第一章 1.3 第1课时 交集与并集-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

数学·必修第一册 1.3集合的基本运算 第1课时 交集与并集 课程标准 素养解读 能用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言） 理解两个集合之间的并集和交集的含义，能 表达集合的交集和并集运算，发展学生的数学 求两个集合的交集与并集 抽象和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] ②A∩A=: 某班有学生20人， ③A∩☑=☑∩A=: 他们的学号分别是1,2， ④(A∩B) A,(A∩B) B: 3,…,20,现有a,b两本 ⑤如果A二B,则A∩B= ,反之也 新书，已知学号是偶数的 成立。 读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b. 2思考1.当集合A,B无公共元素时，A与B (1)问至少读过一本书的有哪些同学？ 有交集吗？ (2)同时读了a,b两本书的有哪些同学？ [知识梳理] [知识点二]并集 [知识点一]交集的概念 1.并集的概念 1.交集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个 ①自然语言：一般地，给定两个集合A,B,由 集合A,B,由这两个集合的 A又 的所有元素（即A和B 元素组成的集合，称 的公共元素)组成的集合，称为A与B的 为A与B的并集. 交集 ②符号语言：A与B的并集记作AUB(读作 ②符号语言：A与B的交 “A并B”),则AUB= 集记作A∩B(读作“A交 ③图形语言：如图所示. B”),则A∩B= ④我们经常使用的“或”可以借助集合的并集 来理解。 ③图形语言：如右图所示」 2.并集运算的性质 ④我们经常使用的“且”可以 ①AUB= ;②AUA= 借助集合的交集来理解。 ③AU☑=☑UA= 2.交集运算的性质 ④A(AUB).B (AUB); 对于任意两个集合A,B,都有： ⑤如果A二B,则AUB= ,反之也 ①A∩B= 成立 ·12· 第一章预备知识 ?思考2.集合AUB的元素个数是否等于集 [预习自测] 合A与集合B的元素个数和？ 1.设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则 A∩B= A.☑ B.{2) 3.若x∈(A∩B),则x∈(AUB)吗？反之 若x∈(AUB),则x∈(A∩B)吗？ C.{-2,2 D.{-2,1,2,3} 2.(2023·北京卷)已知集合M={x|x十2≥0}， N={xx-1<0},则M∩N= ( 4.若A∩B=A,则A与B有何关系？若AUB A.{x|-2≤x<1} B.{x-2<x≤1} =A,则A与B又有什么关系？ C.{x|x>-2} D.{x|x<1} 3.若集合M={-1,0,1},集合N={0,1,2}, 则MUV 课堂。互动学案 题型 交集的运算 ⊙[变式训练] 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={yy= [例1](1)设集合S={xx2+2.x=0,x∈R}, 2x2-1,x∈A},则A∩B= T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T= A.{-1,1} B.(1} ( C.{-1,0,1} D.{0y A.{0》 B.{-2} 题型二 并集的运算 C.{-2,0 D.{-2,0,2} [例2](1)设集合M={x|x2+2x=0,x∈ (2)已知集合M={x-1<x<3},N={x R},N={xx2-2x=0,x∈R},则MUN= -2<x<1},则M∩N= ( ) A.{x-2<x<1} B.{x|-1<x<1}》 A.{0y B.{0,2} C.{x1<x<3} D.{x|-2<x<3 C.{-2,0} D.{-2,0.2} [思路点拨了()求出集合S,T的元素， (2)已知集合M={x|-3<x≤5}，N= 再根据交集的定义求解 {xlx<-5或x>5},则MUN=() A.{xx<-5,或x>-3} (2)借助数轴求解， B.{x|-5<x<5 [尝试解答](1) (2) C.{x|3<x<5} 规律方法 D.{xx<-3,或x>5 (1)两个集合求交集，结果还是一个集合， 汇思路点拨](1)定义法：若集合是用列举 是由集合A与B的公共元素组成的集 法表示的，可以直接利用并集的定义 合，当两个集合没有公共元素时，两个 求解； 集合的交集是空集，而不能说两个集合 (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的 没有交集， 由实数组成的数集，则可以借助数轴分 (2)求涉及不等式表示的集合的交集时，借 析法求解. 助数轴求解可化抽象为直观， [尝试解答](1) (2) ·13· 数学·必修第一册 规律方法 2.并集的性质 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并 (1)①AC(AUB),B≤(AUB): 集的定义求解，但要注意集合中元素的 ②A=AUA,A=AU⑦； 互异性. ③AUB=BUA. (2)若集合是实数集的子集，可借助数轴， (2)若A二B,则AUB=B:反之若AUB=B, 利用数轴分析法求解，但要注意端点值 则ACB.由于A=AU☑，因此，AUB 的取舍. B中的A可以为空集，这一点是要特 ◇[变式训练] 别注意的. 2.已知集合P=(-∞，3)，集合Q={x|-1≤ 3.利用集合交集、并集的性质解题的方法 x≤4}，则PUQ ( (1)在利用集合的交集、并集性质解题时， A.[1,3) B.[-1,4] 常常会遇到A∩B=A,AUB=B等这 C.(-∞，4] D.[-1,+∞) 类问题，解答时常借助于交、并集的定 题型集合并集、交集性质的应用 义及上节学习的集合间的关系去分析， [例3](1)已知集合A={xx≥2}，B={x 如A∩B=A台A三B,AUB=B台A□ x≥m},且AUB=A,则实数m的取值范围 B等，解答时应灵活处理. 是 (2)当集合B二A时，如果集合A是一个确 (2)已知A={x|2a≤x≤a+3},B={xx< 定的集合，而集合B不确定，运算时 -1,或x>5},若A∩B=A,求a的取值 定要考虑B=☑的情况，切不可漏掉. 范围。 ⊙[变式训练] [思路点拨](1)由AUB=A,得BCA, 3.设集合A={x|x2-3.x+2=0},B={x 可求出m的取值范围， x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}. (2)由于A∩B=A,∴.A二B.结合数轴分 (1)若A∩B={2},求实数a的值； A=⑦与A≠⑦两种情况分别求解. (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. 规律方法 1.交集的性质 (1)①(A∩B)二A,(A∩B)CB; ②A=A∩A,A∩☑=☑； ③A∩B=B∩A. (2)若A二B,则A∩B=A:反之若A∩B =A,则A二B.由于A∩☑=☑，因此， A∩B=A中的A可以为空集.空集的 这一特殊性要特别注意， ·14· 第一章预备知识 随堂。步步夯实 1.设集合X={x∈Z-3<x<2},Y={y∈Z 4.已知A={x|a<x≤a+8},B={xx<-1 -1≤y≤3}，则X∩Y= ( 或x>5},若AUB=R,则a的取值范 A.{0,1} B.{-1,0,1} 围为 C.{0,1,2 D.{-1,0,1,2 5.设集合A={-2},B={xax+1=0,a∈R, 2.已知集合A={xx>0},B={x-1≤x≤2， 若AUB=A,求a的值. 则A∩B= ( A.{xx≥-1》 B.{xx≤2} C.{x|0<x≤2 D.{x|-1≤x≤2} 3.已知集合A={x|-1<x<3},集合B= {x|x≤2}，则 () A.A∩B={x|-2≤x<3 B.AUB={x|-2≤x<3} C.A∩B={x|-1<x<2} ©温馨提污 D.AUB=(xlx<3) 学习至此，请完成配套训练 第2课时 全集与补集 课程标准 素养解读 1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补 2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题 集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言 3.能借助Venn图，利用集合运算解决有关的（自然语言、图形语言、符号语言）表达和转换， 实际应用问题 提升数学抽象和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 某学习小组学生的 [知识点一]全集 集合为U={王明，曹勇， 1.概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 王亮，李冰，张军，赵云， ,那么就称这个集合为全集， 冯佳，薛香芹，钱忠良，何 2.记法：通常记作 晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大 ?思考1.在集合运算问题中，全集一定是实 赛中获得过金奖的学生集合为P={王明，曹 勇，王亮，李冰，张军} 数集吗？ 没有获得金奖的学生有哪些？ ·15·(２)解:这样的集合共有３个． ∵{x∈N|－１＜x＜３}＝{０,１,２},A⫋{０,１,２}且A 中至少 有一个元素为奇数, ∴当A 中含有１个元素时,A 可以为{１}; 当A 中含有２个元素时,A 可以为{０,１},{１,２}． ２．解析:(１)如图所示 A 的范围包含B 的范围,所以B⊆A． (２)根据子集的定义,①显然正确;②中只有正方形才既是菱 形,也是矩形,其他的菱形不是矩形;③中集合{x|x２＝０}中 的元素只有一个“０”,因此是集合{０}的子集;④中{(０,１)}的 元素是有序实数对,而{０,１}是数集,元素不同;⑤中两个集 合之间使用了“∈”符号,这是用来表示元素与集合的关系时 使用的符号,⑤错;⑥显然错误．应有{x|x＞１}⫌{x|x≥２)． 故填①③． 答案:(１)B　(２)①③ ３．B　[依题意,a－２＝０或２a－２＝０,当a－２＝０时,解得a＝ ２,此时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不符合题意;当２a－２＝０ 时,解得a＝１,此 时 A＝{０,－１},B＝{１,－１,０},符 合 题意．] 随堂步步夯实 １．C ２．B　[{３,２}＝{２,３}．] ３．７　４．６ ５．解:(１)若A⫋B,由图可知a＞２． (２)若B⊆A,由图可知,１≤a≤２． １．３　集合的基本运算 第１课时　交集与并集 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)至少读过一本书的有学号为２,３,４,６,８,９,１０, １２,１４,１５,１６,１８,２０的同学． (２)同时读了a,b两本书的有学号为６,１２,１８的同学． 知识梳理　知识点一 １．①既属于　属于B　②{x|x∈A,且x∈B} ２．①B∩A　②A　③∅　④⊆　⊆　⑤A [思考] １．提示:有．交集为空集． 知识点二 １．所有　{x|x∈A,或x∈B}　２．B∪A　A　A　⊆　⊆　B [思考] ２．提示:不一定．A∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合 B 的元素个数和． ３．提示:若x∈(A∩B),则x∈(A∪B)成立; 反之,若x∈(A∪B),则x∈(A∩B)不一定成立． ４．提示:若A∩B＝A,则A⊆B; 若A∪B＝A,则B⊆A． 预习自测 １．B ２．A　[由题意,M＝{x|x＋２≥０}＝{x|x≥－２},N＝{x|x－１ ＜０}＝{x|x＜１},根据交集的运算可知,M∩N＝{x|－２≤ x＜１}．] ３．解析:因为 M＝{－１,０,１},N＝{０,１,２}, 所以M∪N＝{－１,０,１}∪{０,１,２}＝{－１,０,１,２}． 答案:{－１,０,１,２} 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)(１)集合S＝{－２,０},T＝{０,２},则S∩T ＝{０}． (２)由图知 M∩N＝{x|－１＜x＜１}． [答案]　(１)A　(２)B [例２]　[解析]　(１)M＝{x|x２＋２x＝０,x∈R}＝{０,－２}, N＝{x|x２－２x＝０,x∈R}＝{０,２},故 M∪N＝{－２,０,２}． (２)在数轴上表示集合 M,N,可知 M∪N＝{x|x＜－５, 或x＞－３}． [答案]　(１)D　(２)A [例３]　(１)　[解析]　A∪B＝A,即B⊆A,所以m≥２． [答案]　m≥２ (２)　[解]　∵A∩B＝A,∴A⊆B． ①若A＝∅,则２a＞a＋３,a＞３; ②若A≠∅,如图所示 则有 ２a≤a＋３, a＋３＜－１,{ 或 ２a≤a＋３, ２a＞５,{ 解得a＜－４或５２＜a≤３． 综上所述,a的取值范围是 a a＜－４,或a＞５２{ }． 变式训练 １．A　[集合A＝{－１,０,１,２,３},B＝{y|y＝２x２－１,x∈A} ＝{－１,１,７,１７},A∩B＝{－１,１}．] ２．C　[∵P＝(－∞,３),Q＝{x|－１≤x≤４} ＝[－１,４]． ∴如图,P∪Q＝(－∞,３)∪[－１,４]＝(－∞,４]． ] ３．解:(１)由题意可知:A＝{x|x２－３x＋２＝０}＝{１,２}, 因为A∩B＝{２},所以２∈B,将２代入集合B 中, 得４＋４(a－１)＋(a２－５)＝０, 解得a＝－５或a＝１． 当a＝－５时,集合B＝{２,１０},符合题意; 当a＝１时,集合B＝{２,－２},符合题意． 综上所述:a＝－５或a＝１． (２)若A∪B＝A,则B⊆A, 因为A＝{１,２},所以B＝∅或B＝{１}或{２}或{１,２}． ①若B＝∅,则Δ＝４(a－１)２－４(a２－５)＝２４－８a＜０, 解得a＞３, ②若B＝{１},则 Δ＝２４－８a＝０, x＝－２ (a－１) ２ ＝１－a＝１ ,{ 即 a＝３, a＝０,{ 不成立． ③若B＝{２},则 Δ＝２４－８a＝０, x＝－２ (a－１) ２ ＝１－a＝２ ,{ 即 a＝３, a＝－１,{ 不成立, ④若B＝{１,２},则 Δ＝２４－８a＞０, １＋２＝－２(a－１), １×２＝a２－５,{ 即 a＜３, a＝－１２ , a＝± ７, ì î í ïï ï 此时不成立,综上a＞３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１２􀅰 数学􀅰必修第一册 随堂步步夯实 １．B　[因为X＝{－２,－１,０,１},Y＝{－１,０,１,２,３}, 所以X∩Y＝{－１,０,１}．] ２．A　 [如 图,借 助 数 轴 可 知 A∪B＝{x|x≥－１}．] ３．B　[因为集合A＝{x|－１＜ x＜３},集合B＝{x||x|≤２} ＝{x|－２≤x≤２},所以A∩B ＝{x|－１＜x≤２},故 AC均错误;A∪B＝{x|－２≤x＜３}, 故B正确,D错误．] ４．{a|－３≤a＜－１} ５．解:∵A∪B＝A,∴B⊆A． ∵A＝{－２}≠∅,∴B＝∅或B≠∅． 当B＝∅时,方程ax＋１＝０无解,此时a＝０． 当B≠∅时,此时a≠０,则B＝ －１a{ }, ∴－１a∈A ,即－１a＝－２ ,得a＝１２． 综上,a＝０或a＝１２． 第２课时　全集与补集 课前预习学案 情境引入 　提示　没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云,冯佳,薛香 芹,钱忠良,何晓慧}． 知识梳理　知识点一 １．所有元素　２．U [思考] １．提示:全集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的 所有的元素,所以全集因问题的不同而异,所以全集不一定 是实数集． 知识点二 １．所有元素　集合A 的补集　∁UA　{x|x∈U,且x∉A} ４．(１)U　(２)∅　(３)∅　A [思考] ２．提示:A⊆U,∁UA⊆U,A∪(∁UA)＝U,A∩(∁UA)＝∅． 预习自测 １．A ２．A　[由题意知,∁UN＝{２,４,８},所以 M∪(∁UN)＝{０,２,４, ６,８}．] ３．５ 课堂互动学案 [例１]　 [解]　 借 助 Venn 图,如 图 所示, 得U＝{１,２,３,４,５,６,７,８,９}, ∵∁UB＝{１,４,６,８,９}, ∴B＝{２,３,５,７}． [例２]　[解]　(１)如图所示 ∵A＝{x|－２＜x＜３},B＝{x|－３≤x≤２}, ∴∁UA＝{x|x≤－２,或３≤x≤４}, ∁UB＝{x|x＜－３,或２＜x≤４}． ∴A∩B＝{x|－２＜x≤２}, (∁UA)∪B＝{x|x≤２,或３≤x≤４}, A∩(∁UB)＝{x|２＜x＜３}． (２)法一:A∩B＝{４},A∪B＝{３,４,５,７,８}． ∵∁UA＝{１,２,６,７,８},∁UB＝{１,２,３,５,６}, ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{１,２,６},A∩(∁UB)＝{３,５}, (∁UA)∪B＝{１,２,４,６,７,８}． 法二:A∩B,A∪B,A∩(∁UB)求法同法一． (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{１,２,６}, (∁UA)∪B＝∁U(A∩(∁UB))＝{１,２,４,６,７,８}． 法三:画出 Venn图,如图所示,观察此图可得, A∩B＝{４},A∪B＝{３,４,５,７,８}, A∩(∁UB)＝{３,５},(∁UA)∪B＝{１,２,４,６,７,８}, (∁UA)∩(∁UB)＝{１,２,６}． [例３]　[解]　∁RB＝{x|x≤１,或x≥２}≠∅, ∵A⫋∁RB, ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅,此时有２a－２≥a, ∴a≥２． ②若A≠∅,则有 ２a－２＜aa≤１{ ,或 ２a－２＜a ２a－２≥２{ ． ∴a≤１． 综上所述,实数a的取值范围为a≤１,或a≥２． 变式训练 １．D　[根据集合A 的定义,绝对值的意义可知,逐一带入x＝ ０,１,２,３,４到|x－２|＜１中,只有x＝２符合,于是A＝{２}, 所以∁UA＝{０,１,３,４}．] ２．(１)A　[因为U＝{１,２,３,４,５,６,７,８},B＝{１,３,４,６,７), 所以∁UB＝{２,５,８}． 又A＝{２,３,５,６},所以A∩(∁UB)＝{２,５}．] (２)解:将集合A,B,P 分别表示在数轴上,如图所示． 因为A＝{x|－４≤x＜２},B＝{x|－１＜x≤３}, 所以A∩B＝{x|－１＜x＜２}． ∁UB＝{x|x≤－１,或x＞３}． 又P＝ x|x≤０,或x≥５２{ }, 所以(∁UB)∪P＝ x|x≤０,或x≥ ５ ２{ }．又∁UP＝ x|０＜x＜ ５ ２{ }, 所以(A∩B)∩(∁UP) ＝{x|－１＜x＜２}∩ x|０＜x＜５２{ } ＝{x|０＜x＜２}． ３．C　[∵M∩N＝N, ∴N⊆M,如图所示, ∴∁UM⊆∁UN．] 随堂步步夯实 １．B ２．A　[因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x|x＝３k＋１,k∈Z}∪ {x|x＝３k＋２,k∈Z},所以∁U(M∪N)＝{x|x＝３k,k∈Z}．] ３．{x|x＜１,或x≥２} ４．７ ５．解:因为∁UA＝{５},所以５∈U 但５∉A, 所以m２－m－１＝５, 解得m＝３或m＝－２． 当m＝３时,|３－２m|＝３≠５, 此时U＝{３,５,６},A＝{３,６},满足∁UA＝{５}; 当m＝－２时,|３－２m|＝７≠５, 此时U＝{３,５,６},A＝{６,７},不符合题意舍去． 综上,可知m＝３． §２　常用逻辑用语 ２．１　必要条件与充分条件 第１课时　必要条件与充分条件 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)一定亮． (２)不一定,还可能是C开关闭合． 知识梳理　知识点一 １．⇒　⇒/　充分　必要　充分　必要 [思考] １．提示:相同,都是p⇒q． ２．提示:这五种表述形式是等价的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１２􀅰 参考答案