第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（知识梳理+9大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 一元二次不等式的概念 ………………………………………………………………2 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系…………………………………2 知识点3 解一元二次不等式 ……………………………………………………………………2 知识点4 其它不等式 ……………………………………………………………………………3 知识点5 一元二次不等式恒成立 ………………………………………………………………3 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 解不含参的一元二次不等式 …………………………………………………………3 题型二 解含参的一元二次不等式 ……………………………………………………………5 题型三 由一元二次不等式的解求参数 ………………………………………………………9 题型四 一元二次不等式在实数集上恒成立 …………………………………………………7 题型五 一元二次不等式在某区间上恒成立 …………………………………………………12 题型六 一元二次不等式在某区间上有解……………………………………………………13 题型七 一元二次不等式的应用………………………………………………………………15 题型八 一元二次方程根的分布 ……………………………………………………………18 题型九 解分式不等式和绝对值不等式 ……………………………………………………21 四、强化训练 ………………………………………………………………………23 学习目标 1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系. 2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3. 借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知识梳理 知识点1 一元二次不等式的概念 定义 我们把只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ，，，，其中，a，b，c均为常数 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 知识点3 解一元二次不等式 ⑴化为基本形式或. ⑵计算，以确定一元二次方程是否有根. ⑶有根求根. ⑷根据图像写出不等式的解集. 知识点4 分式不等式 （1）； （2）且． 知识点5 一元二次不等式恒成立 对于一元二次不等式，它的解集为R的条件为. 一元二次不等式，它的解集为R的条件为， 一元二次不等式的解集为的条件为； 分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题， 即：恒成立；恒成立. 题型归纳 题型一 解不含参的一元二次不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1)或；(2)或；(3)；(4) (5)或 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： (1) (2). 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）∵方程有两个相等的实根. 作出函数的图象如图. 由图可得原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， ∵，∴方程无实根， ∴原不等式的解集为. 3．（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1)或；(2)；(3). 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 【方法总结】．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 题型二 解含参的一元二次不等式 1．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 3．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 4．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 5．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 6．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 7．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【方法总结】解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 题型三 由一元二次不等式的解求参数 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：，经检验符合条件， 故选：A 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 4．（多选）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 【方法总结】给出一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应的一元二次方程的根，利用根与系数的关系求参数. 题型四 一元二次不等式在实数集上恒成立 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式对一切实数恒成立， 则，则实数. 故选：B. 2．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 3．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 【方法总结】 （1），恒成立的充要条件是且． （2），恒成立的充要条件是且． （3），恒成立的充要条件是且． （4），恒成立的充要条件是且． 题型五 一元二次不等式在某区间上恒成立 1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 【方法总结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大（小）于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以利用分离参数，转化为二次函数的最值问题求解. 题型六 一元二次不等式在某区间上有解 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 3．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解，即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值； (2)若不等式有解，求的解集. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）不等式恒成立，则，解得， 所以. （2）不等式有解，则，解得， 不等式化为，当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【方法总结】分离参数，将有解问题转化为求最值问题， 即：有解；有解； 题型七 一元二次不等式的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某城市对一种售价为160元/件的电子产品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元）．若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．8% D．10% 【答案】A 【详解】根据题意得，化简整理得，解得，即的最大值为8． 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），即乙车超速 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏．若售价每提高1元，则日销售量减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，设每盏台灯售价为元，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每盏台灯售价为元，则，并且日销售收入为，当时，有，解得． 4．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18；(2)  ；(3) 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 【方法总结】与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等的最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答，步骤如下：⑴阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； ⑵将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型； ⑶解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； ⑷回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果. 题型八 一元二次方程根的分布 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1)；(2) 或 ；(3)；(4) (5)；(6)；(7) 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 2．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法总结】解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解. ⑴判别式的符号；⑵对称轴与所给区间的位置关系； ⑶区间端点处函数值的符号. 题型九 解分式不等式和绝对值不等式 1．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，所以，故， 故原不等式的解集为. 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由，显然，即，可得. 故选：B 3．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由. 故选：B 5．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 6．（2022·河南·模拟预测）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 【方法总结】分式不等式的解法 （1）； （2）且． 强化训练 一、单选题 1．（24-25高二下·天津东丽·期中）已知命题；，则是的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以，反之不成立， 所以是的必要而非充分条件. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】因， 解得：. 故选：C. 3．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足，解得：， 综上， 故选：D 6．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 7．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 8．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 二、多选题 10．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 13．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题设，在上恒成立，而， 所以. 故答案为： 四、解答题 14．（2010·河北秦皇岛·一模）已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意知，即， 解得. 所以所求不等式的解集为. （2）不等式的解集为，所以方程的两根为， 所以，解得， 故的值为，的值为. 15．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数（）． (1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)或；(2)答案见解析 【详解】（1）令，则有，得两点的横坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. （2）不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 16．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 一元二次不等式的概念 ………………………………………………………………2 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系…………………………………2 知识点3 解一元二次不等式 ……………………………………………………………………2 知识点4 其它不等式 ……………………………………………………………………………3 知识点5 一元二次不等式恒成立 ………………………………………………………………3 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 解不含参的一元二次不等式 …………………………………………………………3 题型二 解含参的一元二次不等式 ……………………………………………………………4 题型三 由一元二次不等式的解求参数 ………………………………………………………5 题型四 一元二次不等式在实数集上恒成立 …………………………………………………5 题型五 一元二次不等式在某区间上恒成立 …………………………………………………6 题型六 一元二次不等式在某区间上有解 ……………………………………………………6 题型七 一元二次不等式的应用 ………………………………………………………………7 题型八 一元二次方程根的分布 ………………………………………………………………8 题型九 解分式不等式和绝对值不等式 ………………………………………………………9 四、强化训练 ………………………………………………………………………10 学习目标 1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系. 2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3. 借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知识梳理 知识点1 一元二次不等式的概念 定义 我们把只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ，，，，其中，a，b，c均为常数 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 知识点3 解一元二次不等式 ⑴化为基本形式或. ⑵计算，以确定一元二次方程是否有根. ⑶有根求根. ⑷根据图像写出不等式的解集. 知识点4 分式不等式 （1）； （2）且． 知识点5 一元二次不等式恒成立 对于一元二次不等式，它的解集为R的条件为. 一元二次不等式，它的解集为R的条件为， 一元二次不等式的解集为的条件为； 分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题， 即：恒成立；恒成立. 题型归纳 题型一 解不含参的一元二次不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： (1) (2). 3．（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) 【方法总结】．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 题型二 解含参的一元二次不等式 1．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 6．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 7．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【方法总结】解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 题型三 由一元二次不等式的解求参数 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 4．（多选）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【方法总结】给出一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应的一元二次方程的根，利用根与系数的关系求参数. 题型四 一元二次不等式在实数集上恒成立 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 （1），恒成立的充要条件是且． （2），恒成立的充要条件是且． （3），恒成立的充要条件是且． （4），恒成立的充要条件是且． 题型五 一元二次不等式在某区间上恒成立 1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【方法总结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大（小）于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以利用分离参数，转化为二次函数的最值问题求解. 题型六 一元二次不等式在某区间上有解 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值； (2)若不等式有解，求的解集. 【方法总结】分离参数，将有解问题转化为求最值问题， 即：有解；有解； 题型七 一元二次不等式的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某城市对一种售价为160元/件的电子产品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元）．若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．8% D．10% 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏．若售价每提高1元，则日销售量减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，设每盏台灯售价为元，则应满足（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【方法总结】与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等的最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答，步骤如下：⑴阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； ⑵将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型； ⑶解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； ⑷回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果. 题型八 一元二次方程根的分布 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 2．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【方法总结】解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解. ⑴判别式的符号；⑵对称轴与所给区间的位置关系； ⑶区间端点处函数值的符号. 题型九 解分式不等式和绝对值不等式 1．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 4．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·河南·模拟预测）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】分式不等式的解法 （1）； （2）且． 强化训练 一、单选题 1．（24-25高二下·天津东丽·期中）已知命题；，则是的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 二、多选题 10．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 11．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 13．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 14．（2010·河北秦皇岛·一模）已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解集为，求实数的值. 15．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数（）． (1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 16．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$