第一章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

随堂步步夯实 １．B　[因为X＝{－２,－１,０,１},Y＝{－１,０,１,２,３}, 所以X∩Y＝{－１,０,１}．] ２．A　 [如 图,借 助 数 轴 可 知 A∪B＝{x|x≥－１}．] ３．B　[因为集合A＝{x|－１＜ x＜３},集合B＝{x||x|≤２} ＝{x|－２≤x≤２},所以A∩B ＝{x|－１＜x≤２},故 AC均错误;A∪B＝{x|－２≤x＜３}, 故B正确,D错误．] ４．{a|－３≤a＜－１} ５．解:∵A∪B＝A,∴B⊆A． ∵A＝{－２}≠∅,∴B＝∅或B≠∅． 当B＝∅时,方程ax＋１＝０无解,此时a＝０． 当B≠∅时,此时a≠０,则B＝ －１a{ }, ∴－１a∈A ,即－１a＝－２ ,得a＝１２． 综上,a＝０或a＝１２． 第２课时　全集与补集 课前预习学案 情境引入 　提示　没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云,冯佳,薛香 芹,钱忠良,何晓慧}． 知识梳理　知识点一 １．所有元素　２．U [思考] １．提示:全集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的 所有的元素,所以全集因问题的不同而异,所以全集不一定 是实数集． 知识点二 １．所有元素　集合A 的补集　∁UA　{x|x∈U,且x∉A} ４．(１)U　(２)∅　(３)∅　A [思考] ２．提示:A⊆U,∁UA⊆U,A∪(∁UA)＝U,A∩(∁UA)＝∅． 预习自测 １．A ２．A　[由题意知,∁UN＝{２,４,８},所以 M∪(∁UN)＝{０,２,４, ６,８}．] ３．５ 课堂互动学案 [例１]　 [解]　 借 助 Venn 图,如 图 所示, 得U＝{１,２,３,４,５,６,７,８,９}, ∵∁UB＝{１,４,６,８,９}, ∴B＝{２,３,５,７}． [例２]　[解]　(１)如图所示 ∵A＝{x|－２＜x＜３},B＝{x|－３≤x≤２}, ∴∁UA＝{x|x≤－２,或３≤x≤４}, ∁UB＝{x|x＜－３,或２＜x≤４}． ∴A∩B＝{x|－２＜x≤２}, (∁UA)∪B＝{x|x≤２,或３≤x≤４}, A∩(∁UB)＝{x|２＜x＜３}． (２)法一:A∩B＝{４},A∪B＝{３,４,５,７,８}． ∵∁UA＝{１,２,６,７,８},∁UB＝{１,２,３,５,６}, ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{１,２,６},A∩(∁UB)＝{３,５}, (∁UA)∪B＝{１,２,４,６,７,８}． 法二:A∩B,A∪B,A∩(∁UB)求法同法一． (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{１,２,６}, (∁UA)∪B＝∁U(A∩(∁UB))＝{１,２,４,６,７,８}． 法三:画出 Venn图,如图所示,观察此图可得, A∩B＝{４},A∪B＝{３,４,５,７,８}, A∩(∁UB)＝{３,５},(∁UA)∪B＝{１,２,４,６,７,８}, (∁UA)∩(∁UB)＝{１,２,６}． [例３]　[解]　∁RB＝{x|x≤１,或x≥２}≠∅, ∵A⫋∁RB, ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅,此时有２a－２≥a, ∴a≥２． ②若A≠∅,则有 ２a－２＜aa≤１{ ,或 ２a－２＜a ２a－２≥２{ ． ∴a≤１． 综上所述,实数a的取值范围为a≤１,或a≥２． 变式训练 １．D　[根据集合A 的定义,绝对值的意义可知,逐一带入x＝ ０,１,２,３,４到|x－２|＜１中,只有x＝２符合,于是A＝{２}, 所以∁UA＝{０,１,３,４}．] ２．(１)A　[因为U＝{１,２,３,４,５,６,７,８},B＝{１,３,４,６,７), 所以∁UB＝{２,５,８}． 又A＝{２,３,５,６},所以A∩(∁UB)＝{２,５}．] (２)解:将集合A,B,P 分别表示在数轴上,如图所示． 因为A＝{x|－４≤x＜２},B＝{x|－１＜x≤３}, 所以A∩B＝{x|－１＜x＜２}． ∁UB＝{x|x≤－１,或x＞３}． 又P＝ x|x≤０,或x≥５２{ }, 所以(∁UB)∪P＝ x|x≤０,或x≥ ５ ２{ }．又∁UP＝ x|０＜x＜ ５ ２{ }, 所以(A∩B)∩(∁UP) ＝{x|－１＜x＜２}∩ x|０＜x＜５２{ } ＝{x|０＜x＜２}． ３．C　[∵M∩N＝N, ∴N⊆M,如图所示, ∴∁UM⊆∁UN．] 随堂步步夯实 １．B ２．A　[因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x|x＝３k＋１,k∈Z}∪ {x|x＝３k＋２,k∈Z},所以∁U(M∪N)＝{x|x＝３k,k∈Z}．] ３．{x|x＜１,或x≥２} ４．７ ５．解:因为∁UA＝{５},所以５∈U 但５∉A, 所以m２－m－１＝５, 解得m＝３或m＝－２． 当m＝３时,|３－２m|＝３≠５, 此时U＝{３,５,６},A＝{３,６},满足∁UA＝{５}; 当m＝－２时,|３－２m|＝７≠５, 此时U＝{３,５,６},A＝{６,７},不符合题意舍去． 综上,可知m＝３． §２　常用逻辑用语 ２．１　必要条件与充分条件 第１课时　必要条件与充分条件 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)一定亮． (２)不一定,还可能是C开关闭合． 知识梳理　知识点一 １．⇒　⇒/　充分　必要　充分　必要 [思考] １．提示:相同,都是p⇒q． ２．提示:这五种表述形式是等价的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１２􀅰 参考答案 知识点二 １．判定　２．性质 预习自测 １．B　[当x＝０时,(２x－１)x＝０．当(２x－１)x＝０时,x＝１２ 或 x＝０．∴“(２x－１)x＝０”是“x＝０”的必要不充分条件．] ２．B　[当a＞０,b＞０时, ab ＝ a b 成立;而当 a b ＝ a b 成立 时,a≥０,b＞０．] ３．解析:(１)当x,y互为相反数时有x２＝y２ 但x≠y; (２)是平行线判定定理． 答案:(１)⇒/ 　(２)⇒ 课堂互动学案 [例１]　解:(１)等腰梯形的两条对角线相等．因此,p⇒q, 所以q是p 的必要条件． (２)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/q,所以q不是p 的必要条件． (３)若１x＝ １ y ,则x＝y是真命题． 因此p⇒q,所以q是p 的必要条件． (４)命题“若关于x的方程ax＋b＝０(a,b∈R)有唯一解,则 a＞０”为假命题,因此p⇒/q,所以q不是p 的必要条件． [例２]　解:(１)由于 Q⫋R, 所以p⇒q,所以p是q的充分条件． (２)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ , 因为p⇒/q, 所以p不是q的充分条件． (３)由x＞１可以推出x２＞１．因此p⇒q, 所以p是q的充分条件． (４)由三角形中大角对大边可知,若∠A＞∠B,则BC＞AC． 因此p⇒q,所以p是q的充分条件． [例３]　[解]　p:３a＜x＜a, 即集合A＝{x|３a＜x＜a,a＜０}． q:－２≤x≤３,即集合B＝{x|－２≤x≤３}． 因为p⇒q,所以A⊆B, 所以 ３a≥－２, a≤３, a＜０,{ 解得－ ２ ３≤a＜０． 所以实数a的取值范围是 a|－２３≤a＜０{ }． 变式训练 １．解:(１)该命题是真命题,p⇒q,所以q是p 的必要条件． (２)因为∠α＝６０°３２′, 所以∠α的余角为９０°－６０°３２′＝２９°２８′． p⇒q,所以q是p 的必要条件． (３)因为３＋４＜９,所以长分别为３cm、４cm 和９cm 的三条 线段不 能 组 成 三 角 形,所 以 p⇒/q,所 以q 不 是p 的 必 要 条件． (４)两个偶数的乘仍是偶数． 所以p⇒q,所以q是p 的必要条件． ２．D　[由２x２－５x－３＜０,可得(２x＋１)(x－３)＜０,解得－１２ ＜x＜３．则不等式的解集为A＝ x|－１２＜x＜３{ },因此,不 等式２x２－５x－３＜０成立的一个充分不必要条件,对应的x 的取值范围应该是集合A 的真子集,只有选项 D满足．] ３．解析:由题意得,M∪N＝N,所以“a∈M”⇒“a∈N”, 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案:充分 ４．解:(１)若２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的充分条件． 则只要{x|x＜－m２} ⊆{x|x＜－１,或x＞３}, 即只需－m２≤－１ ,所以m≥２． 故存在实数m≥２,使２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的充分 条件． (２)若２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的必要条件, 则只要{x|x＜－１,或x＞３}⊆{x|x＜－m２ } ,这 是 不 可 能的． 故不存在实数 m,使２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的必要 条件． 随堂步步夯实 １．B　[由于“x２＝x＋６”,则“x＝± x＋６”,故“x２＝x＋６”是 “x＝ x＋６”的必要不充分条件．] ２．BD　[因为|x＋１|≤４⇒－５≤x≤３⇒－６≤x≤３,但－６≤x ≤３⇒/ －５≤x≤３． 同理－５≤x≤３⇒－５≤x≤４,但－５≤x≤４⇒/ －５≤x≤３．] ３．解析:方程x２－４x＋a＝０有实根,需要Δ≥０,即a≤４, 所以当a＝２时方程有实根．所以是充分条件． 答案:充分 ４．解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以p⇒q但 q⇒/p,即{x|－２≤x≤１０}是{x|１－m≤x≤１＋m}的真子集, 所以 １－m＜－２, １＋m≥１０,{ 或 １－m≤－２, １＋m＞１０,{ 解得m≥９． 所以实数m 的取值范围为{m|m≥９}． 第２课时　充要条件 课前预习学案 情境引入 　提示　一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作:p⇔q． 知识梳理　知识点 １．充分必要　充要　互为充要 [思考] １．提示:正确．若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q． ２．提示:①p是q的充要条件说明p 是条件,q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论． 预习自测 １．D　[对于 A,p:x＞１,q:x＜１,所以p 是q 的既不充分也不 必要条件;对于B,p⇒q,但q⇒/p,所以p是q的充分不必要 条件;对于 C,p⇒/q,但q⇒p,所以p 是q 的必要不充分条 件;对于 D,显然q⇔p,所以p是q的充要条件．] ２．A　[条件乙:－１＜x＜５．∴０＜x＜５⇒－１＜x＜５,但－１＜ x＜５⇒/０＜x＜５,∴甲是乙的充分不必要条件．] ３．解析:当m＝０时,显然满足条件,当m≠０时, 由一元二次不等式恒成立得 m ２＋８m＜０ m＜０{ , 解得－８＜m＜０,综上可知,m∈(－８,０], 所以不等式mx２－mx－２＜０对任意x∈R恒成立的充要条 件是m∈(－８,０]． 答案:(－８,０] 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由三角形中大角对大边可知,若A＞B,则a ＞b,即p⇒q,反之,若a＞b,则A＞B,即q⇒p． 因此,p是q的充要条件． (２)由x＞１可以推出x２＞１即p⇒q;由x２＞１,得x＜－１或 x＞１,不一定有x＞１即q⇒/p． 因此,p是q的充分不必要条件． (３)由(a－２)(a－３)＝０可以推出a＝２或a＝３,不一定有 a＝３即p⇒/q; 由a＝３可以得出(a－２)(a－３)＝０即q⇒p． 因此p是q的必要不充分条件． (４)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ , 故若a＜b,不一定有ab ＜１ ;当a＞０,b＞０,ab ＜１ 时, 可以推出a＜b; 当a＜０,b＜０,ab ＜１ 时,可以推出a＞b． 因此p是q的既不充分也不必要条件． [例２]　[解]　设p:０＜m＜１３ ,q:方程mx２－２x＋３＝０有两 个同号不相等实根． (１)充分性(p⇒q): 因为０＜m＜１３ ,所以Δ＝４－１２m＞０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 数学􀅰必修第一册 １．设集合U＝{１,２,３,４,５},A＝{１,２,３},B＝ {２,３,４},则∁U(A∩B)＝ (　　) A．{２,３}　　　　　　B．{１,４,５} C．{４,５) D．{１,５} ２．(２０２３􀅰全国甲卷)设集合M＝{x|x＝３k＋１, k∈Z},N＝{x|x＝３k＋２,k∈Z},U 为整数 集,则∁U(M∪N)＝ (　　) A．{x|x＝３k,k∈Z} B．{x|x＝３k－１,k∈Z} C．{x|x＝３k－２,k∈Z} D．∅ ３．已知全集U＝R,M＝{x|－１＜x＜１},∁UN＝ {x|０＜x＜２},那么集合M∪N＝　　　　． ４．设U＝R,A＝{x|a≤x≤b},若∁UA＝{x| x＜３,或x＞４},则a＋b＝　　　　． ５．设全集U＝{３,６,m２－m－１},A＝{|３－２m|,６}, ∁UA＝{５},求实数m． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §２　常用逻辑用语 ２．１　必要条件与充分条件 第１课时　必要条件与充分条件 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义, 理解判定定理与充分条件的关系 ２．通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义, 理解性质定理与必要条件的关系 通过对充分条件、必要条件的学习和 理解,体会充分条件、必要条件在数学 表达、论证等方面的作用,重点提升逻 辑推理素养与数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　某居民的卧室里安有一 盏灯,在卧室门口和床头各 有一个开关,任意一个开关 都能够独立控制这盏灯．这 就是电器上常用的“双刀”开关,如图所示． (１)A 开关闭合时B 灯一定亮吗? (２)B 灯亮时A 开关一定闭合吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　充分条件与必要条件 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 p　　q p　　 q 条件 关系 p是q的　　条件 q是p 的　　条件 p不是q的　　条件 q不是p 的　　条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 数学􀅰必修第一册 ２．本质:当命题q⇒p是真命题时,条件p与结 论q之间的逻辑称谓． ３．应用:充分条件、必要条件是两个常用的逻 辑用语,数学学科中大量的命题用它们来 叙述． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．p是q的充分条件与q是p 的必要 条件所表示的推出关系是否相同? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q 的充 分条件;③q的充分条件是p;④q是p 的 必要条件;⑤p 的必要条件是q．这五种表 述形式等价吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　判定定理、性质定理与充分条 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 件、必要条件的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．数学中的每一条　　　　定理都给出了相 应数学结论成立的一个充分条件． ２．数学中的每一条　　　　定理都给出了相 应数学结论成立的一个必要条件． [预习自测] １．“(２x－１)x＝０”是“x＝０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．ab＝ a b 的一个充分条件是 (　　) A．a≥０,b≥０ B．a＞０,b＞０ C．a≤０,b≤０ D．a≤０,b＜０ ３．用符号“⇒”“⇒/ ”填空． (１)x２＝y２ 　　　　x＝y; (２)内错角相等　　　　两直线平行． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　必要条件的判断 [例１]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命 题中的q是p 的必要条件? (１)若一个四边形是等腰梯形,则这个四边 形两条对角线相等; (２)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰 三角形; (３)若１x＝ １ y ,则x＝y; (４)若关于x的方程ax＋b＝０((a,b∈R)有 唯一解,则a＞０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　找到条件和结论的关系,是 判断必要条件的关键． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　预备知识 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必要条件的两种判断方法 (１)定义法: (２)命题判断方法: 如果命题:“若p,则q”是真命题,则 q是p 的必要条件; 如果命题:“若p,则q”是假命题,则 q不是p 的必要条件． 􀳀[变式训练] １．下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中 的q是p 的必要条件? (１)若两个三角形全等,则这两个三角形对 应边上的中线相等． (２)若∠α＝６０°３２′,则∠α的余角是２９°２８′． (３)若有三条线段长分别为３cm、４cm 和 ９cm,则这三条线段能组成三角形． (４)若a和b都是偶数,则a×b是偶数． 　充分条件的判断 [例２]判断下列各题中,p 是否是q 的充分 条件: (１)p:a∈Q,q:a∈R; (２)p:a＜b,q:ab＜１ ; (３)p:x＞１,q:x２＞１; (４)在△ABC中,p:∠A＞∠B,q:BC＞AC． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　分清命题的条件和结论,判断 是由条件推出结论,还是由结论推出条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充分条件的两种判断方法 (１)定义法: (２)命题判断方法: 如果命题:“若p,则q”是真命题,则p 是q的充分条件; 如果命题:“若p,则q”是假命题,则p 不是q的充分条件． 􀳀[变式训练] ２．命题“２x２－５x－３＜０”的一个充分不必要条 件是 (　　) A．－１２＜x＜３　　　B．－ １ ２＜x＜４ C．－３＜x＜１２ D．１＜x＜２ ３．设集合M＝{x|０＜x≤２},N＝{x|０＜x≤３},那 么“a∈M”是“a∈N”的　　　　条件．(填“充 分”或“必要”) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　充分条件与必要条件的应用 [例３]　已知p:实数x满足３a＜x＜a,其中 a＜０;q:实数x满足－２≤x≤３．若p是q的 充分条件,求实数a的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依充分条件的定义构造不等式 组求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (１)化简p,q两命题． (２)根据p与q的关系(充分、必要条件)转 化为集合间的关系．依据如下: p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (３)根据集合间的关系,利用集合端点的大 小建立不等式组． (４)求解参数范围． 特别提醒:验证集合为∅时是否符合题意． 􀳀[变式训练] ４．(１)是否存在实数m,使２x＋m＜０是x＜－１ 或x＞３的充分条件? (２)是否存在实数m,使２x＋m＜０是x＜－１ 或x＞３的必要条件? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知x∈R,则“x２＝x＋６”是“x＝ x＋６”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(多选)使不等式|x＋１|≤４成立的一个必 要条件,但不是充分条件是 (　　) A．２≤x≤３　　　　　B．－６≤x≤３ C．－５≤x≤３ D．－５≤x≤４ ３．“a＝２”是“方程x２－４x＋a＝０有实根”的 　　　　条件．(用“充分”“必要”填空) ４．已知p:－２≤x≤１０,q:１－m≤x≤１＋m,且p 是q的充分条件,但不是必要条件,求实数m 的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第一章　预备知识