第一章 4.1 一元二次函数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

５．解:设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为６x吨． 由题意可知,面粉的保管费及其他费用为 ３×[６x＋６(x－１)＋６(x－２)＋􀆺＋６×１]＝９x(x＋１)． 设平均每天所支付的总费用为y１ 元, 则y１＝ １ x [９x(x＋１)＋９００]＋６×１８００＝９x＋９００x ＋１０８０９ ≥２ ９x􀅰９００x ＋１０８０９＝１０９８９ (元), 当且仅当９x＝９００x ,即x＝１０时,等号成立． 所以该厂每１０天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的 总费用最少． §４　一元二次函数与一元二次不等式 ４．１　一元二次函数 课前预习学案 知识梳理　知识点一 一般式　顶点式 知识点二 横坐标不变,纵坐标变为原来的a倍得到　开口方向　开口 大小 知识点三 (１)(h,k)　x＝h　减小　增大　ymin＝k　增大　减小 ymax＝k [思考] １．提示:左右平移的原则:“左加右减”;上下平移的原则:“上加 下减”． 知识点四 向上　向下　x＝－b２a　x＝－ b ２a [思考] ２．提示:不一定小,例如函数y＝x２ 与y＝－x２ 的图象的开口大小 相同,决定其开口大小的是|a|,|a|越大,开口越小． ３．提示:把函数y＝x２ 的图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来 的２倍,得到y＝２x２ 的图象;把函数y＝２x２ 的图象向右平移１ 个单位长度得到y＝２(x－１)２ 的图象． ４．提示:利用判别式Δ＝b２－４ac来判断． 当Δ＞０时,有两个不同的公共点;当Δ＝０时,有唯一公共点; 当Δ＜０时,无公共点． 预习自测 １．B　[由２x(３－x)＝０,得x＝０或x＝３,可知图象与x轴的交点 为(０,０),(３,０),排除 A,C．又y＝２x(３－x)＝－２x２＋６x,所以图 象开口向下,故排除D．] ２．B　[y＝x２→y＝x２－１→y＝２(x２－１)＝２x２－２．] ３．解析:由|２|＝|－２|,知二者开口大小相同;由２＞０,－２＜０,知 二者开口方向相反． 答案:相同　相反 课堂互动学案 [例１]　[解]　y＝x２－６x＋６ 横坐标缩小到 原来的 １ ２ 倍 →y＝(２x)２－１２x＋６ ＝４x２－１２x＋６ 纵坐标扩大 到原来的２倍 →y２＝４x ２－１２x＋６, 即y＝８x２－２４x＋１２． 所以图象C２ 的解析式为y＝８x２－２４x＋１２． [例２]　[解]　因为二次函数的图象的顶点坐标是(１,－３), 所以,可设其解析式为y＝a(x－１)２－３． 又其图象过点P(２,０),则a(２－１)２－３＝０,解得a＝３． 所以,这个函数的解析式为y＝３(x－１)２－３． [例３]　[解]　由f(x)＝(x－１)２＋２知抛物线开口向上,对 称轴为x＝１, ∴f(x)在[－２,０]上随x的增大而减小, ∴当x＝－２时, f(x)有最大值f(－２)＝１１; 当x＝０时,f(x)有最小值f(０)＝３． 变式训练 １．解:(１)由－x２－２x＋３＝０, 得－(x＋３)(x－１)＝０,解得x＝－３或x＝１,当x＝０时, y＝－０２－２×０＋３＝３,所以此函数图象与x 轴的交点坐标 为(－３,０),(１,０),与y轴的交点坐标为(０,３)． (２)配方,得y＝－x２－２x＋３＝－(x＋１)２＋４,所以此函数 图象的顶点坐标为(－１,４),对称轴为直线x＝－１． (３)根据(１)(２)画出此函数图象的草图如图: ２．解:因为二次函数的图象与x轴的交点为A(－１,０)和B(１,０), 所以,可设其解析式为y＝a(x－１)(x＋１)． 又其图象与y轴的交点为(０,－１),则a(０－１)(０＋１)＝－１,解 得a＝１．所以,这个函数的解析式为y＝(x－１)(x＋１)＝x２－１． ３．解:(１)由y＝４x２－４ax＋a２－２a＋２＝４ x－a２( ) ２ －２a＋２, 所以抛物线的顶点坐标为 a ２ ,－２a＋２( )． (２)二次函数图象开口向上,对称轴为x＝a２ ,在区间[０,２] 上的最小值,分情况: ①当a２＜０ ,即a＜０时,x＝０时函数取得最小值, 即a２－２a＋２＝３,解得a＝１± ２,又a＜０,所以a＝１－ ２; ②当０≤a２≤２ ,即０≤a≤４时,x＝a２ 时函数取得最小值, 即－２a＋２＝３,解得a＝－１２ 舍去; ③当a２＞２ ,即a＞４时,x＝２时函数取得最小值, 即１６－８a＋a２－２a＋２＝３,解得a＝５± １０, 又a＞４,所以a＝５＋ １０． 综上,a＝１－ ２或a＝５＋ １０． 随堂步步夯实 １．A　[y＝－２(x＋１)２＋３→y＝－２[(x＋１)＋１]２＋３＝－２(x ＋２)２＋３→y＝１２× [－２(x＋２)２＋３]＝－(x＋２)２＋３２． ] ２．A 　 [由 “左 加 右 减 上 加 下 减 ”,y ＝ ３x２ 的 图 象 向左平移１个单位 　 →y＝３(x＋１)２ 向下平移２个单位 　 → y＝３(x＋１)２－２,所以正确选项为 A．] ３．BD　[二次函数y＝(x－２)２－１,开口向上,对称轴为x＝２, 最小值为－１． 对于 A,二次函数y＝(x－２)２－１≥－１,所以∀x∈R,y＝ (x－２)２－１≥１错误,即 A错误;对于B,二次函数y＝(x－ ２)２－１≥－１,所以∀a＞－１,∃x∈R,y＝(x－２)２－１＜a正 确,即B正确;对于C,二次函数y＝(x－２)２－１≥－１,所以 ∀a＜－１,∃x∈R,y＝(x－２)２－１＝a错误,即 C错误;对 于 D,根据二次函数的对称性可知,∃x１≠x２,(x１－２)２－１ ＝(x２－２)２－１正确,即 D正确;综上可知,正确的为BD．] ４．解析:设y＝a(x＋２)(x－２)(a≠０), 因为其图象过点(０,３),所以a(０＋２)(０－２)＝３, 解得a＝－３４． 所以此函数的解析式为y＝－３４ (x＋２)􀅰(x－２) ＝－３４x ２＋３． 答案:y＝－３４x ２＋３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２２􀅰 数学􀅰必修第一册 ５．解:f(x)＝x２－４ax－２＝(x－２a)２－４a２－２,对称轴为直线 x＝２a． (１)当a＜０时,函数在区间[０,２]上是增加的, 因为,f(x)min＝f(０)＝－２; (２)当０≤a≤１时,f(x)min＝f(２a)＝－４a２－２; (３)当a＞１时,函数在区间[０,２]上是减少的, 因此f(x)min＝f(２)＝２－８a． 综上,f(x)min＝ －２,a＜０, －４a２－２,０≤a≤１． ２－８a,a＞１．{ ４．２　一元二次不等式及其解法 课前预习学案 知识梳理　知识点一 ２．成立　未知数 [思考] １．提示:不是．一元二次不等式一定为整式不等式． ２．提示:不可以．若a＝０,就不是二次不等式了． 知识点二 １．{x|x＜x１,或x＞x２}　 x|x≠－ b ２a{ }　R　{x|x１＜x＜x２} 　∅　∅ [思考] ３．提示:R,x|x＝－b２a{ }． 预习自测 １．D　２．C　３．{x|x＞３,或x＜－１} 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)Δ＝４９＞０,方程２x２＋５x－３＝０的两根为 x１＝－３,x２＝ １ ２ , 作出函数y＝２x２＋５x－３的图象,如图①所示． 由图可得原不等式的解集为 x|－３＜x＜１２{ }． (２)原不等式等价于３x２－６x＋２≥０．Δ＝１２＞０,解方程３x２ －６x＋２＝０,得x１＝ ３－ ３ ３ ,x２＝ ３＋ ３ ３ , 作出函数y＝３x２－６x＋２的图象,如图②所示,由图可得原 不等式的解集为 x|x≤３－ ３３ ,或x≥３＋ ３３{ }, (３)∵Δ＝０,∴方程４x２＋４x＋１＝０有两 个相等的实根x１＝x２＝－ １ ２． 作出函数 y＝４x２＋４x＋１的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 x|x≠－１２ ,x∈R{ }． (４)原不等式可化为x２－６x＋１０＜０, ∵Δ＝－４＜０, ∴方程x２－６x＋１０＝０无实根, ∴原不等式的解集为∅． [例２]　[解]　①当a＝０时,原不等式即为－x＋１＜０, 解得x＞１． ②当a＜０时,原不等式化为 x－１a( )(x－１)＞０, 解得x＜１a 或x＞１． ③当a＞０时,原不等式化为 x－１a( )(x－１)＜０． 若a＝１,即１a＝１ 时,不等式无解; 若a＞１,即１a＜１ 时,解得１ a＜x＜１ ; 若０＜a＜１,即１a＞１ 时,解得１＜x＜１a． 综上可知,当a＜０时,不等式的解集为 x|x＜１a ,或x＞１{ }; 当a＝０时,不等式的解集为{x|x＞１}; 当０＜a＜１时,不等式的解集为 x|１＜x＜１a{ }; 当a＝１时,不等式的解集为∅; 当a＞１时,不等式的解集为 x|１a＜x＜１{ }． [例３]　(１)　[解析]　由已知得, ax２＋bx＋２＝０的解为－１２ ,１ ３ ,且a＜０． ∴ －ba ＝－ １ ２＋ １ ３ , ２ a＝ － １ ２( )× １ ３ , ì î í ïï ï 解得 a＝－１２, b＝－２,{ ∴a＋b＝－１４． [答案]　－１４ (２)　[解析]　由题意知 ２＋３＝－ba , ２×３＝ca , a＜０, ì î í ï ï ï ï 即 b＝－５a, c＝６a, a＜０．{ 代入不等式cx２－bx＋a＞０, 得６ax２＋５ax＋a＞０(a＜０)． 即６x２＋５x＋１＜０,解得－１２＜x＜－ １ ３ , 所以所求不等式的解集为 x|－１２＜x＜－ １ ３{ }． [答案]　 x|－１２＜x＜－ １ ３{ } 变式训练 １．解:(１)方程x２－x－６＝０的两根为x１＝－２,x２＝３,结合二 次函数y＝x２－x－６的图象知x２－x－６＞０的解集为{x|x ＞３,或x＜－２}． (２)方程２５x２－１０x＋１＝０的两相等实根,x１＝x２＝ １ ５． 结合二次函数y＝２５x２－１０x＋１的图象知２５x２－１０x＋１＞０ 的解集为 x|x≠１５{ }． (３)法一:方程－２x２＋x＋１＝０的 解 为 x１＝－ １ ２ ,x２＝１,函数y＝－２x２＋x＋１ 的图象是开口向 下 的 抛 物 线,与x 轴 的 交点为 －１２ ,０( ) 和(１,０),如图, 观察图象知不等式的解集为 x|x＜－１２ ,或x＞１{ }． 法二:在不等式两边同乘－１,可得２x２－ x－１＞０,方程２x２－x－１＝０的解为x１ ＝－１２ ,x２＝１;画出函数y＝２x２－x－１ 的图象如图所示． 观察图象,可得原不等式的解集为 x|x＜－１２ ,或x＞１{ }． ２．解:(１)当a＝３时,x２－４x＋３＞０,(x－１)(x－３)＞０,∴x＞３ 或x＜１,不等式解集为{x|x＞３,或x＜１}． (２)不等式可化为(x－a)(x－１)≤０． ①当a＝１时,原不等式即为(x－１)２≤０,解得x＝１; ②当a＜１时,原不等式化为(x－a)(x－１)≤０, 解得a≤x≤１; ③当a＞１时,原不等式化为(x－a)(x－１)≤０, 解得１≤x≤a． 综上可知,当a＜１时,不等式的解集为{x|a≤x≤１};当a＝１ 时,不等式的解集为{x|x＝１};当a＞１时,不等式的解集为 {x|１≤x≤a}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２２􀅰 参考答案 §４　一元二次函数与一元二次不等式 ４．１　一元二次函数 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握一元二次函数的背景、概念和性质 通过一元二次函数的性质,发展学生直观想象、 逻辑推理和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 某施工单位在对一个长８００m, 宽６００m 的草坪进行绿化时, 是这样想的:中间为矩形绿草 坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿 草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定 花坛宽度的取值范围． [知识梳理] [知识点一]　一元二次函数及其变形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)称为一元二次 函数的　　　　,函数y＝a(x－h)２＋k称 为一元二次函数的　　　　,其中点(h,k) 为抛物线的顶点． 注意:一元二次函数的一般形式化成顶点式 的方法—配方法; y＝ax２＋bx＋c＝ax＋b２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＋４ac－b ２ ４a ． [知识点二]　函数y＝x２ 与函数y＝ax２(a≠０)􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的图象间的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 二次函数y＝ax２(a≠０)的图象可由y＝x２ 的图象各点的　　　　　　　　　　　　． 其中a决定了图象的　　　　　　和在同 一直角坐标系中的　　　　　　． [知识点三]　一元二次函数y＝a(x－h)２＋k􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (a≠０)的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)内容: ①函数y＝a(x－h)２＋k的图象是一条抛 物线,顶点坐标是　　　　,对称轴是直线 　　　　． ②当a＞０时,抛物线开口向上;在区间 (－∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而 　　　　;在区间[h,＋∞)上,函数值y随自 变量x的增大而　　　　;函数在x＝h处有 最小值,记作　　　　． 当 a＜０ 时,抛 物 线 开 口 向 下;在 区 间 (－∞,h]上,函数值y随自变量x 的增大 而　　　　;在区间[h,＋∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而　　　　,函数在 x＝h处有最大值,记作　　　　． (２)本质:一元二次函数是一种常见的函数,它 是客观反映现实世界中变量之间的数量关 系和 变 化 规 律 的 一 种 非 常 重 要 的 数 学 模型． (３)作用:①利用一元二次函数的图象研究一 元二次不等式的解法;②求有关函数的最 大值和最小值;③为学习其他函数图象和 性质,奠定方法和知识的基础． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数图象平移的原则是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 第一章　预备知识 [知识点四]　一元二次函数y＝ax２＋bx＋c􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(a≠０)的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　a的 　　符号 性质　　 a＞０ a＜０ 图象 开口方向 开口　　 开口　　 顶点坐标 －b２a ,４ac－b ２ ４a æ è ç ö ø ÷ －b２a ,４ac－b ２ ４a æ è ç ö ø ÷ 对称轴 　　　　 　　　　 单调 区间 在区间 －∞,－b２a æ è ç ] 上是减小的, 在区间 －b２a ,＋∞[ öø÷ 上是增加的 在区间 －∞,－b２a æ è ç ] 上是增加的 在区间 －b２a ,＋∞[ öø÷ 上是减少的 最大值、 最小值 当x＝－b２a 时,函数 取得最小值 ４ac－b２ ４a ;无最大值 当x＝－b２a 时,函 数 取 得 最 大 值 ４ac－b２ ４a ;无最小值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．对于函数y＝ax２(a≠０),a越大, 其图象开口越小吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．通过怎样的变换,可以由函数y＝x２ 的图 象得到y＝２(x－１)２ 的图象? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．如何判断二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 的图象与x轴有无公共点? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．函数y＝２x(３－x)的图象可能是 (　　) ２．把函数y＝x２ 的图象向下平移１个单位长 度,将得到的函数图象上各点横坐标不变, 纵坐标变为原来的２倍,得到的函数解析 式为 (　　) A．y＝２x２－１ B．y＝２x２－２ C．y＝２x２＋１ D．y＝２x２＋２ ３．一元二次函数y＝２x２ 与y＝－２x２ 的图象 开口大小　　　　,开口方向　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一元二次函数的图象问题 [例１]若把函数y＝x２－６x＋６图象的横坐 标缩小到原来的１ ２ 倍,得到图象C１,再把C１ 的纵坐标扩大到原来的２倍,得到图象为 C２,试写出图象C２ 的解析式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　根据平移规律依次变换． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)平移变换不改变图象的形状,只改变图 象在坐标系中的位置． ①x轴上平移,即把x换成(x±k)(k＞０, 左正右负); ②y轴上平移,即把y换成(y±h)(h＞０, 下负上正)． (２)伸缩变换改变图象的形状． ①把横坐标变化到原来的ω(ω＞０且 ω≠１)倍,即把x换成xω． ②把纵坐标变化到原来的λ(λ＞０且 λ≠１)倍,即把y换成yλ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] １．已知一元二次函数y＝－x２－２x＋３． (１)求出此函数图象与坐标轴的交点坐标; (２)指出此函数图象的顶点坐标和对称轴; (３)根据(１)(２)画出此函数图象的草图． 　求二次函数的解析式 [例２]已知二次函数的图象的顶点坐标是 (１,－３)且过点P(２,０),求这个函数的解 析式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　一元二次函数的顶点式为 y＝a(x－h)２＋k． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用待定系数法求二次函数解析式的设法 技巧,求二次函数的解析式,应根据已知 条件的特点,灵活地选用解析式的形式, 用待定系数法求之． (１)当已知抛物线上任意三点时,通常设所 求二次函数为一般式y＝ax２＋bx＋c (a,b,c为常数,a≠０),然后列出三元 一次方程组求解． (２)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称 轴方程与最大(小)值时,则设所求二次函 数为顶点式y＝a(x＋h)２＋k[其顶点是 (－h,k),a≠０]． (３)当已知二次函数图象与x轴的两个交 点的坐标为(x１,０)(x２,０)时,则设所求 二次函数为两点式y＝a(x－x１)(x－ x２)(a≠０)． 􀳀[变式训练] ２．已 知 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 为 A(－１,０)和 B(１,０),且与y 轴的交点为 (０,－１),求这个函数的解析式． 　　一元二次函数的最大值和最小值 [例３]求函数f(x)＝x２－２x＋３在[－２,０] 上的最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先求对称轴,根据对称轴和 区间的关系做出判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求二次函数f(x)＝ax２＋bx＋c(a＞０) 在[m,n]上的最值的步骤: (１)配方,找对称轴． (２)判断对称轴与区间的关系． (３)求最值,若对称轴在区间外,则f(x)的 图象在[m,n]上恒上升或下降,在端点 处取得最大值或最小值;若对称轴在区 间内,则在对称轴取得最小值,最大值 在[m,n]端点处取得． 􀳀[变式训练] ３．已知一元二次函数y＝４x２－４ax＋a２－２a＋２． (１)写出该函数的顶点坐标; (２)如果该函数在区间[０,２]上的最小值为３, 求实数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第一章　预备知识 １．把函数y＝－２(x＋１)２＋３的图象向左平移 １个单位长度,并把所得到的函数图象上的 每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的１ ２ , 所得到的函数的解析式为 (　　) A．y＝－(x＋２)２＋３２ B．y＝－(x＋２)２＋３ C．y＝－x２＋３２ D．y＝－x２＋３ ２．一元二次函数y＝３(x＋１)２－２的图象可以 由函数y＝３x２ 的图象经过怎样的变换得到 (　　) A．先向左平移１个单位,再向下平移２个单位 B．先向左平移１个单位,再向上平移２个单位 C．先向右平移１个单位,再向下平移２个单位 D．先向右平移１个单位,再向上平移２个单位 ３．(多选)下列关于二次函数y＝(x－２)２－１ 的说法正确的是 (　　) A．∀x∈R,y＝(x－２)２－１≥１ B．∀a＞－１,∃x∈R,y＝(x－２)２－１＜a C．∀a＜－１,∃x∈R,y＝(x－２)２－１＝a D．∃x１≠x２,(x１－２)２－１＝(x２－２)２－１ ４．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示,则 此函数的解析式为　　　　． ５．求函数f(x)＝x２－４ax－２在区间[０,２]上 的最小值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．２　一元二次不等式及其解法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 ２．掌握图象法解一元二次不等式 ３．会对含参数的一元二次不等式分类讨论 通过求一元二次方程的解集及根 与系数关系的应用,提升逻辑推 理和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 利用恒等式的变形,推导一元二次方程根与系 数的关系如下 设一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０),两根 为x１,x２, 令ax２＋bx＋c＝a(x－x１)(x－x２) ＝ax２－a(x１＋x２)x＋ax１x２, ∴ b＝－a(x１＋x２), c＝ax１x２,{ 即 x１＋x２＝－ b a , x１x２＝ c a． ì î í ï ï ï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 数学􀅰必修第一册