第一章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

所以一 元 二 次 方 程 mx２－２x＋３＝０有 两 个 不 等 的 实 根． 设方程的两根为x１,x２, 当０＜m＜１３ 时,x１＋x２＝ ２ m＞０ 且x１x２＝ ３ m＞０ , 故方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． (２)必要性(q⇒p): 若方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． 则有 Δ＝４－１２m＞０, x１x２＞０,{ 所以０＜m＜ １ ３． 即方程 mx２ －２x＋３＝０ 有 两 个 同 号 且 不 相 等 的 实 根 ⇒ ０＜m＜１３． 综上可知,方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实 根的充要条件是０＜m＜１３． [例３]　[解]　p:x∈{x|－２≤x≤１０}, q:x∈{x|１－m≤x≤１＋m}． 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p 的充分不必要条件, 即{x|１－m≤x≤１＋m}⫋{x|－２≤x≤１０}, 故有 １－m≥－２, １＋m＜１０,{ 或 １－m＞－２, １＋m≤１０,{ 解得m≤３．又１－m＜１＋m,所以m＞０, 所以实数m 的取值范围为０＜m≤３． 变式训练 １．解:(１)因为由x≠０推不出x＋|x|＞０, 如x＝－１时,x＋|x|＝０,所以p⇒/q, 所以p不是q的充要条件． (２)由|a－b|＝|a|＋|b|,两边平方得a２－２ab＋b２ ＝a２＋２|ab|＋b２,即|ab|＝－ab, 得ab≤０,即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤０”． 所以p⇒/q,所以p不是q的充要条件． (３)当x１＝－１,x２＝－４时,x１＋x２＝－５, 而－１,－４不是方程x２＋５x－６＝０的两根． 所以q⇒/p,所以p不是q的充要条件． (４)由A⊆B,得A∩B＝A;反过来,由A∩B＝A,且(A∩B) ⊆B,得A⊆B,因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件, 即p是q的充要条件． ２．证明:充分性: 若a＋b＝１, 则a２＋b２－a－b＋２ab＝(a＋b)２－(a＋b)＝１－１＝０, 即充分性成立, 必要性: 若a２＋b２－a＋b＋２ab＝０, 则(a＋b)２－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－１)＝０． ∵a＋b≠０,∴a＋b－１＝０, 即a＋b＝１,必要性成立, 综上,a２＋b２－a－b＋２ab＝０成立的充要条件是a＋b＝１． ３．解:设A＝{x|x＜－２,或x＞３}, B＝ x|x＜－m４{ }, 因为p是q的必要不充分条件, 所以B⫋A,所以－m４≤－２ ,即m≥８． 所以实数m 的取值范围为m≥８． 随堂步步夯实 １．B　[１＜x＜２”⇒“１＜x＜３”,反之不成立． ∴“１＜x＜２”是“１＜x＜３”的充分不必要条件．] ２．B　[a２＝b２,即(a＋b)(a－b)＝０,解得a＝－b或a＝b,a２＋b２＝ ２ab,即(a－b)２＝０,解得a＝b,故“a２＝b２”不能推出“a２＋b２ ＝２ab”,充分性不成立,“a２＋b２＝２ab”能推出“a２＝b２”,必要 性成立,故“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件．] ３．解析:由x２－１≠０,x≠１且x≠－１, 因为“x≠－１”是“x≠１且x≠－１”的必要不充分条件, 所以“x≠－１”是“x２－１≠０”的必要不充分条件． 答案:必要不充分 ４．解析:p:x＞１,若p是q的充分不必要条件,则p⇒q, 但q⇒/p,也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集, 所以a＜１． 答案:{a|a＜１} ５．解:因为－a＜x－１＜a是p:－１＜x＜３的一个必要条件,且 －a＜x－１＜a⇔１－a＜x＜１＋a, 所以{x|－１＜x＜３}⊆{x|１－a＜x＜１＋a}, 所以 １－a≤－１, １＋a≥３, １＋a＞１－a．{ 解得a≥２, 则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b＜２． ２．２　全称量词与存在量词 第１课时　全称量词命题与存在量词命题 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:任意一个,全部,每个． (２)提示:表示某个范围的整体或全部． 知识梳理　知识点一 １．所有 知识点二 １．某些 [思考] １．提示:判断一个命题是不是全称(存在)量词命题,关键看该 命题是否含有全称(存在)量词,如果含有,直接判断,否则看 该命题是不是省去全称(存在)量词的命题,如果是,可以把 全称(存在)量词补充出来,看是否能讲通． 知识点三 １．全称量词　存在量词　∀x∈M,p(x)　∃x∈M,p(x)． [思考] ２．提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示 几何图形,相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围, p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质,也可以用q(x), r(x)等符号表示． 预习自测 １．A ２．D　[D选项是存在量词命题．] ３．解析:①当x＝０时,x２＝０,是假命题． ②x２＋x＋１＝ x＋１２( ) ２ ＋３４≥ ３ ４＞０ ,是假命题． ③当a＝２－ ２,b＝３＋ ２时,a＋b＝５,是真命题． 答案:１ 课堂互动学案 [例１]　解:(２)(３)含有存在量词“有的”“有一个”为存在量词 命题,(１)(４)是省略了全称量词的全称量词命题． [例２]　[解]　(１)因为－１∈Z,且(－１)３＝－１＜１, 所以“∃x∈Z,x３＜１”是真命题． (２)真命题,如梯形． (３)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知, 它是真命题． (４)因为０∈N,０２＝０,所以命题“∀x∈N,x２＞０”是假命题． [例３]　(１)　[解析]　当１≤x≤２时,１＋m≤x＋m≤２＋m, 因为一次函数y＝x＋m 的图象在x 轴上方,所以１＋m＞０, 即m＞－１,所以实数m 的取值范围是{m|m＞－１}． [答案]　{m|m＞－１} (２)解:由题意得,关于x的方程ax２＋２x－１＝０有实数根, 当a＝０时,方程为２x－１＝０,显然有实数根,满足题意;当a ≠０时,Δ＝４＋４a≥０,解得a≥－１,且a≠０．综上知,实数a 的取值范围是{a|a≥－１}． 变式训练 １．解:(１)∀x∈R,x２＋x＋１＞０． (２)∀x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 是有理数． (３)∀a,b∈R,方程ax＋b＝０恰有一解． (４)∃x∈Z,x既能被２整除,又能被３整除． ２．解析:(１)∀x∈N,x２＞０,因为０也是自然数,０的平方是０． 所以,全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题． (２)∃x,y∈Z,２x＋４y＝３．由２x＋４y＝３,得x０＋２y＝ ３ ２ , 若x,y∈Z,则x＋２y也是整数,不可能等于 ３２ ,所以,存在 量词命题“存在一对整数x,y,使２x＋４y＝３”是假命题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 参考答案 (３)∃x∈{无 理 数},x３ ∈Q, ３ ３是 无 理 数,( ３ ３)３＝３ 是 有 理数． 所以,存在量词命题“存在一个无理数,它的立方是有理数” 是真命题． ３．解:(１)由于对任意的x∈{x|１≤x≤３}都有m≥x,故只需m 大于或等于x 的最大值,即m≥３． (２)由于存在实数x∈{x|１≤x≤３},使 m≥x,故只需 m 大 于或等于x 的最小值,即m≥１． 随堂步步夯实 １．D　[①②④是全称量词命题．] ２．C　[对于 A,是存在量词命题,故 A 不正确;对于 B,是真命 题,但不是全称量词命题,故 B不正确;对于 C,是全称量词 命题,也是真命题,故C正确;对于 D,是真命题,但不是全称 量词命题,故 D不正确．] ３．解析:①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就 相等,但不一定相似;②中对任意x∈R,x２＋２＞０,所以不存 在实数x,使x２＋２＜０．为假命题;③中当实数a大于０时, 结论成立,为真命题;④中如１的倒数是它本身,为真命题． 故真命题的序号是①③④． 答案:①③④ ４．解析:由题意可得“对∀x∈R,２x２＋(a－１)x＋ １２ ＞０ 恒成 立”是真命题,令Δ＝(a－１)２－４＜０,得－１＜a＜３． 答案:{a|－１＜a＜３} ５．解:假设存在整数m,使得命题“∀x≥－１４ ,－５＜３－４m＜x ＋１”是真命题． 因为当x≥－１４ 时,x＋１≥３４ , 所以－５＜３－４m＜３４ ,解得９ １６＜m＜２． 又m 为整数,所以m＝１, 故存在整数m＝１,使得命题“∀x≥－１４ ,－５＜３－４m＜x＋１” 是真命题． 第２课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 课前预习学案 情境引入 　提示　探险家应该说“我将被五马分尸”． 如果土人首领将探险家五马分尸,那就说明探险家说的就 是真话,而说真话应该被烧死; 如果土人首领将探险家烧死,那就说明探险家说的就是假 话,而说假话应该被五马分尸． 所以,土人首领怎么处置探险家都不行,只能让他活着． 知识梳理 [思考] １．提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是 “并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形 不是平行四边形”． ２．提示:对于含有一个量词的命题,容易知道它是全称量词命 题或存在量词命题．一般地,省略了量词的命题是全称量词 命题,可加上“所 有 的”或“对 任 意”,它 的 否 定 是 存 在 量 词 命题． 预习自测 １．解析:这 是 一 个 全 称 命 题,其 否 定 为 ∃x∈R,|x－２|＋ |x－４|≤３． 答案:∃x∈R,|x－２|＋|x－４|≤３ ２．D　[原命题的否定为:∀x∈∁RQ,x３∉Q．] ３．D　[全称量词命题的否定是存在量词命题,􀱑p是∃x∈R, ２x２＋１≤０．] 课堂互动学案 [例１]　解:(１)该命题的否定:∃x∈R,１－ x－１２( ) ２ ＞１, 因为∀x∈R,x－１２( ) ２ ≥０, 所以－ x－１２( ) ２ ≤０,１－ x－１２( ) ２ ≤１恒成立, 所以这是一个假命题． (２)该命题的否定:至少存在一个正方形不是矩形,假命题． (３)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x２ 的个位数等于３, 因为０２＝０,１２＝１,２２＝４,３２＝９,４２＝１６,５２＝２５;６２＝３６, ７２＝４９,８２＝６４,９２＝８１,􀆺􀆺,所以这是一个假命题． (４)该命题省略了量词“所有的”,该命题是全称量词命题,它 的否定:有的正数的绝对值不是它本身．这是一个假命题． [例２]　[解]　(１)该命题的否定:任意分数都是有理数,这是 一个真命题． (２)该命题的否定:∀x,y∈Z,３x－４y≠２０,当x＝４,y＝－２ 时,３x－４y＝２０．因此这是一个假命题． (３)该命题的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有 解,这是一个假命题． (４)该命题的否定:所有梯形的对角线不相等,如等腰梯形的 对角线相等,因此这是一个假命题． [例３]　[解析]　法一:由题意,知命题“对任意实数x, 使x２＋ax＋１≥０”是真命题,故Δ＝a２－４×１×１≤０, 解得－２≤a≤２． 法二:由题意,知命题“存在实数x,使x２＋ax＋１＜０”是假 命题．若命题“存在实数x,使x２＋ax＋１＜０”是真命题, 则Δ＝a２－４×１×１＞０,解得a＞２或a＜－２, 所求实数a的取值范围是{a|－２≤a≤２}． [答案]　{a|－２≤a≤２} 变式训练 １．解:(１)其否定为:存在一个平行四边形,它的对边不都平行． (２)其否定为:存在一个圆不是轴对称图形． (３)其否 定 为:∃a,b∈R,使 方 程ax＝b的 解 不 唯 一 或 不 存在． (４)其否定为:存在被５整除的整数,末位不是０． ２．解:(１)命题的否 定 是“不 存 在 一 个 实 数,它 的 绝 对 值 是 正 数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (２)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个 平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形,因此命题 的否定是假命题． (３)命题的否定是“∀x,y∈Z,２x＋y≠３”．当x＝０,y＝３ 时,２x＋y＝３,因此命题的否定是假命题． ３．解:因为命题“∃x∈{x|１≤x≤２}, 使x２＋２x＋a≥０”为真命题, x∈{x|１≤x≤２}时,x２＋２x的最大值为８, 所以a≥－８时,命题“∃x∈{x|１≤x≤２}, 使x２＋２x＋a≥０”为真命题． 所以a的取值范围为{a|a≥－８}． 随堂步步夯实 １．D　[命题p:∀x∈N,x３＞x２ 的否定形式是存在量词命题, ∴􀱑p:“∃x∈N,x３≤x２”．] ２．C　[①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故 ①错误;②命题“∀x∈R,x２＋２＜０”是全称量词命题,故② 正确;③若p:∃x∈R,x２＋４x＋４≤０,则􀱑p;∀x∈R,x２＋ ４x＋４＞０,故③正确．] ３．∃x∈R,１x－２＞０ 或x－２＝０． ４．解析:∵命题“∃x∈R,x２＋２x＋m≤０”的否定是“∀x∈R, x２＋２x＋m＞０”． 而命题“∃x∈R,x２＋２x＋m≤０”是假命题, 则其否定“∀x∈R,x２＋２x＋m＞０”为真命题． ∴两位同学题中m 范围是一致的． 答案:是 ５．解:(１)由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题, 所以B⊆A,B≠∅, 所以 m＋１≤２m－１, m＋１≥－２, ２m－１≤５,{ 解得２≤m≤３． 所以m 的取值范围为[２,３]． (２)q为真,则A∩B≠∅, 因为B≠∅,所以m≥２． 所以 m＋１≤５, ２m－１≥－２, m≥２．{ 解得２≤m≤４． 所以m 的取值范围为[２,４]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１２􀅰 数学􀅰必修第一册 ２．２　全称量词与存在量词 第１课时　全称量词命题与存在量词命题 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解命题的概念,能判断真假 ２．通过已知的数学实例,理解全称量词与存在 量词的意义 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应 数学内容,重点提升数学抽象、逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在某个城市中有一位理发师,他的广告词 是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满 全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮 脸,我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚 欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那 些不给自己刮脸的人．可是,有一天,这位理发 师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓 起了剃刀,他们说他能不能给他自己刮脸呢? 如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮 脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己 刮脸呢? 他又属于“给自己刮脸的人”,他就不 该给自己刮脸． 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题． (１)文中理发师说:“我将给所有的不给自己刮脸 的人刮脸”．对“所有的”这一词语,你还能用其他 词语代替吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (２)上述词语都有什么含义? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　全称量词命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．全称量词命题的定义 在给定集合中,断言　　　　元素都具有同 一种性质的命题叫作全称量词命题． ２．全称量词 定义 在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意” “任何”“一切”这样的词叫作全称量词 符号表示 用符号“∀”表示,读作“对任意的” [知识点二]　存在量词命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．存在量词命题的定义 在给定集合中,断言　　　　元素具有一种 性质的命题叫作存在量词命题． ２．存在量词 定义 在命题中,诸如“有些”“有一个”“存 在”这样的词叫作存在量词 符号表示 用符号“∃”表示,读作“存在” 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如何判断一个命题是全称量词命 题还是存在量词命题? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点三]　全称量词命题与存在量词命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的表示方法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有　　　　的命 题,叫做全称量词 命题． 含有　　　　的命题, 叫做存在量词命题． 表示 全称量词命题“对 M 中任意一个x, p(x)成立”可用符 号 简 记 为:　 　 　　． 存在量 词 命 题 “存 在 M 中的元素x．p(x) 成立”可 用 符 号 简 记 为:　　　　 ２．本质:全称量词的含义是“任意性”,存在量 词的含义是“存在性”． ３．应用:全称量词、存在量词是数学和日常生 活中使用频率很高的一种逻辑用语,数学中 存在大量的全称量词命题和存在量词命题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第一章　预备知识 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．全称量词命题中的“x,M 与p(x)” 表达的含义分别是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．将“x２＋y２≥２xy对任意实数x 恒成立”改 写成符号形式为 (　　) A．∀x,y∈R,x２＋y２≥２xy B．∃x,y∈R,x２＋y２≥２xy C．∀x＞０,y＞０,x２＋y２≥２xy D．∃x＜０,y＜０,x２＋y２≥２xy ２．下列命题中,不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以０都等于０ B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 ３．给出下列命题: ①∀x∈R,x２＞０; ②∃x∈R,x２＋x＋１≤０; ③∃a∈∁RQ,b∈∁RQ,使得a＋b∈Q． 其中真命题的个数为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　全称量词命题与存在量词命题的识别 [例１]判断下列语句是全称量词命题,还是 存在量词命题: (１)凸多边形的外角和等于３６０°; (２)有的平行四边形是菱形; (３)有一个数是素数也是合数; (４)菱形的对角线相互垂直． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依据全称量词命题与存在量 词的概念判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断一个语句是全称量词命题还是存在量 词命题的思路 [提醒]　全称量词命题可能省略全称量 词,存在量词命题的存在量词一般不能 省略． 􀳀[变式训练] １．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题: (１)不等式x２＋x＋１＞０恒成立; (２)当x为有理数时,１３x ２＋１２x＋１ 也是有 理数; (３)对所有实数a,b,方程ax＋b＝０恰有一 个解; (４)有些整数既能被２整除,又能被３整除． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 [例２]判断下列命题的真假: (１)∃x∈Z,x３＜１; (２)存在一个四边形不是平行四边形; (３)在平面直角坐标系中,任意有序实数对 (x,y)都对应一点P; (４)∀x∈N,x２＞０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依命题真假的判断方法作出 结论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词命题与存在量词 命题的真假判断的技巧 (１)要判定一个全称量词命题是真命题,必 须对限定集合 M 中的每个元素x 验证 p(x)成立;但要判定全称量词命题是 假命题,只要能举出集合M 中的一个x, 使得p(x)不成立即可． (２)要判定一个存在量词命题是真命题,只 要在限定集合 M 中,能找到一个x 使 p(x)成立即可;否则,这个存在量词命 题就是假命题． 􀳀[变式训练] ２．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命 题并判断其真假: (１)自然数的平方大于零; (２)存在一对整数x,y,使２x＋４y＝３; (３)存在一个无理数,它的立方有理数． 　　　全称量词命题、存在量词命题的应用 [例３]　(１)已知集合A＝{x|１≤x≤２},若命 题“∀x∈A,一次函数y＝x＋m 的图象在 x 轴上方”是真命题,则实数m 的取值范围 是　　　　． (２)若命题“∃x∈R,使得方程ax２＋２x－１ ＝０成立”是真命题,求实数a的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)∀x∈A＝{x|１≤x≤２} 在一次函数y＝x＋m 的图象,在x轴的 上方,则１＋m＞０． (２)由题意,分a＝０和a≠０两种情况讨论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (１)含参数的全称量词命题为真时,常与不 等式恒成立有关,可根据有关代数恒等 式(如x２≥０),确定参数的取值范围． (２)含参数的存在量词命题为真时,常转化 为方程或不等式有解问题来处理,可借 助根的判别式等知识解决． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知对任意的x∈{x|１≤x≤３},都有 m≥x,求实数m 的取值范围; (２)已知存在实数x∈{x|１≤x≤３},使m≥x, 求实数m 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 第一章　预备知识 １．下列命题是全称量词命题的个数是 (　　) ①任何实数都有平方根;②所有素数都是奇 数;③有些一元二次方程无实数根;④三角 形的内角和是１８０°． A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ２．下列命题中是全称量词命题并且是真命题 的是 (　　) A．∃x＞１,x２－２x－３＝０ B．若２x为偶数,则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 ３．下列存在量词命题是真命题的序号是　　　． ①有些不相似的三角形面积相等; ②存在实数x,使x２＋２＜０; ③存在实数a,使函数y＝ax＋b的值随x 的增大而增大; ④有一个实数的倒数是它本身． ４．已知命题“∃x∈R,２x２＋(a－１)x＋１２≤０ ”是 假命题,则实数a的取值范围是　　　　． ５．是否存在整数 m,使得命题“∀x≥－１４ , －５＜３－４m＜x＋１”是真命题? 若存在,求 出m 的值;若不存在,请说明理由． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能正确使用存在量词对全称量词命题进行 否定 ２．能正确使用全称量词对存在量词命题进行 否定 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的 学习,重点提升数学抽象、逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　一位探险家被土人抓 住,土人首领说:“如果你说 真话,你将被烧死,说假话, 将被五马分尸．” 请问探险家该如何保命? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　全称量词命题与存在量词命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的否定 􀪋􀪋􀪋􀪋 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定形式 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题; 存在量词命题的否定是全称量词命题 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 数学􀅰必修第一册