第六章 4.2 分层随机抽样的均值与方差&4.3 百分位数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

§４　用样本估计总体的数字特征 ４．１　样本的数字特征 １．B　２．A　３．C　４．B　５．AD ６．ABD　[依题意,x＝２００,y＝１００＋２００＋３００３ ＝２００ ,第四 年收入为 ６００ 万 元,故 在 这 四 年 的 收 入 中,中 位 数 为 ２００＋３００ ２ ＝２５０＝１􀆰２５x ,平均数为１００＋２００＋３００＋６００ ４ ＝３００＝１．５y．] ７．５　５ ８．解析:要使得中位数是７,a必须插在７的前面,即a≤７, 平均数为２＋３＋６＋a＋７＋８＋１０＋１１＋１３ ９ ＞７ ,解得a＞３, a是满足上述条件的最小自然数,则a＝４． 答案:４ ９．２８　１７．４ １０．解:该组数据的平均数为 １４ (x＋２８),中位数一定是其 中两个数的平均数,由于x不知是多少,所以要分几种 情况讨论．(１)当x≤８时,原数据按从小到大的顺序排 列为x,８,１０,１０,其中位数为１２× (１０＋８)＝９． 若１ ４ (x＋２８)＝９,则x＝８,此时中位数为９． (２)当８＜x≤１０时,原数据按从小到大的顺序排列为 ８,x,１０,１０,其中位数为１２ (x＋１０)．若１４ (x＋２８) ＝１２ (x＋１０),则x＝８,而８不在８＜x≤１０的范围内, 所以舍去． (３)当x＞１０时,原数据按从小到大的顺序排列为８, １０,１０,x,其中位数为１２× (１０＋１０)＝１０．若１４ (x＋２８) ＝１０,则x＝１２,此时中位数为１０． 综上所述,这组数据的中位数为９或１０． １１．解:(１)从题图中可看出,乙的射击环数依次为２,４,６, ８,７,７,８,９,９,１０．从而可将乙中的数据按由小到大的顺 序排列为２,４,６,７,７,８,８,９,９,１０,所以乙的中位数是 ７．５． 将甲中的数据按由小到大的顺序排列为５,６,６,７,７,７, ７,８,８,９,所以甲的中位数是７．故 补 充 后 的 表 格 如 表 所示: 选手 平均数 方差 中位数 命中９环 及以上 甲 ７ １．２ ７ １ 乙 ７ ５．４ ７．５ ３ (２)①甲、乙的平均数相同,均为７,但s２甲 ＜s２乙 ,说明甲 偏离平均数的程度小,乙偏离平均数的程度大． ②甲、乙的平均数相同,而乙的中位数比甲大,可预见 乙射击环数的优秀次数比甲的多． ③甲、乙的平均数相同,而乙命中９环及以的上次数比 甲多２次,可知乙的射击成绩比甲好． ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在 平均数线上波动不大,说明乙更有潜力． １２．解:①􀭺x甲 ＝１４× (１０＋９．８＋１０＋１０．２)＝１０, 􀭺x乙 ＝１４× (１０．１＋１０＋９．９＋１０)＝１０, 由于􀭺x甲 ＝􀭺x乙 ,因此,平均直径反映不出两台机床生产 的零件的质量优劣． ②s２甲 ＝１４× [(１０－１０)２＋(９．８－１０)２＋(１０－１０)２＋ (１０．２－１０)２]＝０．０２, s２乙 ＝１４× [(１０．１－１０)２＋(１０－１０)２＋(９．９－１０)２＋ (１０－１０)２]＝０．００５． 这说明乙机床生产出的零件直径波动小,因此,从产品 质量稳定性的角度考虑,乙机床生产的零件质量更符 合要求． １３．解:(１)周平均收入􀭺x１＝ １ ７ (６０００＋９００＋７００＋８００＋ ６４０＋６４０＋８２０)＝１５００(元)． (２)这个平均收入不能反映所有职位的周收入水平,可 以看出打工人员的收入都低于平均收入,因为老板收 入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的 影响,并且他不是打工人员． (３)去掉老板的收入后的周平均收入􀭵x２＝ １ ６ (９００＋７００＋ ８００＋６４０＋６４０＋８２０)＝７５０(元)． 这能代表该店职位的周收入水平． １４．B　[设每个出口每秒可疏散的人数为xk(１≤k≤５),由 题意,可得方程组: １２０(x１＋x２)＝１０００ ２２０(x２＋x３)＝１０００ １６０(x３＋x４)＝１０００ １４０(x４＋x５)＝１０００ ２００(x１＋x５)＝１０００ ì î í ï ïï ï ï , 可得 x１＋x２＝ ２５ ３ x２＋x３＝ ５０ １１ x３＋x４＝ ２５ ４ x４＋x５＝ ５０ ７ x１＋x５＝５ ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï ． 因为(x１＋x２)－(x２＋x３)＝x１－x３＝ ２５ ３－ ５０ １１＞０ ,所以 μ(S１)＞μ(S３),所以①正确;因为(x３＋x４)－(x２＋x３) ＝x４－x３＝ ２５ ４－ ５０ １１＞０ ,所以μ(S４)＞μ(S２),所以②正 确;因为(x４＋x５)－(x３＋x４)＝x５－x３＝ ５０ ７－ ２５ ４ ＞０ , 所以μ(S５)＞μ(S３),所以③正确;因为x５－x４＝(x１＋ x５)－(x３＋x４)＋(x３－x１)＝(x１＋x５)－(x３＋x４)＋ (x２＋x３)－(x１＋x２)＝５－ ２５ ４ ＋ ５０ １１－ ２５ ３ ＜０ ,所 以μ (S４)＞μ(S５),所以④错误．] ４．２　分层随机抽样的均值与方差　４．３　百分位数 １．D　[由题意知,合理的价格应为 １１＋２×１８＋ ２ １＋２×２４ ＝２２(元/kg)．] ２．C　[由百分位数的意义可知选项 A,B,D错误．] ３．A　[甲成绩的平均数１５ (４＋５＋６＋７＋８)＝６(环)．乙成 绩的平均数为１ ５× (３×５＋６＋９)＝６(环)． 故 A错,B正确;因为５×０．８＝４,所以甲的成绩的８０％ 分位数为(７＋８)÷２＝７．５,乙的成绩的８０％分位数为(６ ＋９)÷２＝７．５,故 C正确,甲的成绩的极差为８－４＝４, 乙的成绩的极差为９－５＝４,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１４􀅰 必修第一册 ４．C　[居民人数为３．６÷３０％＝１２(百人)． ∴b＝６÷１２＝５０％, c＝１－３０％－５０％＝２０％, a＝２０％×１２＝２．４． 故平均熬夜时长为３．６×４＋６×２＋２．４×１ １２ ＝２．４ (h)．] ５．ABD　[因为１００×７５％＝７５为整数,所以第７５个数据 和第７６个数据的平均数为７５％分位数是９．３．] ６．AD　[第１,２层所有数据的均值为􀭺x１２＝ ４５ ４５＋３５×４＋ ３５ ４５＋３５×８＝５．７５ , A正确;第１,２层所有数据的方差为 s２１２＝ ４５ ４５＋３５× [２＋(４－５．７５)２]＋ ３５４５＋３５× [１＋(８－ ５．７５)２]＝５．５,B不正确;第１,２,３层所有数据的均值为 􀭺x＝４５９０×４＋ ３５ ９０×８＋ １０ ９０×６≈５．７８ ,C不正确; 第１,２,３ 层 所 有 数 据 的 方 差 为s２ ＝４５９０× [２＋ (４－ ５．７８)２]＋３５９０× [１＋ (８－５．７８)２]＋１０９０× [３＋ (６－ ５．７８)２]≈５．２３,D正确．] ７．解析:将这组数据按照从小到大的顺序排列后为４,４,５, ７,７,７,８,９,９,１０． 所以命中环数的中位数为７＋７ ２ ＝７． 因为这组数据的个数为１０, 而且１０×２５％＝２．５,１０×７５％＝７．５, 因此命中环数的２５％分位数为５,命中环数的７５％分位 数为９． 答案:(１)７　(２)５　(３)９ ８．解析:总体样本平均数􀭵z＝n１n 􀭺x１＋ n２ n 􀭺x２ ＝２５×１６５＋ ３ ５×１７０＝１６８cm , s２＝n１n [(􀭺x１－􀭵z)２＋s２１]＋ n２ n [(􀭺x２－􀭵z)２＋s２２] ＝２５ [(１６５－１６８)２＋３２]＋３５ [(１７０－１６８)２＋４２] ＝１９．２． 答案:１９􀆰２ ９．解析:把这３０名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列 为６３,６８,７４,８３,８５,８９,９６,９６,９７,９８,９９,１０７,１１０,１１３, １１５,１１６,１１７,１２１,１２３,１２４,１２５,１２８,１３２,１３３,１３９,１４１, １４２,１４４,１４５,１４７,因 为 ２５％×３０＝７．５　５０％×３０＝ １５,所以这３０名学生一模数学成绩的２５％分位数为９６, ５０％分位数为１１５＋１１６２ ＝１１５．５． 据此可以估计本校高 三学生一模数学成绩的２５％分位数约为９６．５０％分位数 约为１１５．５． 答案:９６　１１５．５ １０．解:这组数据有１７个数,且出现次数最多的为１．７５, １７×２５％＝４．２５,１７×７５％＝１２．７５, 故这组数据的中位数是１．７０, ２５％分位数是１．６０,７５％分位数是１．７５． １１．解:由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 x高 ＝３×５８＋５×４０＋２×３８３＋５＋２ ＝４５ (岁), 年龄的方差为 s２高 ＝１１０ [３×(５８－４５)２＋５×(４０－４５)２＋２×(３８－ ４５)２]＝７３, 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 x＝ ５０５０＋１０×３８＋ １０ ５０＋１０×４５≈３９．２ (岁), 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s２＝ ５０５０＋１０ [２＋(３８－３９．２)２]＋ １０５０＋１０ [７３＋(４５－３９．２)２] ＝２０．６４． １２．解:将所有数据由小到大排列,得２６、２６、２６、２７、２８、２８、 ２８、２８、２８、２９、２９、３０、３０、３１、３１、３１、３２、３２、３２、３４、３４、 ３４、３４、３４、３４、３４、３５、３５、３５、３５． (１)中位数为３１元,众数为３４元． (２)该样本共有３０个 数 据,所 以３０×５％＝１．５,３０× ２５％＝７．５,３０×５０％＝１５,３０×７５％＝２２．５,３０×９５％ ＝２８．５, 从而得５个百分位数如下表: ５％ ２５％ ５０％ ７５％ ９５％ ２６ ２８ ３１ ３４ ３５ １３．解:(１)利用每组小矩形的面积之和为１可得, (０．００５＋０．０１０＋０．０２０＋a＋０．０２５＋０．０１０)×１０＝１, 解得a＝０．０３０． (２)成 绩 落 在 [４０,８０)内 的 频 率 为 (０．００５＋０．０１０＋ ０．０２０＋０．０３０)×１０＝０．６５,落在[４０,９０)内的频率为 (０．００５＋０．０１０＋０．０２０＋０．０３０＋０．０２５)×１０＝０．９, 设第７５百分位数为m, 由０．６５＋(m－８０)×０．０２５＝０．７５,得m＝８４, 故第７５百分位数为８４． (３)由题图可知,成绩在[５０,６０)的市民人数为１００×０．１ ＝１０,成绩在[６０,７０)的市民人数为１００×０．２＝２０,故􀭵z ＝１０×６１＋７０×２０１０＋２０ ＝６７ ; 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 s２＝ １１０＋２０ {１０[７＋(６１－６７)２]＋２０[４＋(７０－６７)２]} ＝２３． １４．解:好评率是由好评人数除以总评价人数得到的．９８％ 的好评率意味着如果有１００人评价,那么其中９８人给 了好评． 设在网站A 评价该餐馆的人数为n１,其中给出好评的 人数为m１;在网站B 评价该餐馆的人数为n２,其中给出 好评的人数为m２,由题目条件, m１ n１ ＝９８％, m２ n２ ＝８５％． 综合A,B 两个网站的信息,这家餐馆的总好评率应为 m１＋m２ n１＋n２ ,把 m１ ＝０．９８n１,m２ ＝０．８５n２ 代 入,得 ０．９８n１＋０．８５n２ n１＋n２ ＝０．９８􀅰 n１ n１＋n２ ＋０．８５􀅰 n２ n１＋n２ ． 其中, n１ n１＋n２ 和 n２ n１＋n２ 分别是各自的权重,总好评率等 于相应的好评率与其权重乘积的和．所以除非再知道 A,B 两个网站评价人数的比例关系,否则并不能求出 总好评率． 由以 上 分 析 可 知,当 且 仅 当n１ ＝n２ 时,总 好 评 率 等 于９８％＋８５％ ２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１４􀅰 参考答案 　　　　４．２　分层随机抽样的均值与方差　４．３　百分位数 １．有两种糖块,A 种糖块１８元/kg,B 种 糖块２４元/kg,超市计划把 A,B 两种 粮糖块按照１∶２的比例混合出售,则 合理的价格应为 (　　) A．１８元/kg B．２４元/kg C．２１元/kg D．２２元/kg ２．下列关于５０％分位数的说法正确的是 (　　) A．５０％分位数不是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的 可能性一定是５０％ C．它是四分位数 D．它适用于总体是离散型的数据 ３．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶５ 次,两人成绩的条件统计图如图所示, 则下列判断错误的是 (　　) A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的 平均数 B．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的 平均数 C．甲的成绩的８０％分位数等于乙的成 绩的８０％分位数 D．甲的成绩的极差等于乙的成绩的 极差 ４．某公益组织在某社会调查年龄在[２０, ５０]内的居民熬夜时间,得到如下表格: 年龄区间 居民人数 (单位:百人)所占比例 平均熬 夜时长 (单位:h) [２０,３０) ３．６ ３０％ ４ [３０,４０) ６ b ２ [４０,５０] a c １ 其中有三项数据由于污损用a,b,c代 替,则该社区所调查居民的平均熬夜时 长为 (　　) A．１．５h　B．２h　C．２．４h　D．２．８h ５．(多选)已知１００个数据的７５％分位数 是９．３,则下列说法不正确的是 (　　) A．这１００个数据中一定有７５个数小于或 者等于９．３ B．把这１００个数据从小到大排列后, ９．３是第７５个数据 C．把这１００个数据从小到大排列后, ９．３是第７５个数据和第７６个数据的 平均数 D．把这１００个数据从小到大排列后,９．３ 是第７５个数据和第７４个数据的平 均数 ６．(多选)某分层随机抽样中,有关数据 如下: 样本量 平均数 方差 第１层 ４５ ４ ２ 第２层 ３５ ８ １ 第３层 １０ ６ ３ 则下列叙述正确的是(结果保留两位 小数) (　　) A．第１,２层所有数据的均值为５．７５ B．第１,２层所有数据的方差约为１．５０ C．第１,２,３层所有数据的均值约为７．６８ D．第１,２,３层所有数据的方差约为５．２３ ７．某学员在一次射击测试中射靶１０次,命 中环数如下:７,８,７,９,５,４,９,１０,７,４． 则(１)命中环数的中位数为　　　　; (２)命中环数的２５％分位数为　　　　; (３)命中环数的７５％分位数为　　　　． ８．某学校高一高二年级共１０００人,其中 高一年级４００人,现按照年级进行分层 随机抽样调查学生身高,得到高一、高二 两个年级的样本平均数分别为１６５cm, １７０cm和样本标准差分别为３,４,则总 体方差s２＝　　　 　． ９．某校年级组长为了解本校高三学生一模 考试的数学成绩(单位:分),随机抽取３０ 名学生的一模数学成绩,如下所示: １１０　１４４　１２５　６３　８９　１２１　１４５　１２３ ７４　９６　９７　１４２　１１５　６８　８３　１１６ １３９　１２４　８５　９８　１３２　１４７　１２８　１３３ ９９　１１７　１０７　１１３　９６　１４１ 估计该校高三学生一模数学成绩的２５％ 分位数为　　　,５０％分位数为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６３􀅰 必修第一册 １０．在一次中学生田径运动会上,参加男 子跳高的１７名运动员的成绩如下表 所示: 成绩 (单位:m)１．５０１．６０１．６５１．７０１．７５１．８０１．８５１．９０ 人数 ２ ３ ２ ３ ４ １ １ １ 分别 求 这 些 运 动 员 成 绩 的 中 位 数、 ２５％分位数和７５％分位数． １１．某学校统计教师职称及年龄,中级职 称教师的人数为５０,其平均年龄为３８ 岁,方差是２,高级职称的教师中有３ 人５８岁,５人４０岁,２人３８岁,求该 校中级职称和高级职称教师年龄的平 均数和方差． １２．如表记录了一个家庭６月份每天在食 品上面的消费金额(单位:元)． 第１ 天 第２ 天 第３ 天 第４ 天 第５ 天 第６ 天 第７ 天 第８ 天 第９ 天 第１０ 天 ３１ ２９ ２６ ３２ ３４ ２８ ３４ ３１ ３４ ３４ 第１１ 天 第１２ 天 第１３ 天 第１４ 天 第１５ 天 第１６ 天 第１７ 天 第１８ 天 第１９ 天 第２０ 天 ３５ ２６ ２７ ３５ ３４ ２８ ２８ ３０ ３２ ２８ 第２１ 天 第２２ 天 第２３ 天 第２４ 天 第２５ 天 第２６ 天 第２７ 天 第２８ 天 第２９ 天 第３０ 天 ３２ ２６ ３５ ３４ ３５ ３０ ２８ ３４ ３１ ２９ (１)该家庭６月份每天在食品上面的 消费金额的中位数是多少? 众数是 多少? (２)分别求该家庭６月份每天在食品 上面的消费金额的 ５％,２５％,５０％, ７５％,９５％分位数． １３．文明城市是反映城市整体文明水平的 综合性荣誉称号,作为普通市民,既是 文明城市的最大受益者,更是文明城 市的主要创造者．某市为提高市民对 文明城市创建的认识,举办了“创建文 明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机 抽取１００份作为样本,将样本的成绩 (满分１００分,成绩均为不低于４０分的 整数)分成六段:[４０,５０),[５０,６０),􀆺, [９０,１００]得到如图所示的频率分布直 方图． (１)求频率分布直方图中a的值; (２)求样本成绩的第７５百分位数; (３)已知落在[５０,６０)的平均成绩是 ６１,方差是７,落在[６０,７０)的平均成绩 为７０,方差是４,求两组成绩的总平均 数􀭵z和总方差s２． １４．甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃 饭．他们分别在A,B 两个网站查看同 一家餐馆的好评率．甲在网站A 查到 的好评率是９８％,而乙在网站B 查到 的好评率是８５％．综合考虑这两个网 站的信息,应该如何得到这家餐馆的 好评率? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６３􀅰 第六章　统计