第二章 2.1 函数概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§２　函数 ２．１　函数概念 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语 言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念 ２．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 ３．了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义 域和值域 １．通过对函数概念的理解, 提升数学抽象素养 ２．通 过 求 简 单 函 数 的 定 义 域,提升数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　一枚炮弹发射后,经过２６s落在地面击中目 标,炮弹的射高为８４５m,且炮弹距地面的高度为 h(单位:m),随时间t(单位:s)变化的规律是h＝ １３０t－５t２． (１)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A 是 什么? (２)炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是 什么? (３)对任一时刻t,高度h是否唯一确定? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函数的定义:设A、B 是　　　　　　,如果 按照某种　　　　对应关系f,使对于集合A 中的　　　　一个数x,在集合 B 中都有 　　　　确定的数f(x)和它对应,那么就 称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函 数,记作　　　　　　． ２．函数的定义域:函数y＝f(x)中,x是自变 量,　　　　叫做函数的定义域． ３．函数的值域:函数y＝f(x)中,与x的值相 对应的y 值叫做函数值,　　　　　　　　 叫做 函 数 的 值 域．显 然,值 域 是 集 合 B 的　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．对于函数f:A→B,值域一定是集 合B 吗? 为什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．对应关系f必须是一个解析式的形式吗? 为什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f 与 x 的乘积”,这种看法对吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．f(x)与f(a)有何区别与联系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　函数三要素及函数相等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函 数 三 要 素:　 　 　 　、　 　 　 　 　 　 和　　　　． ２．函数相等:由于函数的值域是由　　　　　　 和　　　　　　确定的,如果两个函数的　　 　　　　相同,并且　　　　　　完全一致, 就称这两个函数相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．函数有定义域、对应关系和值域三 要素,为什么判断两个函数是否是同一个 函数,只看定义域和对应关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个 函数吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．下图中能表示函数关系的是　　　(填序号)． ２．函数f(x)＝ １ ４－x 的定义域是　　　　． ３．给出下列三组函数,其中表示同一个函数的是 　　　(填序号)． ①f(x)＝x,g(x)＝x ２ x ; ②f(x)＝２x＋１,g(x)＝２x－１; ③f(x)＝x,g(x)＝ ３ x３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　函数概念的理解 [例１]下列对应关系是否为A 到B 的函数? (１)A＝R,B＝{x|x≥０},f:x→y＝|x|; (２)A＝R,B＝R,f:x→y＝１x ; (３)A＝R,B＝Z,f:x→y＝ x; (４)A＝[－２,２],B＝{１},f:x→y＝１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　依据函数的概念判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断对应关系是否为函数的２个条件 (１)A,B 必须是非空数集． (２)A 中任意一元素在B 中有且只有一个 元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是 函数关系,“一对多”的不是函数关系． ２．根据图形判断是否为函数的方法 (１)任取一条垂直于x轴的直线l． (２)在定义域内平行移动直线l． (３)若l与图形有且只有一个交点,则是函 数;若在定义域内没有交点或有两个或 两个以上的交点,则不是函数． 如图所示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第二章　函数 􀳀[变式训练] １．下列对应关系是集合A 到B 的函数的是 (　　) A．A＝R,B＝{x|x＞０},f:x→y＝ x B．A＝R,B＝R,f:x→y＝ x C．A＝{２},B＝{－ ２,２},f:x→y２＝x D．A＝{x|－１≤x≤１},B＝{０},f:x→y＝０ 　　　判定函数相等 [例２]下列各组函数: ①f(x)＝x ２－x x ,g(x)＝x－１; ②f(x)＝ xx ,g(x)＝x x ; ③f(x)＝ x＋１􀅰 １－x,g(x)＝ １－x２; ④f(x)＝ (x＋３)２,g(x)＝x＋３; ⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系 f(t)＝８０t(０≤t≤５)与一次函数g(x)＝ ８０x(０≤x≤５)． 其中表示相等函数的是　　　　　　(填上 所有正确的序号)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　判断是否为相等函数,关键 是看对应关系和定义域是否一致． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)如何判断两个函数是否相等? ①判断定义域是否相等; ②判断对应关系是否相等; ③结论:如果①和②都肯定,则两个函 数相等;如果①和②中有一个否定,则 两个函数不等． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (２)判断两个函数是否相等的注意事项: ①如果两个函数的定义域和值域分别 相同,那么这两个函数不一定相等,如 f(x)＝x２＋１与g(x)＝|x＋１|,两个 函数的定义域、值域分别相同,但它们 的对应法则不同,因此它们不是相等 函数． ②因为函数是两个数集之间的对应关 系,所以至于用什么字母表示自变量、 因变 量 和 对 应 关 系 是 无 关 紧 要 的, 如f(x)＝３x＋４与f(t)＝３t＋４表示 相等的函数． 􀳀[变式训练] ２．判断下列各组函数是否是相等函数． (１)f(x)＝x２－x＋１,g(t)＝t２－t＋１; (２)f(x)＝ x－１􀅰 x＋１,g(x)＝ x２－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　求函数的定义域 [例３]求下列函数的定义域． (１)f(x)＝ x－１􀅰 ４－x＋２; (２)f(x)＝ x＋３＋ １x＋２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　求函数的定义域,就是求使 函数解析式有意义的自变量的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 定义域的求法 (１)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是 实数集R． (２)如果f(x)是分式,那么函数的定义域 是使分母不为０的实数的集合． (３)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定 义域是使根号内的式子大于或等于０ 的实数的集合． (４)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成 的,那么函数的定义域是使各部分式子都 有意义的实数的集合． (５)如果函数有实际背景,那么除符合上述 要求外,还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示,这 一点初学者易忽视． 􀳀[变式训练] ３．函 数 y＝ －x２＋x＋６＋ １x－１ 的 定 义 域 为　　　　． 　　函数值和函数的值域 [例４]　已知函数f(x)＝x＋１x＋２． (１)求f(２); (２)求函数f(x)的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　形如f(x)＝ax＋bcx＋d 的函数在 求值域时,一般利用分离常数的方法,即在 分式的分子上构造出分母的形式以便分离 出常数来求值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求函数值域的原则及常用方法 (１)原则:①先确定相应的定义域; ②再根据函数的具体形式及运算确定 其值域． (２)常用方法: ①观察法:对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察法得到． ②配方法:是求“二次函数”类值域的基 本方法． ③换元法:运用新元代换,将所给函数 化成值域易确定的函数,从而求得原函 数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋ cx＋d (其中a,b,c,d 为常数,且a≠０)型的 函数常用换元法． 　④分离常数法．此方法主要是针对有理分 式,即将有理分式转化为“反比例函数类” 的形式,便于求值域． 􀳀[变式训练] ４．求下列函数的值域: (１)y＝２x＋１; (２)y＝x２－４x＋６,x∈[１,５)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第二章　函数 １．已知f(x)＝π(x∈R),则f(π２)的值是 (　　) A．π２ B．π C．π D．不确定 ２．函数f(x)＝ ２x＋１＋ ３－x 的定义域为 (　　) A．(－∞,－１)∪(－１,３] B．(－∞,３] C．(－１,３] D．(－∞,－１) ３．下列各组函数表示相同函数的是 (　　) A．f(x)＝ x２和g(x)＝(x)２ B．f(x)＝１和g(x)＝x０ C．f(x)＝|x|和g(x)＝ x,x≥０ －x,x＜０{ D．f(x)＝x＋１和g(x)＝x ２－１ x－１ ４．已知函数f(x)＝２x－３,x∈{x∈N|１≤x≤５}, 则函数f(x)的值域为　　　　　　　． ５．已知f(x)＝１－x１＋x (x∈R,且x≠－１),g(x) ＝x２－１(x∈R)． (１)求f(２),g(３)的值; (２)求f(g(３))的值及f(g(x))． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　函数的表示法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象 法以及各自的优缺点 ２．在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的 方法表示函数 ３．通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单 应用 １．结合实例,经历函数三种表示法的抽象 过程,体会三种表示法的作用,培养学生 的数学抽象素养 ２．结合实例,加深对分段函数概念的理解 及应用,提升逻辑推理、数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图,艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们,学习 中的遗忘是有规律的,遗忘的进程是不均衡 的,记忆的最初阶段遗忘的速度很快,后来就 逐渐慢了,这条曲线表明了遗忘的发展规律是 “先快后慢”. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 数学􀅰必修第一册 (３)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系．综上 可知,(１)中的变量间存在依赖关系,且是函数关系;(２)中变 量间存在依赖关系,但不是函数关系;(３)中两个变量间不存 在依赖关系． [例２]　[解]　观察图象可知: (１)全天最高气温大约是９ ℃,在１４时达到,全天最低气温 大约是－２℃,在４时达到． (２)大约在８时和２２时,气温为０℃． (３)在８时到２２时之间,气温在０℃以上． (４)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降,对于时 间t的每个取值,都有唯一的气温Q 与之对应,所以气温Q 是时间t的函数． [例３]　[解]　依题意知邮件的质量６kg与邮资 M 元的函数 解析式为M＝ １２,０＜m≤１, ２０,１＜m≤２, ２８,２＜m≤３, ⋮　　　⋮ ２４４,２９＜m≤３０． ì î í ï ï ï ï 其图象如图: 变式训练 １．解:(１)因为圆的面积S 与半径r 存在S＝πr２ 的关系,因此 圆的面积与其半径长存在依赖关系,也是函数关系． (２)一般情况下,商品的价格越低,销售量越大,但只是依赖 关系,不是函数关系． (３)一个人的身高与体重有一定的关系,但体重并不完全由 身高来决定,还受人的胖瘦等因素的影响,因此一个人的身 高与体重之间存在依赖关系,但不是函数关系． (４)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系,但学习成 绩并不完全由学习时间而定,还受其他因素的影响,如这位 同学的学习效率、智力等,因此某同学的学习时间与其学习 成绩之间存在依赖关系,但不是函数关系． 综上所述,(１)(２)(３)(４)均存在依赖关系,其中仅(１)是函数 关系． ２．解:是函数关系,因为x,y 的取值范围分别是A＝{１０,１５, ２０,３０,４０,５０,６０},B＝{９００,９５０,１０００,１５００,２０００,２５００, ４０００},它们都是非空数集,且按照表格中给出的对应关系, 对任意的x∈A,在B 中都有唯一确定的值与之对应,所以y 是x 的函数,即y与x 是函数关系． ３．[解]　前５分钟的速度y＝１５x＋２００　(０≤t≤５); 匀速跑步１０分钟,y＝２００＋７５＝２７５　(５＜x≤１５), ∴y＝ １５x＋２００(０≤x≤５) ２７５(５＜x≤１５){ 如图: 随堂步步夯实 １．C　[A、B、D是依赖关系,对 C,W 是关于t的函数．] ２．C　[根据函数的定义,每一个自变量x的值,都有唯一确定 的y值与之对应,选项 C中,某些x 的值,有两个y值与之 对应,不符合函数的定义,所以正确选项为 C．] ３．解析:(１)题表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系; 其中所挂物体质量是自变量,弹簧长度是因变量． (２)当所挂物体重量为３千克时,弹簧长２４cm;当不挂重物 时,弹簧长１８cm． (３)弹簧长度y与所挂物体质量x 之间的关系可以用式子表 示为y＝２x＋１８(x≥０)． 答案:(１)所挂物体的质量　弹簧长度　(２)２４cm　１８cm　 (３)y＝２x＋１８(x≥０) ４．解析:(１)由表格可知y与x 是正比例函数关系y＝kx,且比 列系数为k＝２,所以x与y 的关系式为y＝２x． (２)把x＝２．５代入y＝２x,得y＝５． 答案:(１)y＝２x　(２)５ ５．解:(１)题中反映的自变量是燃烧时间,因变量是剩余长度． (２)由题表可知燃烧时间每增加１０min,长度减小１cm, ∴所求关系式为y＝２０－x１０． §２　函数 ２．１　函数概念 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:A＝{t|０≤t≤２６)． (２)提示:B＝{h|０≤h≤８４５}． (３)提示:唯一确定． 知识梳理　知识点一 １．非空的数集　确定的　任意　唯一　y＝f(x),x∈A ２．x的取值范围A　３．函数值的集合{f(x)|x∈A}　子集 [思考] １．提示:不一定．值域是集合B 的子集,即{f(x)|x∈A}⊆B． ２．提示:不一定．可以是数表,也可以是图象． ３．提示:这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x 的函数”的数 学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是 对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格, 也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x 允许取某一具 体值时,相 应 的y 值 为 与 该 自 变 量 值 对 应 的 函 数 值．y＝ f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f 与x 的乘积”．在研 究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来 表示函数． ４．提示:f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x＝a时,函 数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般 情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次 函数f(x)＝３x＋４,当x＝８时,f(８)＝３×８＋４＝２８是一个 常数． 知识点二 １．定义域　对应关系　值域　２．定义域　对应关系　定义域 　对应关系 [思考] ５．提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所 以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系 即可． ６．提示:不一定,如果对应关系不同,这两个函数一定不是同一 个函数． 预习自测 １．①②④　２．{x|x＜４}　３．③ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)A 中的任一元素按照对应关系y＝|x|,在 B 中都有唯一确定的元素与之对应,故是集合 A 到集合B 的函数． (２)A 中的元素０在B 中没有对应元素,故不是集合A 到集 合B 的函数． (３)A 中元素负数没有平方根,故在B 中没有对应的元素, 且 x不一定是整数,故此对应关系不是集合A 到集合B 的 函数． (４)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y＝１, 在集合B 中都有唯一一个确定的数１与它对应,故是集合A 到集合B 的函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 参考答案 [例２]　[解析] 序号 是否相等 原因 ① 不等 定义域不同,f(x)定义域为{x|x≠０}, g(x)定义域为 R． ② 不等 对应法则不同,f(x)＝ １ x , g(x)＝ x． ③ 相等 定义域、对应关系都相同． ④ 不等 值域不同,f(x)≥０,g(x)∈R． ⑤ 相等 定义域、对应关系都相同． [答案]　③⑤ [例３]　[解]　(１)要使此函数有意义,应满足 x－１≥０ , ４－x≥０,{ 即１≤x≤４,所以此函数的定义域是{x|１≤x≤４}． (２)要使此函数有意义,则 x＋３≥０, x＋２≠０{ ⇒ x≥－３, x≠－２{ ⇒x≥－３,且x≠－２． 所以f(x)的定义域为{x|x≥－３,且x≠－２}． [例４]　[解]　(１)f(２)＝２＋１２＋２＝ ３ ４． (２)f(x)＝x＋１x＋２＝ x＋２－１ x＋２ ＝１－ １ x＋２ , 又 １ x＋２≠０ ,∴１－ １x＋２≠１ , ∴f(x)≠１, 即函数值域是{y|y∈R,且y≠１}． 变式训练 １．D　[对于 A选项,A 中的元素０在B 中没有对应元素,不是 函数;B选项中A 集合中负数没有平方根,不是函数;C选项 中集合A 中的元素２在集合B 中有两个元素± ２与之对 应,不是函数．D选项符合函数的概念．] ２．解:(１)虽然表示自变量的字母不同,但定义域、对应关系均 相同,因而是相等函数． (２)∵f(x)的定义域为{x|x≥１},而g(x)的定义域为{x|x ≤－１,或x≥１},两函数的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是 相等函数． ３．解析:由y＝ －x２＋x＋６＋ １x－１ ,得 －x ２＋x＋６≥０ x－１≠０{ ⇒ x∈[－２,１)∪(１,３], 故函数的定义域为x∈[－２,１)∪(１,３]． 答案:[－２,１)∪(１,３] ４．解:(１)因为x∈R,所以２x＋１∈R,即函数的值域为 R． (２)配方:y＝x２－４x＋６＝(x－２)２＋２, 因为x∈[１,５),由图所示． 所以所求函数的值域为[２,１１)． 随堂步步夯实 １．B　[f(π２)＝π．] ２．A　[由已知 x＋１≠０ , ３－x≥０,{ 解得x≤３且x≠－１．] ３．C　[对于 A,函数f(x)＝ x２的定义域为 R,函数g(x)＝ (x)２ 的定义域为[０,＋∞),两个函数的定义域不同,所以 表示不同的函数,不符合题意;对于B,函数f(x)＝１的定义 域为R,函数g(x)＝x０ 的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),两 个函数的定义域不同,所以表示不同的函数,不符合题意;对 于 C,函数f(x)＝|x|＝ x,x≥０ －x,x＜０{ 与g(x)＝ x,x≥０ －x,x＜０{ 的 定义域和对应法则都相同,所以表示相同的函数,符合题意; 对于 D,函数f(x)＝x＋１的定义域为R,函数g(x)＝x ２－１ x－１ 的定义域为{x|x≠１},两个函数的定义域不同,所以表示不 同的函数,不符合题意．] ４．{－１,１,３,５,７} ５．解:(１)因为f(x)＝１－x１＋x , 所以f(２)＝１－２１＋２＝－ １ ３． 因为g(x)＝x２－１,所以g(３)＝３２－１＝８． (２)依题意,知f(g(３))＝f(８)＝１－８１＋８＝－ ７ ９ , f(g(x))＝１－g (x) １＋g(x)＝ １－(x２－１) １＋(x２－１) ＝２－x ２ x２ (x≠０)． ２．２　函数的表示法 课前预习学案 情境引入 　提示:图象法 知识梳理 [思考] １．提示:并不是所有的函数都能用解析式表示;事实上,图象法 也不适用于所有函数,如D(x)＝ ０ ,x∈Q, １,x∈∁RQ;{ ;列表法虽在 理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情 况,列表法只能表示函数的一个概况或片段． ２．提示:三种方法的优、缺点 ３．提示:分段函数是一个函数,只不过不同范围上解析式不同． ４．提示:定义域为各段范围的并集;值域为各段上值域的并集． 预习自测 １．A　[由题意可得先匀速跑步３分钟来到办公室,路程是递 增的,停留２分钟,路程不发生变化,再匀速步行１０分钟返 回宿舍,总路程也是增加的,只有 A符合．] ２．解析:将点(５,４)代入f(x)＝x－mx ,得m＝５． 答案:５ ３．f(x)＝－１８x 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)列表法: x/台 １ ２ ３ ４ ５ y/元 ３０００ ６０００ ９０００ １２０００ １５０００ x/台 ６ ７ ８ ９ １０ y/元 １８０００ ２１０００ ２４０００ ２７０００ ３００００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２２􀅰 数学􀅰必修第一册