第一章 1.2 集合的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

１．２　集合的基本关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给 定集合的子集 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表 示集合间的基本关系,并能进行转换,重点提升数 学抽象素养和直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　草原上,蓝蓝的天上白云飘．白云下面马 儿跑．如果草原上的枣红马组成集合 A,草原 上的所有马组成集合B． (１)那么集合A 中的元素与集合B 中的元素 的关系是怎样的? (２)集合A 与集合B 又存在什么关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[知识梳理] [知识点一]　子集、集合相等、真子集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．Venn图 用平面上　　　　　　的内部代表集合,这 种图称为 Venn图． ２．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概 念 一般地,对于 两个集合 A, B,如 果 集 合 A 中　　　　 元素都是集合 B中的元素,就 称集合A 为集 合B的子集,记 作　　　　(或 　　　　),读 作“A 　　　 B”(或 “B 　 　A”) 一般地,如果集 合A 的任何一 个元素　　集 合B 的元 素, 同 时 集 合 B 的任何一个元 素　　集合A 的元素,那么 集合 A 与 集 合B 相等,记 作　　也就是 说,若 A⊆B, 且 B ⊆ A, 则　　　 如果集合A⊆ B,但 存 在 元 素　　 　,且 　　 　,就称 集合A是集合 B 的 真 子 集, 记作A⫋B(或 B⫌A) 续表 图 示 结 论 (１)任何一个 集合是它本身 的子集． 即　　　 (２)对于集合 A,B,C,如果 A⊆B, 且B⊆C, 那么　　　 若A＝B 且B＝C, 则　　　 (１)若A⫋B 且B⫋C,则 A 　　C (２)若A⊆B 且A≠B,则 A 　　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．任意两个集合之间是否有包 含 关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．符号“∈”与“⊆”有什么区别? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　空集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义 我们把　　　　　　　　的集合,叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的　　,即∅⊆A 特性 (１)空集只有一个子集,即它的本身,∅⊆∅ (２)若A≠∅,则∅　　A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．∅与０,{０},{∅}有何区别? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．下列关系式正确的是 (　　) A．０⊆{０}　　　　　　　　B．０∈{０} C．０＝{０} D．０∉{０} ２．集合{１,２}的子集有 (　　) A．４个　　B．３个　　C．２个　　D．１个 ３．集合{１}与集合{x|x２－１＝０}的关系是　　 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求集合的子集、真子集 [例１]写出集合A＝{１,２,３}的所有子集和真 子集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　按照顺序依次写出:由０个 元素构成的子集;由１个元素构成的子集; 由２个元素构成的子集;由３个元素构成 的子集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．写出一个集合的所有子集的常用方法: (１)首 先 要 注 意 两 个 特 殊 子 集:∅ 和 它 自身． (２)其次要依次按含有１个元素的子集,含 有２个元素的子集、含有３个元素的子 集􀆺􀆺写出所有子集,在本例中,写出 含有２个元素的子集时,首先从１起,１ 与每个元素搭配,然后不看１,再看２ 可与哪些元素搭配． ２．求一个集合子集个数的规律及注意点 (１)规律:含有n(n≥１且n∈N)个元素的 集合有２n 个子集,有２n－１个真子集, 有２n－２个非空真子集． (２)注意点:解决此类问题时应注意两个比 较特殊的集合,即∅和集合本身． 􀳀[变式训练] １．(１)已知集合 A＝{x|x２－３x＋２＝０,x∈ R},B＝{x|０＜x＜８,x∈N},则满足条件 A⊆C⫋B 的集合C 的个数为　　　　个． (２)已知集合A⫋{x∈N|－１＜x＜３},且A 中至少有一个元素为奇数,则这样的集合A 共有多少个? 并用恰当的方法表示这些 集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　预备知识 　集合间关系的判断 [例２]指出下列各对集合之间的关系: (１)A＝{－１,１},B＝{(－１,－１),(－１,１), (１,－１),(１,１)}． (２)A＝{x|－１＜x＜４},B＝{x|x－５＜０}． (３)A＝{x|x是等边三角形},B＝{x|x是等腰三 角形}． (４)M＝{x|x＝２n－１,n∈N＋},N＝{x|x＝２n＋１, n∈N＋}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　判断两集合间关系的关键是 弄清所给集合是由哪些元素组成的,也就 是把抽象的集合具体化,这就要求熟练地 用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、 图形语言(Venn图)来表示集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断集合间关系的常用方法 (１)列举观察法 当集合中元素较少时,可列举出集合中 的全部元素,通过定义得出集合之间的 关系． (２)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么,弄清集 合元素的特征,再利用集合元素的特征 判断得出集合之间的关系． 一般地,设 A＝{x|p(x)},B＝{x| q(x)},①若由p(x)可推出q(x),则 A⊆B;②若由q(x)可推出p(x),则B ⊆A;③若p(x),q(x)可互相推出,则 A＝B;④若由p(x)推不出q(x),由 q(x)也推不出p(x),则集合A,B 无包 含关系． (３)数形结合法 利用数轴或 Venn图可清晰、明了地判 断集合间的关系,其中不等式的解集之 间的关系,适合用数轴法． 􀳀[变式训练] ２．(１)设集合A＝{x|－１＜x＜２},B＝{x|－１ ＜x＜１},则 (　　) A．A⊆B　　　　　　　B．B⊆A C．A＝B D．A⊈B (２)下列命题中正确的有　　　　(写出全 部正确命题的序号)． ①{２,４,６}⊆{２,３,４,５,６};②{菱形}⊆{矩形}; ③{x|x２＝０}⊆{０};④{(０,１)}⊆{０,１};⑤{１} ∈{０,１,２};⑥{x|x＞１}⊆{x|x≥２}． 由集合间的关系求参数问题 [例３]　(１)若集合 M＝{x|x２＋x－６＝０}, N＝{x|ax＋２＝０,a∈R},且 N⫋M,则a 的取值集合为　　　　． (２)已知集合A＝{x|－３≤x≤４},B＝{x| ２m－１＜x＜m＋１},且B⊆A．求实数m 的 取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)求出集合 M 中的元素, 对N 作讨论． (２)借助数轴,不要漏掉B＝∅的情况． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由集合间的包含关系求参数的方法 (１)当集合为不连续数集时,常根据集合包 含关系的意义,建立方程求解．此时应 注意分类讨论; (２)当集合为连续数集时,常借助数轴来建 立不等关系求解,应注意端点处是实点 还是虚点． 提醒:(１)不能忽视集合为∅的情形． (２)当集合中含有字母参数时,一般要分类讨论． 􀳀[变式训练] ３．(２０２３􀅰新高考Ⅱ卷)设集合A＝{０,－a}, B＝{１,a－２,２a－２},若A⊆B,则a＝ (　　) A．２　　　B．１　　　C．２３　　　D．－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．集合 M＝{x|－２＜x≤３且x∈N}的真子集 个数为 (　　) A．７　　　B．８　　　C．１５　　　D．１６ ２．下列集合中表示同一集合的是 (　　) A．M＝{(２,３)},N＝{(３,２)} B．M＝{２,３},N＝{３,２} C．M＝{(x,y)|y＝x＋１},N＝{y|y＝x＋１} D．M＝{y|y＝x＋１},N＝{y|y＝x２＋１} ３．对于两个非空集合 A,B,定义集合 A－B ＝{x|x∈A且x∉B},若 M＝{１,２,３,４,５}, N＝{０,２,３,６,７},则集合 N－M 的真子集 个数为　　　　． ４．设A＝{x|x２－５x＋m＝０},B＝{x|x－３＝０},且 B⊆A,则m＝　　　　． ５．已知集合A＝{x|１≤x≤２},B＝{x|１≤x≤a, a≥１}． (１)若A⫋B,求a的取值范围; (２)若B⊆A,求a的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 第一章　预备知识 [例３]　[解]　(１)因为２x－６＜０, 所以x＜３,用区间表示为(－∞,３)． (２)由题意得x＋５≥０,故x≥－５, 用区间表示为[－５,＋∞)． [例４]　[解]　①当k＝０ 时,方 程kx２ －８x＋１６＝０ 变 为 －８x＋１６＝０,解得x＝２,满足题意; ②当k≠０,要使集合A＝{x|kx２－８x＋１６＝０}中只有一个 元素,则方程kx２－８x＋１６＝０有两个相等的实数根,所以 Δ＝６４－６４k＝０,解得k＝１,此时集合A＝{４},满足题意．综 上所述,k＝０或k＝１,故实数k的值组成的集合为{０,１}． 变式训练 １．解:(１)方程x２＝２x的解是x＝０或x＝２,所以方程的解组 成的集合为{０,２}． (２)将x＝０代入y＝２x＋１,得y＝１,即所求交点是(０,１), 故交点组成的集合是{(０,１)}． (３)正整数有１,２,３,􀆺,所求集合为{１,２,３,􀆺}． ２．解:(１)可表示为{x|x＝２n,n∈N＋ 且n≤６}． (２)可表示为 x|x＝ nn＋２ ,n∈N＋ 且n≤５{ }． (３)可表示为{x|x＝n２,n∈N＋ }． 集合中各元素为正整数的平方,故各元素可表示为x＝n２, n∈N＋ ,也可以写成{x|x＝(n＋１)２,n∈N}． ３．解:由１＜２x＋１＜２,得０＜x＜１２ , ∴原不等式的解集为 ０,１２( )． ４．解:由题意可知,方程kx２－８x＋１６＝０有两个不等实根, 故k≠０,且Δ＝６４－６４k＞０,解得k＜１,且k≠０． 所以实数k的值组成的集合为{k|k＜１,且k≠０}． 随堂步步夯实 １．D　[此集合由小于６的正整数组成．] ２．C　[因为集合A＝{x|５－５x＞０}＝{x|x＜１}, 所以５∉A,１∉A,０∈A,－１∈A．] ３．B　[集合{０}中有一个元素０;集合{x|x２－１＝０}＝{－１,１}; 集合{x|x＜０}表示小于０的实数组成的集合;集合{x|x２＋４ ＝０}表示方程x２＋４＝０的实数解组成的集合,而方程x２＋ ４＝０无实数解,因此该集合是空集．] ４．解析:因为(２a,３a－２]为一确定区间,所以２a＜３a－２,解得a＞２, 所以实数a的取值范围是(２,＋∞)． 答案:(２,＋∞) ５．解:(１)能整除１２的正整数有１,２,３,４,６,１２,用列举法可以 表示为{１,２,３,４,６,１２}． (２)方程(２x－１)(x＋１)＝０的解为x１＝ １ ２ ,x２＝－１,故用列举 法可以表示为 －１,１２{ }． (３)点用有序实数对(x,y)表示,故一次函数y＝２x＋５的图象 上所有点组成的集合用描述法可以表示为{(x,y)|y＝２x＋５}． １．２　集合的基本关系 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)集合A 中的元素都是集合B 中的元素． (２)A 是B 的子集． 知识梳理　知识点一 １．封闭曲线　２．任意一个　A⊆B　B⊇A　包含于　包含　 都是　都是　A＝B　A＝B　x∈B　x∉A　A⊆A　A⊆C　 A＝C　⫋　⫋ [思考] １．提示:不一定．如集合A＝{１,３},B＝{２,３},这两个集合就 没有包含关系． ２．提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比 如 １∈N, －１∉N． ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系,比如 N⊆R,{１,２,３} ⊆{３,２,１}． ③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“⊆”的两边均为集合． 知识点二 不含任何元素　子集　⫋ [思考] ３．提示: ∅与０ ∅与{０} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅ 是 集 合;０ 是 实数 ∅ 不 含 任 何 元 素; {０}含 一 个 元素０ ∅ 不 含 任 何 元 素; {∅}含 一 个 元 素,该 元素是∅ 关系 ０∉∅ ∅⫋{０} ∅⫋{∅} 预习自测 １．B　２．A ３．{１}⫋{x|x２－１＝０}． 课堂互动学案 [例１]　[解]　由０个元素构成的子集:∅; 由１个元素构成的子集:{１},{２},{３}; 由２个元素构成的子集:{１,２},{１,３},{２,３}; 由３个元素构成的子集:{１,２,３}． 由此得集 合 A 的 所 有 子 集 为 ∅,{１},{２},{３},{１,２}, {１,３},{２,３},{１,２,３}． 在上述子集中,除去集合A 本身,即{１,２,３},剩下的都是A 的真子集． [例２]　[解]　(１)集合A 的代表元素是数,集合B 的代表元 素是有序实数对,故A 与B 之间无包含关系． (２)集合B＝{x|x＜５},用 数 轴 表 示 集 合 A,B 如 图 所 示, 由图可知A⫋B． (３)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相 等的三角形,故A⫋B． (４)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N＋ ,因 此集合 M 含有元素“１”,而集合 N 不含元素“１”,故 N⫋M． [例３]　(１)　[解析]　化简 M＝{x|x２＋x－６＝０}＝{－３, ２},因为ax＋２＝０ 的 系 数a 是 字 母,所 以 对a 分 类 讨 论 如下: 当a＝０时,ax＋２＝０无解,所以 N＝∅满足题意;当a≠０ 时,ax＋２＝０的解为x＝－２a ,因为 N⫋M,所以由－２a ＝ －３,得a＝２３ ;由－２a＝２． 得a＝－１．所以符合条件的a的 取值集合为 ０,２３ ,－１{ }． [答案]　 ０,２３ ,－１{ } (２)　[解]　因为B⊆A,①当B＝∅时,m＋１≤２m－１,解得 m≥２． ②当B≠∅时有 －３≤２m－１, m＋１≤４, ２m－１＜m＋１, { 解得－１≤m＜２,综上得m≥－１． 变式训练 １．(１)解析:集合A＝{x|x２－３x＋２＝０,x∈R}＝{１,２}, B＝{x|０＜x＜８,x∈N}＝{１,２,３,４,５,６,７},由A⊆C⫋B, 得{１,２}⊆C⫋{１,２,３,４,５,６,７}, 所以C是{３,４,５,６,７}的真子集,故有２５－１＝３１． 答案:３１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１２􀅰 参考答案 (２)解:这样的集合共有３个． ∵{x∈N|－１＜x＜３}＝{０,１,２},A⫋{０,１,２}且A 中至少 有一个元素为奇数, ∴当A 中含有１个元素时,A 可以为{１}; 当A 中含有２个元素时,A 可以为{０,１},{１,２}． ２．解析:(１)如图所示 A 的范围包含B 的范围,所以B⊆A． (２)根据子集的定义,①显然正确;②中只有正方形才既是菱 形,也是矩形,其他的菱形不是矩形;③中集合{x|x２＝０}中 的元素只有一个“０”,因此是集合{０}的子集;④中{(０,１)}的 元素是有序实数对,而{０,１}是数集,元素不同;⑤中两个集 合之间使用了“∈”符号,这是用来表示元素与集合的关系时 使用的符号,⑤错;⑥显然错误．应有{x|x＞１}⫌{x|x≥２)． 故填①③． 答案:(１)B　(２)①③ ３．B　[依题意,a－２＝０或２a－２＝０,当a－２＝０时,解得a＝ ２,此时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不符合题意;当２a－２＝０ 时,解得a＝１,此 时 A＝{０,－１},B＝{１,－１,０},符 合 题意．] 随堂步步夯实 １．C ２．B　[{３,２}＝{２,３}．] ３．７　４．６ ５．解:(１)若A⫋B,由图可知a＞２． (２)若B⊆A,由图可知,１≤a≤２． １．３　集合的基本运算 第１课时　交集与并集 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)至少读过一本书的有学号为２,３,４,６,８,９,１０, １２,１４,１５,１６,１８,２０的同学． (２)同时读了a,b两本书的有学号为６,１２,１８的同学． 知识梳理　知识点一 １．①既属于　属于B　②{x|x∈A,且x∈B} ２．①B∩A　②A　③∅　④⊆　⊆　⑤A [思考] １．提示:有．交集为空集． 知识点二 １．所有　{x|x∈A,或x∈B}　２．B∪A　A　A　⊆　⊆　B [思考] ２．提示:不一定．A∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合 B 的元素个数和． ３．提示:若x∈(A∩B),则x∈(A∪B)成立; 反之,若x∈(A∪B),则x∈(A∩B)不一定成立． ４．提示:若A∩B＝A,则A⊆B; 若A∪B＝A,则B⊆A． 预习自测 １．B ２．A　[由题意,M＝{x|x＋２≥０}＝{x|x≥－２},N＝{x|x－１ ＜０}＝{x|x＜１},根据交集的运算可知,M∩N＝{x|－２≤ x＜１}．] ３．解析:因为 M＝{－１,０,１},N＝{０,１,２}, 所以M∪N＝{－１,０,１}∪{０,１,２}＝{－１,０,１,２}． 答案:{－１,０,１,２} 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)(１)集合S＝{－２,０},T＝{０,２},则S∩T ＝{０}． (２)由图知 M∩N＝{x|－１＜x＜１}． [答案]　(１)A　(２)B [例２]　[解析]　(１)M＝{x|x２＋２x＝０,x∈R}＝{０,－２}, N＝{x|x２－２x＝０,x∈R}＝{０,２},故 M∪N＝{－２,０,２}． (２)在数轴上表示集合 M,N,可知 M∪N＝{x|x＜－５, 或x＞－３}． [答案]　(１)D　(２)A [例３]　(１)　[解析]　A∪B＝A,即B⊆A,所以m≥２． [答案]　m≥２ (２)　[解]　∵A∩B＝A,∴A⊆B． ①若A＝∅,则２a＞a＋３,a＞３; ②若A≠∅,如图所示 则有 ２a≤a＋３, a＋３＜－１,{ 或 ２a≤a＋３, ２a＞５,{ 解得a＜－４或５２＜a≤３． 综上所述,a的取值范围是 a a＜－４,或a＞５２{ }． 变式训练 １．A　[集合A＝{－１,０,１,２,３},B＝{y|y＝２x２－１,x∈A} ＝{－１,１,７,１７},A∩B＝{－１,１}．] ２．C　[∵P＝(－∞,３),Q＝{x|－１≤x≤４} ＝[－１,４]． ∴如图,P∪Q＝(－∞,３)∪[－１,４]＝(－∞,４]． ] ３．解:(１)由题意可知:A＝{x|x２－３x＋２＝０}＝{１,２}, 因为A∩B＝{２},所以２∈B,将２代入集合B 中, 得４＋４(a－１)＋(a２－５)＝０, 解得a＝－５或a＝１． 当a＝－５时,集合B＝{２,１０},符合题意; 当a＝１时,集合B＝{２,－２},符合题意． 综上所述:a＝－５或a＝１． (２)若A∪B＝A,则B⊆A, 因为A＝{１,２},所以B＝∅或B＝{１}或{２}或{１,２}． ①若B＝∅,则Δ＝４(a－１)２－４(a２－５)＝２４－８a＜０, 解得a＞３, ②若B＝{１},则 Δ＝２４－８a＝０, x＝－２ (a－１) ２ ＝１－a＝１ ,{ 即 a＝３, a＝０,{ 不成立． ③若B＝{２},则 Δ＝２４－８a＝０, x＝－２ (a－１) ２ ＝１－a＝２ ,{ 即 a＝３, a＝－１,{ 不成立, ④若B＝{１,２},则 Δ＝２４－８a＞０, １＋２＝－２(a－１), １×２＝a２－５,{ 即 a＜３, a＝－１２ , a＝± ７, ì î í ïï ï 此时不成立,综上a＞３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１２􀅰 数学􀅰必修第一册