第二章 3 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

数学 13.解：如图，过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分 别是G,H. 因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=2√2cm, 所以BG=AG=DH=HC=2cm, 文BC=7cm,所以AD=GH=3cm. 当点F在BG上，即x∈(0,2]时y-7当点F在 GH上，即x∈(2,5]时，y=2+(x-2)·2=2x-2: 当点F在HC上，即x∈(5,7)时，y=S玉连AED =5wum-Sam=10-7-x月 [合，02 综上，y={2x-2,x∈(2.5]， --70+10.e6,7 14.解：因为f2)=1,所以，2 2a+6-1, 即2a+b=2.① 又因为=x有唯一解，即t千bx有唯一解。 所以a.x2十(b一1)x=0有两个相等的实数根， 所以4=(h-1)=0,即6=1.代入①得a=之 所以f(x》= x 2+1r+2 所以-3)=()=6)-￥9 §3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 1.B[由图象，可知函数y=f(x)的单调递减区间有 2个.] 2.D[因为f(x)是R上的减函数，且a2十1>a,所以 f(a+1)<f(a).] 3.B[由已知，得f(0)=-1.f(3)=1,∴.-1<f(x)<1 等价于f(0)<f(x)<f(3).:f(x)在R上单调递增， ,.0<r<3.] 4.C[根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单 调性不变，选项A,B正确：g(x)为增函数，则一g(x)为 减函数，f(x)为减函数，f(x)十（一g(x)为减函数，选项D 正确：若f八x)为增函数，g(x)为减函数，剥f(x)十g(x)的增 减性不确定，例如f(x)=x十2为R上的增函数，当g(x) =-号x时，f)十Rx)=受十2在R上为增函数：当 g(x)=-3x时，f(.x)十g(x)=-2.x十2在R上为减函 数，故不能确定f(x)十g(x)的单调性.] 5.CD[y=|x|+1=-x+1(x<0)在(-∞，0)上为减函 数y=1工=-1(r<0)在(-0,0)上既不是增函教也 不是减画数：y=一百=x(x<0)在(-00)上是增西 数y=x+白=x-1(x<0)在(-0,0)上也是增 函数，] ·39 必修第一册 6.解析：对于①，若函数f(x)=x+1(x∈R)是单函数，则 由f(x1)=f八x),得x+1=x十1，解得x1=或x =一x,不满足单函数的定义，故①错误： 对于②，若函数f(x)=x一1(x∈R)是单函数，则由 f(x1)=f(x2),得x-1=x-1,解得x1=x2,满足单 函数的定义，故②正确：对于③，若虽数f(x)为单函数， ,·西∈A且f(x1)=f(x:)时总有工1=x2,其逆否命题 为x12∈A且x1≠xe,则f(x)≠f(x),放③正确：对 于④·对子f()=二2，满足函教f)是(1.2) 1-x,x>2 U(2,十o∞)上的单函数，但f(x)在(1,2)U(2,十o∞)上 不是单调函数，故④错误， 答案：②③ 7.解析：由一次画最性质可得1-2。>0，解得a<分 答案：a< 8.解析：因为f(2)=0,所以f(.x-1)>0=f(2),因为f(x) 在R上的单调递减，所以x一1<2，即x<3. 答案：(-∞，3) 9.解析：当a-2=0,即a=2时，f(x)=x十3在[2，十∞] 上是增函数： 当a一2>0，即a>2时，二次函数的图象开口向上，对称 轴方程为x= 2a-2·要使函数fx)在[2，十∞)上 a-1 是增画数，时一2≤2，解得a>2,蜂上≥2 当a一2<0，即a<2时，二次函数的图象开口向下，要使 )在[2.+0)上是减函数，则-202<2，a≤号 4-1 综上a≤5 9 答案：[2，十∞) 10.证明：任取x,x∈(0，十∞)，且x<x 则x1)-f,)=xi-⊥-+ =a-++) :0x,<d-x<0十+ 1>0 .f(x1)-f(x)<0,即f(x1)<f（x2), “函数f(x)=x2-上在区间(0，十∞)上是增函数. 11.解：由题意，可得f(1一2a)>f(3-u). f(x)在定义城[1,4]上单调递减， ,11-2a≤4 ∴.1≤3一a≤4，解得一1≤u≤0， (1-2a<3-a .实数a的取值范圈为[一1,0们. 12.解：(1)任设x1<x<一2， 则f八)-fx)=。- 2(.1-) +22+2(+2)(2+2) 因为(x1十2)(+2)>0，x1-x2<0,所以f(x1)< f（工2)，所以f(x)在(-∞，一2)上单调递增. (2)任设1<x1<x2,则 f儿x)-f)=西- a(E一x1） x-a x-a (x-a)(xs-a)" 因为a>0,2-x1>0, 所以要使f(x)一f(x)>0,只需(x1-a)(x-a)>0 恒成立，所以a≤L 综上所述知a的取值范围是(0,1门. 参考答案 13.解：(1)证明：设x1x2∈R,且x,<x2 则x4一x1>0,即f(x-x1)>1, 所以f(x)-f(x)=f[(x2一x)+]-f() =f(x-x1)+f(x,)-1-f() =f（x2-x1)-1>0, 所以f(x)<f八x),所以f(x)是R上的增函数. 2)因为f(号）=f)-. 所以f)+f(5）厂f. 在上式中取x=4,y=2,则有f(2)十f(2)=f(4), 因为f(2)=1,所以f(4)=2. 于是不学式)-f()≤2等你于几x-3明 ≤f(4)(x≠3).又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以(-3)4解得-1≤<3我3<≤4， x-3≠0， 所以原不等式的解集为[-1,3)U(3,4门. 14.解：(1)设一元二次函数的解析式为f(x)=ax十bx十c (a≠0)， 由f(0)=1,得c=1,故f(x)=a.x+b.x十1. 因为f(x+1)-f(x)=2.x, 所以a(.x+1)2+b(.x+1)+1-(ax+b.x+1)=2.x 即2a.x+a+b=2.x, 所以/2a=2, (a+b=0 所以=1. 16=-1, 所以f(x)=x2-x+1. (2)因为g(x)=f(x)-mx=x-(1十m)x十1的图象 关于直线工=十m对称， 2 又函数g(x)在[2,4门上是单调函数. 所以l生0<2我生≥，解得m<3浅m≥7。 2 故实数m的取值范围是（一∞，3]U[7,十∞）. 第2课时函数的单调性与最大（小）值 1.A[因为y=子y=-2z在区间(-2，-1门上都是成 函数，所以了x)=士-2江在区间（一2，-1门上单调道 减，因为f(x)m=f-1)=-1+2=1.] 2.C[①当k>0时，由题可得仁+5-1·不符合题 12k+5=8. 意：②当<0时，由题可得2十5.1解得=-3. 1-k十5=8， 综上得k=-3.] 3.C[令8-5a=,国为x[0:号)U(停+）小所以 1(0.8]U(-0,0,当1∈(0,8].函数f)=号单调 递减，故f)≥f8)=子，当1E(-0,0),即1<0时 0=兰<0，所以所求函数的值域为（一0,0） U[子+m门 ·39 课时作亚 A[周为高段)-2出-2，+3=2+马 x-1 x-1 由函数的图象可知f(x)在[一8，一4)上单调递减，则 八)在x=-8处取得藏大位，最大值为号=-4取 不到函数值，即最小值取不到.门 5.AB[由y=x2-2.x+3=(x-1)2+2知，当r=1时，y 的最小值为2；当y=3时，x2一2x十3=3，解得x=0或 x=2.由y=x2一2x十3的图象知，当m∈[1,2]时，能保 证y的最大值为3，最小值为2.] 6.AC[在A中，因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是单 调通减函数，所以当x一2时，函数的最小值为一3，因此 a<-3,A正确：在B中，因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]) 是单调递减函数，所以当x=一2时，函数的最大值为5，因 此a<5.B错误：在C中，函数g(x)=x一2x=(x-1)-1, x∈[0,3].所以当x=1时，函数g(x)取得最小值一1，当x =3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[一1,3]， 由g(x)=a有解，知a∈g(x)的值域，即-1≤u≤3，C正 确：在D中.Hx∈[-2,2]，31∈[0,3]，f(x)=g(1)等 价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是 [-3,5],g(1)的值城是[-1,3]，D错误.] 解桥：)=斧-22=2-异在[1,2]上 x+1 是增画教，所以fx)=f(2)=号fx)=f01)=1. 答案：1 8.解析：f(.x)=a(x十1)一4十1的对称轴x=一1，又a>0, 所以)=f2)=8a十1=4，解得a=是. 3 答案：8 .解析：根搭题意，得二次画数了()=一2十x 一号口一1)+号国象的对称轴为直线x=1,最大位为宁 ①当m<n≤1时，f(x)在[m,n]上单调递增， m)=-2m+m=3m 则 w)=-名r+m=3凯 解得m=一4，n=0: ②当m<1<n时，f)的最大值为)=号=3m,解得 1=名，与m<1<n矛盾，不特合题意： ③当1≤m<n时，f(x)在[m,n]上单调递减， 若)的值城为[3m3nl,则必有3m≤名，解得<行 不符合题意.故m=一4，n=0 答案：一40 10.(1)证明：设1，xe是区间[2,3]上的任意两个实数，且 x<,则f(.m1)-f(）=-2 2 -1十- 2(,x1-x2） x-1)x4 2≤t1<x63. .x-x1>0.x1-1>0,x2-1>0. ∴f(x)-f()<0,即f(x)<f(x) 画数)=名在[2,3]上是增通数。 (2)由(1)，得f(x)在[2,3]上的最大值是f(3)=-1,最小 值是(2)=-2. 3数学 必修第一册 空 数 课时 间 §3函数的单调性和最值 纠错空间 学 作业 第1课时 函数的单调性 基础过关 》 6.函数f(x)的定义域为A,若x1x2∈A 1.如图是函数y=f(x)的图象，则此函数 且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称 的单调递减区间的个数是 f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+ 1(x∈R)是单函数.下列说法中： ①函数f(x)=x2十1(x∈R)是单函数； ②函数f(.x)=x3一1(x∈R)是单函数： ③若函数f(x)为单函数，x1,x2∈A且 x1≠x2,则fx1)≠f(x2): 4444444+444+444 A.1 B.2 ①若函数∫(x)是A上的单函数，则 C.3 D.4 f(x)是A上的单调函数， 2.若函数f(x)在R上是减函数，则下列 其中所有正确说法的序号是 关系式一定成立的是 () A.f(a)>f(2a) 7.若函数f(.x)=(1一2a)x+3在R上是 B.f(a)<f(a) 增函数，则a的取值范围是 C.f(a+a)<f(a) 8.已知函数f(x)在R上单调递减，且 方法总结 D.f(a2+1)<f(a2) f(2)=0,若f(x一1)>0，则x的取值 3.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0, 范围是 一1)，B(3,1)是其图象上的两点，则一1 <f(x)<1的解集是 9.若f(x)=(a-2)·x2+(a-1).x+3在 44444 44444444 A.(-3,0) [2,十o]上是增函数，则a的取值范围是 B.(0,3) ,若在[2，+oo)上是减函数，则d C.(-∞，-1]U[3,+∞) 的范围是 D.(-o∞，0]U[1,+∞) 10证明：函数f(x)=x2一1在区间 4.下列有关函数单调性的说法，不正确 的是 () (0,十○)上是增函数 A.若f(x)为增函数，g(x)为增函数， 则f(x)十g(x)为增函数 B.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则 f(x)十g(x)为减函数 C.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(.x)+g(x)为增函数 D.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则 f(x)一g(x)为减函数 5.(多选)下列函数在（一o,0)上为增函 数的是 4444444 A.y=lz+1 B.y=Izl C.y=- x D.y=x+ x ·308· 第二章函数 课时作业 11.已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函 13.已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 数，求满足不等式f1-2a)-f(3-a)>0 fa+b)=f(a)+fb)-1,且当x>0时， 空 的实数a的取值范围。 f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数： 纠错空间 (2)若ff)-ff2)=1. 解不等式)-32 44444444444+4444+4444 44444444444444 能力提升 方法总结 》>》 素养培优 》 12.已知f(x=x(r≠a). tmt+t十r+t41t x-a 14.若一元二次函数满足f(x十1)一f(x) (1)若a=-2,试证：f(x)在(-∞，-2) =2x,且f(0)=1. 上单调递增； (1)求f(x)的解析式： (2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调 (2)若g(x)=f(x)一m.x在[2,4]上是 递减，求a的取值范围. 单调函数，求实数m的取值范围 4444444+444+。4+ 444 ·309·