去“”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域。 题型五 图像法求函数的最值 1．（23-24高一·上海·课堂例题）观察下列函数的图象，并写出它们的值域： 【答案】答案见解析 【详解】对于图形（1），当时，；当时，； 所以图形（1）中函数的值域为； 对于图形（2），当时，； 所以图形（2）中函数的值域为； 对于图形（3），当时，； 所以图形（3）中函数的值域为. 2．（24-25高一上·天津·期中）函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因 可知函数图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增， 又 故当时，取得最大值4；当时，取得最小值0. 故选：D. 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的图象如图所示，则的值域为 ． 【答案】 【详解】由图象可知，函数的值域为． 故答案为：. 4.（24-25高一上·北京延庆·期中），设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】在同一坐标系内作出直线，，， 由取，，三个函数值中的最小值， 得的图象为下图中实线构成的折线图， 则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值， 观察图象知，的图象最高点是直线与的交点， 由，得，因此的图象最高点是， 所以的最大值为2. 故选：B 5.（24-25高一上·山东日照·阶段练习）定义，如，则函数的最小值为 . 【答案】 【详解】当，即时，， 此时； 当，即或时，， 此时，由二次函数的性质可得， ∴的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知二次函数.    (1)画出它的图象并指出图象的开口方向、顶点坐标； (2)写出函数的单调增区间和减区间. (3)求函数在时的值域 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1）， 故函数的图象的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点坐标为， 其图象如图所示：    （2）由函数图象可知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）因为， 结合函数的图象可得函数的值域为. 7．（24-25高一上·江西·期中）已知函数，    (1)若，求实数的值； (2)在直角坐标系中画出函数的大致图象，并根据函数图象写出函数的单调区间和值域（不用写解答过程）. 【答案】(1)或 (2)图象见解析，单调递减区间为，单调递增区间为，值域为 【详解】（1）①当时，若，则，解得； ②当时，若，则，解得（舍去）或； ③当时，若，则，解得（舍去）. 综上所述，实数a的值为或. （2）函数的大致图象如下：    由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. 8．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【详解】（1）因为，所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 【方法总结】图像法求最值的基本步骤： ⑴作：作出函数图像； ⑵找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标； ⑶定：确定函数的最大（小）值. 题型六 单调性法求函数的最值 1．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，可化为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的值域为. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 3．（23-24高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，当时，函数单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为， 函数的值域为. 故选：A. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】在上单调递增， 故当时，取得最小值，； 故答案为： 5．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，． 6．（24-25高一上·上海·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，则， 可得， 因为函数在上单调递增， 当时，，可得， 所以函数的值域为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数在上的最小值为 . 【答案】 【详解】根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，所以. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知， 的对称轴为， 所以在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以，解得. 故实数的取值范围是． 故答案为：. 10．（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)最大值为，最小值为；(3)作图见解析，. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 【方法总结】利用单调性求函数最值的一般步骤： ⑴判断函数的单调性； ⑵列出单调性写出最值. 题型七 根据函数的最值求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】； 【详解】（1）对称轴直线恰好在直线处，即，即． （2）对称轴直线应在直线处或其左侧，即，解得． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，， 所以在区间内单调递增，值域为， 所以，解得， 所以； 当时，， 所以在区间内单调递减，值域为， 则，，解得， 所以； 当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故值域为或， 若,则； 若,则， 综上，的取值范围为． 故答案为： 题型八 函数不等式恒（能）成立 1．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 2．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，求出， 在上恒成立，， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 3．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 4．（2019高三·江苏·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知在上严格单调递增，则当时，. 故答案为：． 6．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】在上是增函数，所以，， ， 所以在上递减，在上递增， ，由得或（舍去） 因此时，，所以，所以， 当时，，由，所以， 综上，． 故答案为：． 【方法总结】分离常数法：在求参数的取值范围时，可将参数单独分离出来求解. 题型九 函数的单调性和最值的综合问题 1．（20-21高二上·河北沧州·阶段练习）函数，若，使得，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，使得， 即在上的值域要包含在上的值域， 又在上. ①当时，单调递减，此时，解得； ②当时，，显然不满足题设； ③当时，单调递增，此时，解得. 综上：a的取值范围为. 故答案为： 2．（17-18高一上·陕西榆林·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)增函数，证明见解析；(3)最大值是，最小值是 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为. （2）由题，， 判断函数在上是增函数，证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 所以 3．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析；(2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且，. 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减. （2）由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，， 即所求实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，，对称轴，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以函数在上的值域为. （2）若，满足， 即，满足，即，即， 又，当且仅当即时取等号， 所以. 5．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数． (1)若的解集为，求实数的值； (2)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)当时，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）∵的解集为． ∴是方程的两根． ∴，． （2）的对称轴方程为． ∵在上具有单调性． ∴， ∴或． ∴实数的取值范围为． （3）， ∴， 设，任取，且． 当时，，∴， 当时，，∴． ∴在上单调递减，在上单调递增， 且．所以当时，， 所以，即取值范围为． 6．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)；(2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 题型十 分段函数的单调性和最值 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 2．（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 3．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【答案】 【详解】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）给定函数，，若，则的值域为 ． 【答案】 【详解】令，即，解得或， 令，解得， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，. 作出函数的图象如图所示，则的值域为． 故答案为：. 6．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数，对于且，都有 成立，则 的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得， 故为单调递减函数， 又， 则，解得. 故答案为：. 8．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【详解】，即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 10．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【答案】(1)，；(2)图象见解析，最大值为4 【详解】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 11．（24-25高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，为二次函数，开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，，为一次函数，当时，， 当时，， 画出图象如下： （2）由图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 故在上单调递增，在上单调递减. 题型十一 抽象函数求单调性的判断 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】任取，且，因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 令，所以，令，所以， 不等式等价于， 所以即，因为在上是增函数， 所以，解得或. 故选：B 2．（多选）（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（   ）． A． B．在R上是减函数 C．在上的最大值与最小值之和是4048 D．的解集为 【答案】AC 【详解】令，则，故，A正确， 对于B，取，则， 故， 所以，即，因此在R上是单调递增，故B正确， 对于C，由于在R上是单调递增，故在上的最大值与最小值之和是，故C正确， 对于D， 由可得， 故，根据单调递增，故，解得或，故D错误， 故选：AC 3．（多选）（24-25高一上·江西九江·期末）已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（    ） A． B． C．在上的最大值是6 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用题设条件通过赋值法代入，即可判断A，B；对于C，先由条件② ，推出在上的单调性，再由③推出，排除C项；对于D，利用C的结论，将化成，再利用函数单调性即可解得. 【详解】对于A：由①，时，有，即，故A正确； 对于B：由①，取，可得， 再取，，故B正确； 对于C：设且，则，由②得. 由①，取，可得，即. 由①再取，可得， 即，即故在上单调递减. 由③，得.又因则， 故在上的最大值为7，故C错误； 对于D：因则，即， 因在上单调递减，则 ，解得，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（    ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若则不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，可得，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明单调性，即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D. 【详解】令，则，又，所以. 当时，，所以， 又，所以，即.故A错误，B正确： 设，则 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确： 因为，所以， 不等式即 又在上单调递减，所以，解得， 所以等式的解集为D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2)函数在上单调递减．证明见解析；(3) 【详解】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，解集为 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可. 【详解】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 8．（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可； 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 9．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)，；(2)在上单调递减，证明见解析；(3) 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【方法总结】利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C 【详解】由图知，的定义域为，值域为，AB错误； 显然在、上单调递减，但在定义域上不单调，C正确； 显然时，对应自变量不唯一，D错误． 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为． 故选：A. 4．（24-25高一上·北京·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 5．（24-25高一上·重庆渝北·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有三个不同的值与之对应 D．当，时， 【答案】D 【详解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误； 对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误； 对于C：由图象可知，当时，有2个不同的值与之对应，故C错误； 对于D：由图象可知函数在上单调递减， 所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）将中的最大数记为，则函数的最小值为（    ） A．1 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【详解】作函数的图象如图．令得点，则由图可知函数的最小值为5． 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 9．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【详解】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 11．（24-25高一上·福建福州·期中）下列说法错误的有（    ） A．函数是减函数 B．如果，当时，都有，则在区间上单调递增 C．函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数 D．函数是减函数，若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，令，则，， 此时满足，不满足， 得到函数在整个定义域上不是减函数，故A错误， 对于B，由增函数的定义得到对于，当时， 都有，则在区间上单调递增，故B正确， 对于C，当时，令， 当时，令，而， 不符合增函数的定义，故C错误， 对于D，因为函数是减函数，且， 所以，解得，故D错误. 故选：ACD 12.（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 故选：BC． 三、填空题 13．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 14．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 16．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 ； 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 四、解答题 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)最大值是，最小值是 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. 18．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，.    (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)，用表示中的最小者，记作，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间. 【答案】(1)图象见解析 (2)，图象见解析；单调递增区间为和；单调递减区间为和 【详解】（1）图象如下图所示，    （2）令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下：    由图象可知：的单调递增区间为和；单调递减区间为和. 19．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；(2) 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 设，且， 则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. （2）由（1）得，，，即时，的值域， ∵在上为减函数，∴时，值域， ∵，使得，∴， ∴，解得，故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 单调性与最大（小）值 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 增函数与减函数的定义 ………………………………………………………………1 知识点2 函数的单调区间………………………………………………………………………2 知识点3 函数的最大值与最小值………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 利用函数的图像判断函数的单调性 …………………………………………………2 题型二 定义法判断或证明函数的单调性 ……………………………………………………4 题型三 由解析式判断函数的单调性 …………………………………………………………5 题型四 单调性的应用 …………………………………………………………………………6 命题点1 已知单调区间求参数 …………………………………………………………………6 命题点2 根据函数的单调性解不等式 …………………………………………………………6 题型五 分段函数的单调性 ……………………………………………………………………7 题型六 图像法求函数的最值 …………………………………………………………………9 题型七 单调性法求函数的最值………………………………………………………………10 题型八 根据函数的最值求参数………………………………………………………………11 题型九 函数不等式恒（能）成立……………………………………………………………11 题型十 函数的单调性和最值的综合问题……………………………………………………12 题型十一 抽象函数单调性的判断……………………………………………………………14 四、强化训练 ………………………………………………………………………17 学习目标 借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最值，理解它们的作用和实际意义； 知识梳理 知识点1 增函数与减函数的定义 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有，则称在区间I上是增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有，则称在区间I上是减函数，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间和单调递减区间。 知识点2 函数的单调区间 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间. 知识点3 函数的最大值与最小值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 题型归纳 题型一 利用函数的图像判断函数的单调性 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 2．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 3．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 4．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 5．（21-22高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【方法总结】根据函数的图像进行判断，作出函数的图像，根据图像的上升、下降的特征进行判断. 题型二 定义法判断或证明函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，且． (1)求m； (2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． (3)画出函数在上的大致图象.（要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势） 【方法总结】利用定义证明函数的单调性的四个步骤： ⑴取值：设是该区间内的任意两个值，且（或）； ⑵作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式； ⑶定号：确定或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ⑷结论：根据定义得出结论. 题型三 由解析式判断函数的单调性 1．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是上单调减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【方法总结】单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 题型四 单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 命题点2 根据函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 6．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【方法总结】利用单调性解不等式时，由条件脱去“”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域。 题型五 图像法求函数的最值 1．（23-24高一·上海·课堂例题）观察下列函数的图象，并写出它们的值域： 2．（24-25高一上·天津·期中）函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的图象如图所示，则的值域为 ． 4.（24-25高一上·北京延庆·期中），设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（24-25高一上·山东日照·阶段练习）定义，如，则函数的最小值为 . 6．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知二次函数.    (1)画出它的图象并指出图象的开口方向、顶点坐标； (2)写出函数的单调增区间和减区间. (3)求函数在时的值域 7．（24-25高一上·江西·期中）已知函数，    (1)若，求实数的值； (2)在直角坐标系中画出函数的大致图象，并根据函数图象写出函数的单调区间和值域（不用写解答过程）. 8．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【方法总结】图像法求最值的基本步骤： ⑴作：作出函数图像； ⑵找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标； ⑶定：确定函数的最大（小）值. 题型六 单调性法求函数的最值 1．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 3．（23-24高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值为 ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值是 ． 6．（24-25高一上·上海·期末）函数的值域为 ． 7．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数在上的最小值为 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的最大值为 . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 10．（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【方法总结】利用单调性求函数最值的一般步骤： ⑴判断函数的单调性； ⑵列出单调性写出最值. 题型七 根据函数的最值求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 6．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 题型八 函数不等式恒（能）成立 1．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 4．（2019高三·江苏·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【方法总结】分离常数法：在求参数的取值范围时，可将参数单独分离出来求解. 题型九 函数的单调性和最值的综合问题 1．（20-21高二上·河北沧州·阶段练习）函数，若，使得，则a的取值范围是 . 2．（17-18高一上·陕西榆林·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 3．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若，满足，求实数的取值范围. 5．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数． (1)若的解集为，求实数的值； (2)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)当时，对任意恒成立，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 题型十 分段函数的单调性和最值 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 3．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 4．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）给定函数，，若，则的值域为 ． 6．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数，对于且，都有 成立，则 的取值范围为 . 8．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 9．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 10．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 11．（24-25高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 题型十一 抽象函数求单调性的判断 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（多选）（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（   ）． A． B．在R上是减函数 C．在上的最大值与最小值之和是4048 D．的解集为 3．（多选）（24-25高一上·江西九江·期末）已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（    ） A． B． C．在上的最大值是6 D．不等式的解集为 4．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（    ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若则不等式的解集为 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 8．（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 9．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【方法总结】利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 3．（25-26高一上·全国·课后作业）的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆渝北·期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，有三个不同的值与之对应 D．当，时， 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）将中的最大数记为，则函数的最小值为（    ） A．1 B．5 C．4 D．6 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 11．（24-25高一上·福建福州·期中）下列说法错误的有（    ） A．函数是减函数 B．如果，当时，都有，则在区间上单调递增 C．函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数 D．函数是减函数，若，则 12.（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 13．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 14．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 15．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 16．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 四、解答题 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 18．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，.    (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)，用表示中的最小者，记作，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间. 19．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$