第07讲 基本不等式（知识梳理+9大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第07讲 基本不等式 目录: 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 基本不等式 ……………………………………………………………………………1 知识点2 几个重要的不等式 ……………………………………………………………………2 知识点3 基本不等式求最值 ……………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 利用基本不等式比较大小 ……………………………………………………………2 题型二 利用基本不等式求和的最小值 ………………………………………………………4 题型三 利用基本不等式求积的最大值 ………………………………………………………7 题型四 二次或二次商式的最值………………………………………………………………10 题型五 基本不等式“1”的妙用求最值 ……………………………………………………12 题型六 条件等式求最值 ……………………………………………………………………17 题型七 基本不等式恒成立问题………………………………………………………………20 题型八 利用基本不等式证明不等式 …………………………………………………………23 题型九 基本不等式的实际应用………………………………………………………………24 四、强化训练 ………………………………………………………………………25 学习目标 1. 掌握基本不等式(,当且仅当时取等号). 2. 结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 知识梳理 知识点1 基本不等式 如果,那么(当且仅当时取“=”). 说明: ①对于非负数,我们把称为的算术平均数,称为的几何平均数. ②我们把不等式称为基本不等式,我们也可以把基本不等式表述为:两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是:一方面是当时,有;另一方面当时,有. ④ 结构特点:和式与积式的关系. 知识点2 几个重要的不等式 (1)(); (2)(); (3) 2(); (4)或(); (5) 知识点3 基本不等式求最值 ①已知,是正数,如果积等于定值,那么当且仅当时,和有最小值; ②已知,是正数,如果和等于定值,那么当且仅当时,积有最大值. 题型归纳 题型一 利用基本不等式比较大小 1.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,设,,则与的大小关系是( ) A. B. C. D.不确定 【答案】A 【详解】,当且仅当时,等号成立,故. 2.(23-24高一上 江苏无锡 阶段练习)设,则下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由,得,则, 又,则,所以. 故选:B 3.(多选)(24-25高一上 四川眉山 期末)设,则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【详解】由,则,故, 综上,有,B对,A、C、D错. 故选:ACD 4.(24-25高一上 上海 课堂例题)若,,则、、、中最大的一个是 . 【答案】 【详解】,,由基本不等式得;; 又因为,, 所以, 故, 所以最大的一个是 故答案为: 5.(23-24高一上 河北 阶段练习)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.(填“大于”“小于”“等于”“不确定”) 附:依据力矩平衡原理,天平平衡时有,其中,分别为左右盘中物体质量,,分别为左右横梁臂长. 【答案】大于 【详解】由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为,右臂长为,则, 再设先称得黄金为,后称得黄金为,则,, ,, ,当且仅当,即时等号成立, 但,等号不成立,即. 因此,顾客购得的黄金大于. 故答案为:大于 【方法总结】在利用基本不等式比较大小时,有时需合理拆项或配凑,在拆项与配凑的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件有时也可以带特值比较. 题型二 利用基本不等式求和的最小值 1.(2025高二下 湖南郴州 学业考试)已知,则的最大值为( ) A. B.0 C.4 D. 【答案】D 【详解】因为,则,所以, , 当且仅当时,即时,等号成立, 所以的最大值为. 故选:D 2.(25-26高一上 全国 课后作业)若,则的最小值是( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】C 【详解】依题意有,当且仅当时取等号. 3.(25-26高一上 全国 课后作业)若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】当时,,当且仅当,即时取等号;当时,,当且仅当,即时取等号.故当时,的取值范围是. 4.(24-25高一上 广东清远 期末)已知实数,且,则的最小值为( ) A.16 B.18 C.22 D.26 【答案】C 【详解】因为,所以, 因为, 当且仅当,即时等号成立,此时的最小值为22. 故选:C 5.(24-25高一上 福建福州 阶段练习)若,,且,则的最小值为( ) A. B. C.4 D.5 【答案】B 【详解】因为,,且,则, ,同理, 则, 当且仅当时,的最小值为. 故选:B. 6.(多选)(24-25高一上 江苏 阶段练习)下列各式中,最小值是6的有( ) A. B. C. D. 【答案】BD 【详解】对于选项A,由于可能为负,所以的最小值不是6,A错误; 对于B,因为, 所以, 当且仅当时等号成立,故B正确; 对于C,,当异号时其最小值应小于4,故C错误; 对于D,因为, 所以, 当且仅当时等号成立,故D正确. 故选:BD 7.(25-26高一上 全国 课后作业)已知函数,则当 时,取最小值为 . 【答案】4 ;5 【详解】因为,所以,所以,当且仅当,即,时,等号成立. 8.(24-25高一下 湖南湘潭 期中)已知,则的最小值为 . 【答案】3 【详解】由于,所以,故, 当且仅当,即时等号成立. 故答案为:3 9.(24-25高一上 河南新乡 期末)已知,,且,则的最小值是 . 【答案】4 【详解】因为,则,所以, 所以. 因为,,所以, 当且仅当,即时,等号成立, 则的最小值是4. 故答案为:4. 【方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值的形式. 2、注意验证取得条件. 题型三 利用基本不等式求积的最大值 1.(24-25高一上 青海西宁 阶段练习)已知,,且,则的最大值为( ) A. B. C.1 D. 【答案】A 【详解】因为,, 根据基本不等式可得,所以. 当时,取最大值. 故选:A. 2.(24-25高一上 吉林四平 期末)若正数满足:,则当取最大值时的值为( ) A. B. C.1 D. 【答案】C 【详解】根据基本不等式,解得,所以,所以, 当且仅当时等号成立,此时的值为1. 故选:C 3.(2025高三 全国 专题练习)已知,求的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为,所以, 所以, 当且仅当,即时等号成立, 因此取到最大值. 故选:B. 4.(24-25高一下 吉林长春 开学考试)已知 ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为,所以, , 当且仅当时取等号, 所以最大值为. 故选:A 5.(24-25高三上 江西萍乡 期中)已知正数满足,则的最小值为 . 【答案】12 【详解】因为,所以, 当且仅当,即,时等号成立,所以的最小值为12. 故答案为:12. 6.(24-25高一下 河南焦作 阶段练习)已知,,且,则的最大值为 . 【答案】8 【详解】因为,,且,所以,故, 当且仅当等号成立,所以的最大值为8. 故答案为:8 7.(24-25高一上 吉林通化 阶段练习)(1)已知,, 求的最小值; (2)已知,求的最大值; 【答案】(1)4;(2)(2)由基本不等式即可求解. 【详解】(1)因为,所以, 所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为; (2)因为,所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最大值为. 8.(23-24高一上 甘肃白银 期中)(1)已知,求的最大值; (2)已知正实数满足,求的最大值. 【答案】(1);(2) 【详解】(1)因为,所以,所以, 当且仅当,即时等号成立. 因此,当时,取到最大值. (2)由,解得, 当且仅当时,取等号. 所以的最大值为10. 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成积为定值的形式. 2、注意验证取得条件. 题型四 二次或二次商式的最值 1.(24-25高一上 广东江门 期末)若,则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 , 所以 , 当且仅当 ,即 时取等号, 故答案为: 2.(24-25高一上 上海 开学考试)若,则的最小值为 . 【答案】4 【详解】当时,, 则, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为4. 故答案为:4 3.(22-23高一上 上海浦东新 期中)函数的值域是 . 【答案】 【详解】当时, 当,. 若时,,当且仅当,即时等号成立,此时 ,即. 若时,,当且仅当,即时等号成立,此时,即. 综上所述,函数的值域为. 故答案为: 4.(22-23高三上 福建泉州 期中)函数在上的最大值为 . 【答案】 【分析】令,则,则,利用基本不等式计算可得. 【详解】解:因为,,令,则, 则, 当且仅当,即时,等号成立. 故的最大值为. 故答案为: 5.(24-25高一上 福建泉州 阶段练习)解决下列问题: (1)求函数的最小值; (2)求函数的最小值; 【答案】(1)3;(2)10. 【详解】(1) ∵, ∴(当且仅当,即时取等号) ∴的最小值为3; (2)令,则, ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 题型五 基本不等式“1”的妙用求最值 1.(24-25高二下 重庆九龙坡 阶段练习)已知,,,则的最小值为( ) A.9 B. C.4 D.6 【答案】B 【详解】因为, 所以, 当且仅当,且,即时等号成立, 故的最小值为, 故选:B 2.(24-25高一下 贵州遵义 期中)已知,且,则的最小值是( ) A.6 B.12 C. D.27 【答案】C 【详解】由,,得 ,当且仅当,即时取等号, 所以的最小值是. 故选:C 3.(24-25高一上 甘肃甘南 期末)已知,,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为,,所以, 当且仅当,即,时等号成立, 所以的最小值为. 故选:D 4.(24-25高二下 浙江 期中)已知,,且,则的最小值为( ) A.12 B.9 C.8 D.6 【答案】C 【详解】因为,,,所以, 所以, 当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为8. 故选:C 5.(24-25高一下 辽宁朝阳 阶段练习)已知正数x,y满足,则的最小值为( ) A.36 B.24 C.18 D.12 【答案】B 【详解】因,, 则, 当且仅当,即,时,等号成立. 故选:B 6.(24-25高一下 江苏南京 阶段练习)已知正实数满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 , 当且仅当时等号成立. 故选:B 7.(24-25高一上 安徽合肥 期末)已知,且,,则的最小值是( ) A.1 B.2 C. D. 【答案】A 【详解】,, 当且仅当,即时取等号. 故选:A. 8.(24-25高一上 河南漯河 阶段练习)已知实数,,满足,则的最小值是( ) A. B. C.1 D.2 【答案】C 【详解】实数,,满足,故, 即, 故 , 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为1. 故选:C 9.(2025 四川眉山 模拟预测)已知,,则的最小值是 . 【答案】9 【详解】因为,, 故, 当且仅当,结合,即时等号成立, 所以,即的最小值为, 故答案为:. 10.(24-25高一上 浙江杭州 期中)若两个正实数,满足,则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正实数,满足,所以, 所以, 当且仅当,即,时取等号. 故答案为: 11.(24-25高二下 江苏南京 阶段练习)已知,,且,则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为,且, 所以, 所以 , 当且仅当, 即,时,等号成立,所以的最小值为 故答案为:1 12.(24-25高一下 河北保定 期中)已知x,y都是正数.若,且,则的最小值为 . 【答案】2 【详解】由,得,而, 则 ,当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为2. 故答案为:2 13.(24-25高一下 河北保定 阶段练习)已知,,且,则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为,所以, 又因为 , 所以 , 当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为. 故答案为: 【方法总结】 “1”的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形. 1、根据条件,凑出“1”,利用乘“1”法. 2、注意验证取得条件. 题型六 条件等式求最值 1.(24-25高一上 山东 阶段练习)已知正实数,满足,则的最小值为( ) A.2 B.4 C. D.6 【答案】B 【方法】将条件等式通过基本不等式转化为关于的一元二次不等式的形式 【详解】因为,所以, 所以,所以,且, 所以或(舍去),当且仅当时取等号, 所以的最小值为, 故选:B. 2.(24-25高一上 辽宁沈阳 期末)已知正实数、满足,则的最大值为( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【方法】根据已知条件结合基本不等式建立不等式. 【详解】∵ ∴, ∴,即,当且仅当时取等号, 故选:B 3.(24-25高一下 辽宁抚顺 开学考试)已知正数x,y满足,则的最大值为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】A 【方法】利用不等式. 【详解】因为,所以, 当且仅当时,等号成立,即的最大值为8. 故选:A. 4.(24-25高二下 福建泉州 阶段练习)已知且,则的最小值为( ). A. B. C.2 D.4 【答案】B 【方法】(消元代入法)由已知等式得到. 【详解】已知,且,,其中, , 当且仅当时取等号. 故选:B 5.(24-25高一上 云南玉溪 期中)若正数a,b满足,则的最小值是( ) A.15 B.18 C.24 D.36 【答案】B 【方法】(消元代入法)由条件得. 【详解】由,得,则, ∴, 当且仅当,即时等号成立. ∴的最小值是18. 故选:B 6.(24-25高一上 江苏无锡 期末)已知正数满足,则的最大值为( ) A. B.1 C. D. 【答案】A 【方法】利用基本不等式. 【详解】原式,当且仅当,即时,等号成立,取得最大值. 故选:A 7.(24-25高一上 上海 期末)已知实数满足,则的最小值为 . 【答案】 【方法】将目标式配凑为. 【详解】由可得,当且仅当时取得等号; ,当且仅当时取得等号; 故的最小值为. 故答案为:. 8.(2024高三 全国 专题练习)设x、y为实数,若,则的最大值是 . 【答案】/ 【方法】方法一:消元法:令,则,代入,整理得,转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二:基本不等式法:关键是将式子变形为,再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一:令,则,代入,整理得,其, 解得,当时,. 故的最大值是. 方法二:由 ,即, 当时,. 故的最大值是. 故答案为: 题型七 基本不等式恒成立问题 1.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,,且.若不等式恒成立,则的最大值为 . 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立,只需要.因为,,所以,当且仅当,即时,等号成立.所以的最小值为6,即,故的最大值为6. 2.(24-25高二下 吉林白城 阶段练习)已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设 ,,则 ,且 ,, , 当且仅当时,即时取等;, . 故答案为:. 3.(25-26高一上 全国 课后作业)设,不等式恒成立,则a的最小值是( ) A. B.1 C.2 D. 【答案】D 【详解】因为恒成立,所以恒成立,即恒成立.又,当且仅当时,等号成立,所以,即. 4.(24-25高一下 安徽马鞍山 开学考试)已知不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.65 【详解】不等式恒成,即, , 当且仅当,即时等号成立,故. 故选:. 5.(24-25高一下 湖南 开学考试)已知,且恒成立,则的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】因为,则,又恒成立, 即恒成立, 又, 当且仅当,即时取等号,所以, 故选:B. 6.(24-25高一上 山东聊城 期末)已知,若恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】利用恒成立等价条件转化,再利用不等式即可求得结果 【详解】因为,所以恒成立等价于恒成立, 又,当且仅当时取等号, 故. 故选:A 题型八 利用基本不等式证明不等式 1.(23-24高一上 四川成都 期中)已知. (1)求证:; (2)若,求证:. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【详解】(1)因为, 所以; (2)因为, 所以 , 当且仅当,即,时等号成立. 2.(24-25高一上 湖南益阳 期末)(1)已知,求函数的最小值; (2)若,, 证明: . 【答案】(1)4;(2)证明见解析 【详解】(1),, 则. 当且仅当,即时等号成立. 所以函数的最小值为. (2),,, 即,当且仅当时等号成立. 3.(24-25高一上 广东广州 阶段练习)已知,求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【详解】(1), , 当且仅当,即时等号成立. (2), , 当且仅当时,即时等号成立. 【方法总结】利用基本不等式证明不等式的注意事项 ⑴利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和式”或“积式”,通过将“和式”转化为“积式”,将“积式”转化为“和式”,从而达到放缩的目的. ⑵注意多次运用基本不等式时等号能否成立. 题型九 基本不等式的实际应用 1.(25-26高一上 全国 课后作业)某产品的产量第一年的增长率为,第二年的增长率为.设这两年的年平均增长率为,则与的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】,所以,所以,当且仅当时,等号成立. 2.(25-26高一上 全国 课后作业)建造一个容积为,深为的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元,那么水池的最低总造价为( ) A.1000元 B.2000元 C.2720元 D.4720元 【答案】B 【详解】由题意,设水池底面一边长为,则另一边长为,总造价,当且仅当,即时,等号成立. 3.(24-25高一下 云南昆明 期中)我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话,商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值为( ) A.12 B. C. D.15 【答案】B 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5,设两直角边分别为a、b,则, 又因为, 所以,当且仅当时取“=”, 故三角形周长的最大值为. 故选:B. 【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤: ⑴认真审题,恰当选择变量(或),并求其取值范围; ⑵用或表示要求最大(小)值的量; ⑶利用基本不等式,求出的最大(小)值; ⑷回到实际问题中去,写出实际问题的答案. 强化训练 1、 单选题 1.(25-26高一上 全国 课后作业)下列说法正确的是( ) A.的最小值为2 B.的最大值为 C.的最小值为2 D.的最小值为2 【答案】C 【详解】当时,,当且仅当,即时,等号成立;当时,,当且仅当,即时,等号成立.故A,B错误.对任意,,当且仅当,即时,也即时,等号成立,所以的最小值为2,故C正确.,当且仅当,即时,等号成立,但是,等号不成立,故D错误. 2.(24-25高二下 北京 期中)若函数在处取最小值,则( ) A.1 B.2 C.4 D.2或4 【答案】B 【详解】因为,所以, 所以, 当且仅当,即时取等号, 所以,解得. 故选:B 3.(23-24高一上 陕西西安 期中)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一顾客到店购买黄金,售货员先将砝码放在天平左盘中,取出黄金放在右盘中使天平平衡;再将砝码放在天平右盘中,再取出黄金放在左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( ) A.小于 B.等于 C.大于 D.与左右臂的长度有关 【答案】C 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x,y, 设售货员第一次称得黄金的质量为a克,第二次称得黄金的质量为b克, 则,解之得, 则顾客购得的黄金为(克), (当且仅当时等号成立), 由题意知,,则克. 故选:C 4.(24-25高一下 安徽马鞍山 开学考试)已知均为正实数,且,则的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】解:均为正实数,且, 所以, 当且仅当,即,时取等号, 则的最小值为 故选:C 5.(25-26高一上 全国 课后作业)已知正数m,n满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为,当且仅当,时等号成立,所以. 6.(24-25高一下 山西太原 开学考试)已知,则的最小值为( ) A. B.6 C. D. 【答案】D 【详解】 , 当且仅当时等号成立. 故选:D 7.(24-25高一下 浙江衢州 期末)已知实数,则的最小值为( ) A. B. C.0 D. 【答案】B 【详解】,,则, , 当且仅当时,等号成立, 所以的最小值为. 故选:B. 8.(24-25高一下 浙江 阶段练习)若正实数满足,则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由, 又因为,所以, 即得, 所以当且仅当时取等号, 所以,所以的最大值是 故选:B. 二、多选题 9.(2025高一上 全国 专题练习)下列选项正确的是( ) A.若,则的最小值是2 B.若,则的最小值为 C.若,则的最大值为 D.若正实数满足,则的最小值为8 【答案】CD 【详解】令,则,所以又,当且仅当,即时取等号,而不满足错误;因为,当且公当,即时取等号,故的最大值为错误;若,则,当且仅当,即时取等号,此时取得最大值,C正确;因为正实数满足,所以,当且仅当且,即时取等号,此时的最小值为8,D正确. 故选:CD. 10.(24-25高一上 浙江杭州 期中)已知,为正数,且,则( ) A.的最小值为 B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最小值为3 【答案】BC 【详解】对于A:由,则, 当且仅当时等号成立,所以的最大值为,故A错误; 对于B:因为,,且, 所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为,故B正确; 对于C:由, 当且仅当时等号成立,所以的最小值为,故C正确; 对于D:, 当且仅当,即,时取等号,故D错误. 故选:BC 11.(24-25高一上 四川达州 期末)已知a,b为正实数,,则下列叙述正确的是( ) A.的最小值为8 B.的最小值为12 C.的最小值为 D.的最小值为20 【答案】AC 【详解】对于A,因为a,b为正实数,所以, 解得,当且仅当,即时,取到最小值8,故A正确; 对于B,由得, 所以, 当且仅当即时,取到最小值,故B错误; 对于C,因为a,b为正实数,,所以, 所以,,所以, 当且仅当即时,取到最小值,故C正确; 对于D,当时,成立,此时,故D错误. 故选:AC 三、填空题 12.(25-26高一上 全国 课后作业)函数的最小值为 ,此时x的值为 . 【答案】 ; 【详解】由知,所以,当且仅当,即时取等号. 方法总结 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换等. 13.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,且,则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为,所以,则,当且仅当,即时,取等号. 14.(24-25高二下 浙江 阶段练习)已知,则的最小值为 . 【答案】 【详解】由,则 , 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为. 故答案为: 四、解答题 15.(24-25高一上 四川眉山 期中)求最值: (1)已知,且满足,求的最小值; (2)已知,求的最大值; (3)已知,且满足,求的最小值. 【答案】(1);(2);(3) 【详解】(1)因为,且,所以, 当且仅当,即时取等号, 所以当时,有最小值,最小值为; (2)因为,则,所以, 当且仅当,即时取等号, 所以, 所以当时,有最大值,最大值为; (3)因为,所以, 因为,所以, 当且仅当,即,即时取等号, 故当时,有最小值,最小值为. 16.(24-25高一上 黑龙江佳木斯 期末)已知正数,满足. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 【答案】(1)36.;(2). 【详解】(1)由得,当且仅当,即,时取等号, 故的最小值为36. (2)由题意可得, 当且仅当,即时取等号, 故的最小值为. 17.(24-25高一上 江苏苏州 期末)已知、均为正实数,. (1)若,求的最小值: (2)若,求的最小值. 【答案】(1);(2) 【详解】(1)当时,,则. 因为、均为正实数, 所以, 当且仅当时,即当,时取等号, 所以的最小值为. (2)当时,,可得,则, 所以,因为,,所以,进而得, 所以,. 所以, 当且仅当时,即当,时取等号, 所以的最小值为. 18.(23-24高一上 四川绵阳 阶段练习)已知函数 (1)当,求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时,,使得,求实数的取值范围 【答案】(1);(2)答案见解析;(3) 【详解】(1)当时, 所以 (2) ,得,时,对应方程的两根为 当或时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 综上:当或时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 (3)当,的对称轴方程为, 由图可知,的值域为; 当时,的值域为; 又因,使得,则, 所以,得,又,所以 学科网(北京)股份有限公司 $$第07讲 基本不等式 目录: 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 基本不等式 ……………………………………………………………………………1 知识点2 几个重要的不等式 ……………………………………………………………………2 知识点3 基本不等式求最值 ……………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 利用基本不等式比较大小 ……………………………………………………………2 题型二 利用基本不等式求和的最小值 ………………………………………………………3 题型三 利用基本不等式求积的最大值 ………………………………………………………4 题型四 二次或二次商式的最值 ………………………………………………………………5 题型五 基本不等式“1”的妙用求最值 ……………………………………………………5 题型六 条件等式求最值 ………………………………………………………………………7 题型七 基本不等式恒成立问题 ………………………………………………………………7 题型八 利用基本不等式证明不等式 …………………………………………………………8 题型九 基本不等式的实际应用 ………………………………………………………………8 四、强化训练 ………………………………………………………………………9 学习目标 1. 掌握基本不等式(,当且仅当时取等号). 2. 结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 知识梳理 知识点1 基本不等式 如果,那么(当且仅当时取“=”). 说明: ①对于非负数,我们把称为的算术平均数,称为的几何平均数. ②我们把不等式称为基本不等式,我们也可以把基本不等式表述为:两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是:一方面是当时,有;另一方面当时,有. ④ 结构特点:和式与积式的关系. 知识点2 几个重要的不等式 (1)(); (2)(); (3) 2(); (4)或(); (5) 知识点3 基本不等式求最值 ①已知,是正数,如果积等于定值,那么当且仅当时,和有最小值; ②已知,是正数,如果和等于定值,那么当且仅当时,积有最大值. 题型归纳 题型一 利用基本不等式比较大小 1.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,设,,则与的大小关系是( ) A. B. C. D.不确定 2.(23-24高一上 江苏无锡 阶段练习)设,则下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 3.(多选)(24-25高一上 四川眉山 期末)设,则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 4.(24-25高一上 上海 课堂例题)若,,则、、、中最大的一个是 . 5.(23-24高一上 河北 阶段练习)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.(填“大于”“小于”“等于”“不确定”) 附:依据力矩平衡原理,天平平衡时有,其中,分别为左右盘中物体质量,,分别为左右横梁臂长. 【方法总结】在利用基本不等式比较大小时,有时需合理拆项或配凑,在拆项与配凑的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件有时也可以带特值比较. 题型二 利用基本不等式求和的最小值 1.(2025高二下 湖南郴州 学业考试)已知,则的最大值为( ) A. B.0 C.4 D. 2.(25-26高一上 全国 课后作业)若,则的最小值是( ) A.3 B.6 C.9 D.12 3.(25-26高一上 全国 课后作业)若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.(24-25高一上 广东清远 期末)已知实数,且,则的最小值为( ) A.16 B.18 C.22 D.26 5.(24-25高一上 福建福州 阶段练习)若,,且,则的最小值为( ) A. B. C.4 D.5 6.(多选)(24-25高一上 江苏 阶段练习)下列各式中,最小值是6的有( ) A. B. C. D. 7.(25-26高一上 全国 课后作业)已知函数,则当 时,取最小值为 . 8.(24-25高一下 湖南湘潭 期中)已知,则的最小值为 . 9.(24-25高一上 河南新乡 期末)已知,,且,则的最小值是 . 【方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值的形式. 2、注意验证取得条件. 题型三 利用基本不等式求积的最大值 1.(24-25高一上 青海西宁 阶段练习)已知,,且,则的最大值为( ) A. B. C.1 D. 2.(24-25高一上 吉林四平 期末)若正数满足:,则当取最大值时的值为( ) A. B. C.1 D. 3.(2025高三 全国 专题练习)已知,求的最大值为( ) A. B. C. D. 4.(24-25高一下 吉林长春 开学考试)已知 ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 5.(24-25高三上 江西萍乡 期中)已知正数满足,则的最小值为 . 6.(24-25高一下 河南焦作 阶段练习)已知,,且,则的最大值为 . 7.(24-25高一上 吉林通化 阶段练习)(1)已知,, 求的最小值; (2)已知,求的最大值; 8.(23-24高一上 甘肃白银 期中)(1)已知,求的最大值; (2)已知正实数满足,求的最大值. 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成积为定值的形式. 2、注意验证取得条件. 题型四 二次或二次商式的最值 1.(24-25高一上 广东江门 期末)若,则的最小值是 . 2.(24-25高一上 上海 开学考试)若,则的最小值为 . 3.(22-23高一上 上海浦东新 期中)函数的值域是 . 4.(22-23高三上 福建泉州 期中)函数在上的最大值为 . 5.(24-25高一上 福建泉州 阶段练习)解决下列问题: (1)求函数的最小值; (2)求函数的最小值; 题型五 基本不等式“1”的妙用求最值 1.(24-25高二下 重庆九龙坡 阶段练习)已知,,,则的最小值为( ) A.9 B. C.4 D.6 2.(24-25高一下 贵州遵义 期中)已知,且,则的最小值是( ) A.6 B.12 C. D.27 3.(24-25高一上 甘肃甘南 期末)已知,,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 4.(24-25高二下 浙江 期中)已知,,且,则的最小值为( ) A.12 B.9 C.8 D.6 5.(24-25高一下 辽宁朝阳 阶段练习)已知正数x,y满足,则的最小值为( ) A.36 B.24 C.18 D.12 6.(24-25高一下 江苏南京 阶段练习)已知正实数满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.(24-25高一上 安徽合肥 期末)已知,且,,则的最小值是( ) A.1 B.2 C. D. 8.(24-25高一上 河南漯河 阶段练习)已知实数,,满足,则的最小值是( ) A. B. C.1 D.2 9.(2025 四川眉山 模拟预测)已知,,则的最小值是 . 10.(24-25高一上 浙江杭州 期中)若两个正实数,满足,则的最小值为 . 11.(24-25高二下 江苏南京 阶段练习)已知,,且,则的最小值为 . 12.(24-25高一下 河北保定 期中)已知x,y都是正数.若,且,则的最小值为 . 13.(24-25高一下 河北保定 阶段练习)已知,,且,则的最小值为 . 【方法总结】 “1”的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形. 1、根据条件,凑出“1”,利用乘“1”法. 2、注意验证取得条件. 题型六 条件等式求最值 1.(24-25高一上 山东 阶段练习)已知正实数,满足,则的最小值为( ) A.2 B.4 C. D.6 2.(24-25高一上 辽宁沈阳 期末)已知正实数、满足,则的最大值为( ) A. B. C. D.2 3.(24-25高一下 辽宁抚顺 开学考试)已知正数x,y满足,则的最大值为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 4.(24-25高二下 福建泉州 阶段练习)已知且,则的最小值为( ). A. B. C.2 D.4 5.(24-25高一上 云南玉溪 期中)若正数a,b满足,则的最小值是( ) A.15 B.18 C.24 D.36 6.(24-25高一上 江苏无锡 期末)已知正数满足,则的最大值为( ) A. B.1 C. D. 7.(24-25高一上 上海 期末)已知实数满足,则的最小值为 . 8.(2024高三 全国 专题练习)设x、y为实数,若,则的最大值是 . 题型七 基本不等式恒成立问题 1.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,,且.若不等式恒成立,则的最大值为 . 2.(24-25高二下 吉林白城 阶段练习)已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是 . 3.(25-26高一上 全国 课后作业)设,不等式恒成立,则a的最小值是( ) A. B.1 C.2 D. 4.(24-25高一下 安徽马鞍山 开学考试)已知不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.(24-25高一下 湖南 开学考试)已知,且恒成立,则的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.(24-25高一上 山东聊城 期末)已知,若恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 题型八 利用基本不等式证明不等式 1.(23-24高一上 四川成都 期中)已知. (1)求证:; (2)若,求证:. 2.(24-25高一上 湖南益阳 期末)(1)已知,求函数的最小值; (2)若,, 证明: . 3.(24-25高一上 广东广州 阶段练习)已知,求证: (1); (2). 【方法总结】利用基本不等式证明不等式的注意事项 ⑴利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和式”或“积式”,通过将“和式”转化为“积式”,将“积式”转化为“和式”,从而达到放缩的目的. ⑵注意多次运用基本不等式时等号能否成立. 题型九 基本不等式的实际应用 1.(25-26高一上 全国 课后作业)某产品的产量第一年的增长率为,第二年的增长率为.设这两年的年平均增长率为,则与的大小关系是( ) A. B. C. D. 2.(25-26高一上 全国 课后作业)建造一个容积为,深为的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元,那么水池的最低总造价为( ) A.1000元 B.2000元 C.2720元 D.4720元 3.(24-25高一下 云南昆明 期中)我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话,商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值为( ) A.12 B. C. D.15 【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤: ⑴认真审题,恰当选择变量(或),并求其取值范围; ⑵用或表示要求最大(小)值的量; ⑶利用基本不等式,求出的最大(小)值; ⑷回到实际问题中去,写出实际问题的答案. 强化训练 1、 单选题 1.(25-26高一上 全国 课后作业)下列说法正确的是( ) A.的最小值为2 B.的最大值为 C.的最小值为2 D.的最小值为2 2.(24-25高二下 北京 期中)若函数在处取最小值,则( ) A.1 B.2 C.4 D.2或4 3.(23-24高一上 陕西西安 期中)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一顾客到店购买黄金,售货员先将砝码放在天平左盘中,取出黄金放在右盘中使天平平衡;再将砝码放在天平右盘中,再取出黄金放在左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( ) A.小于 B.等于 C.大于 D.与左右臂的长度有关 4.(24-25高一下 安徽马鞍山 开学考试)已知均为正实数,且,则的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.(25-26高一上 全国 课后作业)已知正数m,n满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.(24-25高一下 山西太原 开学考试)已知,则的最小值为( ) A. B.6 C. D. 7.(24-25高一下 浙江衢州 期末)已知实数,则的最小值为( ) A. B. C.0 D. 8.(24-25高一下 浙江 阶段练习)若正实数满足,则的最大值是( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.(2025高一上 全国 专题练习)下列选项正确的是( ) A.若,则的最小值是2 B.若,则的最小值为 C.若,则的最大值为 D.若正实数满足,则的最小值为8 10.(24-25高一上 浙江杭州 期中)已知,为正数,且,则( ) A.的最小值为 B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最小值为3 11.(24-25高一上 四川达州 期末)已知a,b为正实数,,则下列叙述正确的是( ) A.的最小值为8 B.的最小值为12 C.的最小值为 D.的最小值为20 三、填空题 12.(25-26高一上 全国 课后作业)函数的最小值为 ,此时x的值为 . 13.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,且,则的最小值是 . 14.(24-25高二下 浙江 阶段练习)已知,则的最小值为 . 四、解答题 15.(24-25高一上 四川眉山 期中)求最值: (1)已知,且满足,求的最小值; (2)已知,求的最大值; (3)已知,且满足,求的最小值. 16.(24-25高一上 黑龙江佳木斯 期末)已知正数,满足. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 17.(24-25高一上 江苏苏州 期末)已知、均为正实数,. (1)若,求的最小值: (2)若,求的最小值. 18.(23-24高一上 四川绵阳 阶段练习)已知函数 (1)当,求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时,,使得,求实数的取值范围 学科网(北京)股份有限公司 $$