第09讲 函数的概念及其表示（知识梳理+12大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第09讲 函数的概念及其表示 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 函数的有关概念………………………………………………………………………2 知识点2 同一函数………………………………………………………………………………2 知识点3 区间……………………………………………………………………………………2 知识点4 函数的表示方法………………………………………………………………………3 知识点5 分段函数………………………………………………………………………………3 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 函数的定义……………………………………………………………………………3 题型二 求函数值………………………………………………………………………………5 题型三 区间的应用……………………………………………………………………………6 题型四 函数的定义域…………………………………………………………………………8 题型五 函数的值域 …………………………………………………………………………10 题型六 同一个函数的判定……………………………………………………………………12 题型七 函数的表示方法………………………………………………………………………15 题型八 求函数解析式…………………………………………………………………………17 方法1：换元法 方法2：配凑法 方法3：待定系数法 方法4：构造方程法 题型九 分段函数求值…………………………………………………………………………24 题型十 分段函数的定义域和值域……………………………………………………………25 题型十一 由分段函数的函数值求参数………………………………………………………28 题型十二 解分段函数不等式…………………………………………………………………30 四、强化训练 ………………………………………………………………………31 学习目标 1. 在“变量说”的基础上，了解函数的“对应关系说”； 2. 能在确定变量变化范围的基础上，理解函数的对应关系的本质，体会引入符号表示对应关系的必要性. 3. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 4. 能够正确使用区间表示数集； 5. 掌握判定函数与函数相等的方法（重点）； 6. 掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法并会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 7. 会画简单函数的图像并理解函数图象的作用（重点）. 8. 会求函数的解析式（重点、难点）. 9. 会用解析法和图象法表示分段函数. 10 . 给出分段函数，能研究有关性质（重点）. 10. 能用分段函数解决生活中的一些简单问题（难点）. 11. 会求一些简单函数的值域（难点）. 知识梳理 知识点1 函数的有关概念 概念 一般地，设A，B是两个非空的实数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：为定义于A取值于B的函数 三要素 对应关系 （，） 定义域 的取值范围 值域 所有函数值组成的集合 知识点2 同一函数 一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同， 对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点3 区间 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示             知识点4 函数的表示方法 (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 知识点5 分段函数 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的解析式的函数. 题型归纳 题型一 函数的定义 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 2．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应， 结合各图知，A、B、C不符合，D符合. 故选：D 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 【答案】AC 【详解】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应；B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数的定义域为，值域为；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应；D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数，当或时，． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 【方法总结】⑴函数的概念中要求： ①两个集合都是非空实数集，并且在对应关系中，集合中的元素不能有剩余（即集合中的每一个元素在集合中都有与之对应的元素），集合中的元素可以有剩余； ②对应的形式为“一对一”（一个对应一个）或者“多对一”（多个对应一个），但不能是“一对多”（一个对应多个）. 只有满足了这两个特点的对应关系才是函数关系. ⑵因为集合中的元素可以有剩余，因此集合不一定是值域，事实上，值域是集合的子集. 题型二 求函数值 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，所以， 故选：D 2．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】令，则，代入，得， 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 4．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，且，则（   ） A．3 B．-3 C．17 D．-17 【答案】A 【详解】在中取可得，所以， 故选：A 5．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则（   ） A．1 B．4 C．9 D．100 【答案】D 【详解】令，则，再令，则，所以. 故选：D. 题型三 区间的应用 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 2．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程的两根分别为和， 所以不等式，得，解集用区间表示为. 故选：A 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 4．（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为 ． 【答案】 【详解】由，解得，∴不等式组的解集为. 即且解集为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)；(2)或；(3)且；(4). 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    【注意点】⑴区间左端点值小于右端点值. ⑵区间两端点之间用“，”隔开. ⑶含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. ⑷以“”“”为区间的一端时，这端必须用小括号. ⑻“”是一个符号，而不是一个数. 题型四 函数的定义域 1．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 2．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D 3．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即，解得，即的定义域是. 故选：A. 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 5．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】且 【详解】由题意得：，解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域为得，解得． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【答案】； 【详解】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得． 【方法总结】函数定义域的求法 ⑴求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变换； ⑵求函数定义域的基本原则： ①如果是整式，那么函数的定义域是实数集； ②如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； ③如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； ④如果是由几个式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合（即求各部分定义域的交集） ⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约. 题型五 函数的值域 1．（多选）（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 故选：AC. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则其值域为 ． 【答案】 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为． 4．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【方法总结】求函数值域的五种方法： 观察法 对于一些比较简单的函数，其值域通过观察得到. 图象法 当所给函数可以画出其图象时，可画出其图象，根据图象得到函数的值域（注意函数的定义域）. 分离常数法 此方法主要针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 换元法 即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于（其中为常数，且）型的函数常用换元法. 题型六 同一个函数的判定 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为， 故两者不是同一函数； 对于B，由得，故定义域为， 由得， 故的定义域为，故两者不是同一函数； 对于C，，两者定义域均为，对应法则相同，故为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故两者不是同一函数； 故选：C. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 4．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 5．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下列函数相等的是（    ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【答案】AB 【详解】因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故B正确； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C错误； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D错误； 故选：AB. 【方法总结】如果两个函数的定义域和 对应关系相同，那么我们就称这两个函数是同一函数.如果两个函数仅对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是相同的函数. 题型七 函数的表示方法 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数表示为： x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值：，所以的值域为. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 4．（多选）（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（   ） A． B．（） C． D．（） 【答案】AB 【详解】A选项，，A正确； BD选项，（），B正确，D错误； C选项，，显然，C错误 故选：AB 5．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图像，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 【重点归纳】列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示，在用三种方法表示函数时要注意： ⑴解析法必须注明函数的定义域； ⑵列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； ⑶图象法中要注意是否连续. 题型八 求函数解析式 方法1：代入法 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，则 . 【答案】. 【详解】由题设. 故答案为： 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，则函数的解析式为： ． 【答案】 【详解】在中，用代替， 得， 故答案为： 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【答案】(1)，，，；(2)，证明见解析. 【详解】（1），，，； （2）猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 方法2：换元法 1．（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，可得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，所以，结合，得， 所以： 即. 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 方法3：配凑法 1.（浙江G5联盟2024-2025学年高一上学期期中联考）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，则，所以的解析式为.故选D. 2．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 3.（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 方法3：待定系数法 1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 2.（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是一次函数，可设， 因为， 所以，即， 所以，解得， 所以的解析式是． 方法4：构造方程法 1.（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 3．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 ； 1 【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 5．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 题型九 分段函数求值 1．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【详解】由题意可得. 故答案为：. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 故答案为： 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知狄利克雷函数则 . 【答案】2 【详解】因为，所以， 因为，所以，故. 故答案为：2 4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【方法总结】(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.对于含有多层“”的问题，要按照“ 由内到外”的顺序，逐层处理. (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解. 题型十 分段函数的定义域和值域 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2．（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列求函数定义域正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．函数的定义域为 【答案】AD 【详解】对于A，对于，有，即， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，对于，有，解得， 所以的定义域为，故B错误； 对于C，对于，有， 所以的定义域为，故C错误； 对于D，易知的定义域为，故D正确. 故选：AD. 3.（湖南省衡阳市常宁市尚宇学校2023--2024学年高一上学期12月月考）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，；(2)定义域为，值域为 【解析】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 【方法总结】分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集. 题型十一 由分段函数的函数值求参数 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数，，则 . 【答案】 【详解】由题意得： 则有， 故答案为：. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设函数若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 3．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知函数，若，则的值是 . 【答案】 【详解】当，则，所以，此时无解， 当，则，由得，解得， 则. 故答案为： 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数若，则 ． 【答案】或 【详解】若，则，当且仅当时，等号成立； 若，则，当且仅当时，等号成立； 令，则，可得或． 当时，即，显然，因此； 当时，即，显然，因此， 综上所述：或． 故答案为：或. 5．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， ； （2）当时，，解得（舍）； 当时，，解得，又因，所以. 综上：实数. 【方法总结】已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法： 先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验. 题型十二 解分段函数不等式 1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，恒成立， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 2．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 当时，，解得或，所以. 当时，，解得，所以. 综上所述：不等式的解集为：. 故选：A 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【方法总结】在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法： 先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可. 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】B 【详解】令，则. 故选：B. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，且，则， 可得，所以． 故选：B． 4．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，的值域为．对于C，该函数的值域为． 6．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．任给，对应关系f使方程的解v与u对应，则是函数的一个充分条件是 B．函数与函数是同一个函数 C．满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的函数不存在 D．函数的定义域为，则的定义域为 【答案】ABD 【详解】对于A，根据函数的定义，对任意，由得，由函数的定义知在v的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则v的范围要包含，故A正确；对于B，，两函数的定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故B正确；对于C，如，两函数的值域均为，对应关系相同，但定义域不同，故C错误；对于D，因为函数的定义域为，所以，在中，令，所以，即，得，故的定义域为，故D正确． 9．（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】A：对于，定义域为，对于，定义域为，不是同一函数； B：根据解析式对应法则和定义域都相同，是同一函数； C：由，显然与的对应法则、定义域都相同，是同一函数； D：由的定义域为，而的定义域为R，不是同一函数. 故选：BC 10.（21-22高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 【答案】BC 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC 11．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 14．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 四、解答题 15．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，；(2)定义域为，值域为 【详解】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 16．（23-24高一上·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)；(2) 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【详解】（1）的图象如图所示， （2）的图象如图所示， 17.（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【答案】（1）；（2）；（3），值域为 【详解】解：（1）由函数， 所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得 因为， 因为，所以，解得， 所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为， 又单调递增，所以函数的值域为. 18．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数.求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或. （2），. （3），. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以或. 所以或. （2）设，则， 所以，. 所以，. （3）由    ① 用代替，得：    ② 得：即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 19．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)或；(3). 【详解】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的概念及其表示 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 函数的有关概念………………………………………………………………………2 知识点2 同一函数………………………………………………………………………………2 知识点3 区间……………………………………………………………………………………2 知识点4 函数的表示方法………………………………………………………………………3 知识点5 分段函数………………………………………………………………………………3 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 函数的定义 ……………………………………………………………………………3 题型二 求函数值 ………………………………………………………………………………4 题型三 区间的应用 ……………………………………………………………………………5 题型四 函数的定义域 …………………………………………………………………………6 题型五 函数的值域 ……………………………………………………………………………7 题型六 同一个函数的判定 ……………………………………………………………………8 题型七 函数的表示方法 ………………………………………………………………………8 题型八 求函数解析式…………………………………………………………………………10 方法1：换元法 方法2：配凑法 方法3：待定系数法 方法4：构造方程法 题型九 分段函数求值…………………………………………………………………………12 题型十 分段函数的定义域和值域……………………………………………………………13 题型十一 由分段函数的函数值求参数………………………………………………………14 题型十二 解分段函数不等式…………………………………………………………………14 四、强化训练 ………………………………………………………………………15 学习目标 1. 能在确定变量变化范围的基础上，理解函数的对应关系的本质，体会引入符号表示对应关系的必要性. 2. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 3. 能够正确使用区间表示数集； 4. 掌握判定函数与函数相等的方法（重点）； 5. 掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法并会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 6. 会画简单函数的图像并理解函数图象的作用（重点）. 7. 会求函数的解析式（重点、难点）. 8. 会用解析法和图象法表示分段函数. 10 . 给出分段函数，能研究有关性质（重点）. 9. 能用分段函数解决生活中的一些简单问题（难点）. 10. 会求一些简单函数的值域（难点）. 知识梳理 知识点1 函数的有关概念 概念 一般地，设A，B是两个非空的实数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：为定义于A取值于B的函数 三要素 对应关系 （，） 定义域 的取值范围 值域 所有函数值组成的集合 知识点2 同一函数 一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同， 对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点3 区间 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示             知识点4 函数的表示方法 (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 知识点5 分段函数 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的解析式的函数. 题型归纳 题型一 函数的定义 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【方法总结】⑴函数的概念中要求： ①两个集合都是非空实数集，并且在对应关系中，集合中的元素不能有剩余（即集合中的每一个元素在集合中都有与之对应的元素），集合中的元素可以有剩余； ②对应的形式为“一对一”（一个对应一个）或者“多对一”（多个对应一个），但不能是“一对多”（一个对应多个）. 只有满足了这两个特点的对应关系才是函数关系. ⑵因为集合中的元素可以有剩余，因此集合不一定是值域，事实上，值域是集合的子集. 题型二 求函数值 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，且，则（   ） A．3 B．-3 C．17 D．-17 5．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则（   ） A．1 B．4 C．9 D．100 题型三 区间的应用 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为 ． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)；(2)或；(3)且；(4). 【注意点】⑴区间左端点值小于右端点值. ⑵区间两端点之间用“，”隔开. ⑶含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. ⑷以“”“”为区间的一端时，这端必须用小括号. ⑻“”是一个符号，而不是一个数. 题型四 函数的定义域 1．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）函数的定义域为 ． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【方法总结】函数定义域的求法 ⑴求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变换； ⑵求函数定义域的基本原则： ①如果是整式，那么函数的定义域是实数集； ②如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； ③如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； ④如果是由几个式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合（即求各部分定义域的交集） ⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约. 题型五 函数的值域 1．（多选）（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则其值域为 ． 4．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 5．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域 ． 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【方法总结】求函数值域的五种方法： 观察法 对于一些比较简单的函数，其值域通过观察得到. 图象法 当所给函数可以画出其图象时，可画出其图象，根据图象得到函数的值域（注意函数的定义域）. 分离常数法 此方法主要针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 换元法 即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于（其中为常数，且）型的函数常用换元法. 题型六 同一个函数的判定 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 4．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 5．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下列函数相等的是（    ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【方法总结】如果两个函数的定义域和 对应关系相同，那么我们就称这两个函数是同一函数.如果两个函数仅对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是相同的函数. 题型七 函数的表示方法 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数表示为： x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 4．（多选）（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（   ） A． B．（） C． D．（） 5．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【重点归纳】列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示，在用三种方法表示函数时要注意： ⑴解析法必须注明函数的定义域； ⑵列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； ⑶图象法中要注意是否连续. 题型八 求函数解析式 方法1：代入法 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，则 . 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，则函数的解析式为： ． 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 方法2：换元法 1．（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 方法3：配凑法 1.（浙江G5联盟2024-2025学年高一上学期期中联考）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 方法3：待定系数法 1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 5．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 方法4：构造方程法 1.（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 3．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足，则 ， ． 5．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 题型九 分段函数求值 1．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则 ． 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知狄利克雷函数则 . 4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【方法总结】(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.对于含有多层“”的问题，要按照“ 由内到外”的顺序，逐层处理. (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解. 题型十 分段函数的定义域和值域 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 2．（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列求函数定义域正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．函数的定义域为 3.（湖南省衡阳市常宁市尚宇学校2023--2024学年高一上学期12月月考）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【方法总结】分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集. 题型十一 由分段函数的函数值求参数 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数，，则 . 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设函数若，则实数 ． 3．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知函数，若，则的值是 . 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数若，则 ． 5．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 【方法总结】已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法： 先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验. 题型十二 解分段函数不等式 1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法： 先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可. 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．任给，对应关系f使方程的解v与u对应，则是函数的一个充分条件是 B．函数与函数是同一个函数 C．满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的函数不存在 D．函数的定义域为，则的定义域为 9．（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10.（21-22高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 11．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 12．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数若，则 . 13．（24-25高一上·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 14．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 四、解答题 15．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 16．（23-24高一上·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)；(2) 17.（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 18．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数.求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 19．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$