第一章 4.3 一元二次不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　４．３　一元二次不等式的应用 １．不等式４x＋２３x－１＞０ 的解集为 (　　) A．x|x＞１３ ,或x＜－１２{ } B．x|－１２＜x＜ １ ３{ } C．x|x＞１３ ,或x≤－１２{ } D．∅ ２．已知关于x的不等式ax＋b＞０的解集是 (１,＋∞),则关于x的不等式ax－bx－２＞０ 的 解集是 (　　) A．{x|x＜－１,或x＞２} B．{x|－１＜x＜２} C．{x|１＜x＜２} D．{x|x＞２} ３．某地每年销售木材约２×１０５m３,销售价 格为２．４×１０３ 元/m３,为了减少木材消 耗,决定按销售收入的t％征收木材税, 这样每年的木材销售量减少 ２．５t× １０４m３．为了既减少木材消耗又保证税 金收入每年不少于９×１０６ 元,则实数t 的取值范围是 (　　) A．{t|１≤t≤３}　　　B．{t|３≤t≤５} C．{t|２≤t≤４} D．{t|４≤t≤６} ４．已知关于x的不等式x２－４x≥m 对任 意x∈(０,１]恒成立,则有 (　　) A．m≤－３　　　　　　　B．m≥－３ C．－３≤m＜０ D．m≥－４ ５．下列各组不等式中解集相同的是 (　　) A．x ２－２x x－１ ＜ ３ x－１ 与x２－２x＜３ B． (x－３)(x＋１) x＋１ ＞０ 与x－３＞０ C．x＜５与x＋ １ x２－３x＋２ ＜５＋ １ x２－３x＋２ D． (x－３)(x＋１) x－３ ＞０ 与x＋１＞０ ６．(多选)在R上定义运算:a　bc　d ＝ad－bc , 若不等式 x－１ a＋１　 a－２ x ≥１ 对任意实 数x恒成立,则实数a可以为 (　　) A．－１２　　B． 不变　　C．１２　　D． ３ ２ ７．要使 １ ７－６x－x２ 有意义,则x的取值范 围为　　　　． ８．若对任意实数x,关于x的不等式(a２－ １)x２－(a－１)x－１＜０恒成立,则实数 a的取值范围为　　　　． ９．已 知 全 集 U ＝ R,集 合 A ＝ x２－３xx－４≤１{ },B＝{x||２x－５|≥３}, 则A∩B＝　　　,A∪B＝　　　． １０．设函数f(x)＝mx２－mx－１． (１)若对于一切实数x,f(x)＜０恒成 立,求实数m 的取值范围． (２)对于x∈[１,３],f(x)＜－m＋５恒 成立,求实数m 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９２􀅰 第一章　预备知识 １１．某农贸公司按每担２００元收购某农产 品,并按每１００元纳税１０元(又称征 税率为１０个百分点),计划收购a万 担,政府为了鼓励收购公司多收购这 种农产品,决定将征税率降低x(x≠０) 个百分点,预测收购量可增加２x个百 分点． (１)写出税收y(万元)与x的函数关 系式; (２)要使此项税收在税率调节后不少 于原计划税收的８３．２％,试确定x 的 取值范围． １２．已知不等式mx２－２x－m＋１＜０,是否 存在实数 m 对所有的实数x,不等式 恒成立? 若存在,求出m 的取值范围; 若不存在,请说明理由． １３．已知集合A＝{x|x－３x－１≤０ },B＝{x| x２－３x－c≤０}． (１)若 A⊆B,求实数c的取值范围． (２)若B⊆A,求实数c的取值范围． １４．已知函数y＝(m＋１)x２－mx－１(m∈R)． (１)若函数y在(０,＋∞)上随x 的增 大而增大,求实数m 的取值范围; (２)若m＜－１,解关于x的不等式y≥０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００３􀅰 必修第一册 ４．A　[∵０＜a＜１,∴１a ＞１ ,即a＜ １a ,∴不等式的解集 为 x|x＞１a ,或x＜a{ }．] ５．AB　[当m＝０时,方程化为－４x＋５＝０,解得x＝ ５４ , 此时方程只有一个实数根,A 正确;当 m＝１时,方程化 为x２－４x＋４＝０,因为Δ＝(－４)２－４×１×４＝０,所以 此时方程有两个相等的实数根,B正确;当 m＝－１时, 方程化为－x２－４x＋６＝０,因为Δ＝(－４)２－４×(－１) ×６＞０,所以此时方程有两个不相等的实数根,C错误; 当m＝２时,方程化为２x２－４x＋３＝０,因为Δ＝(－４)２ －４×２×３＝－８＜０,所以此时方程无实数根,D错误．] ６．BCD　 [因 为 不 等 式 ax２ ＋bx＋c＞０ 的 解 集 为 －１２ ,２( ) ,故相应的二次函数f(x)＝ax２＋bx＋c的图 象开口向下,所以a＜０,故 A 错误;易知２和－ １２ 是方 程ax２＋bx＋c＝０的两个根,则有ca ＝－１＜０ ,－ba ＝ ３ ２＞０ ,又a＜０,故b＞０,c＞０,故B、C正确;由二次函数 的图象可知f(１)＝a＋b＋c＞０,故 D正确．] ７．解 析:由 题 知 x＋２≤０, x２－９≥０,{ 或 x ２ － ９ ＝ ０,即 x≤－２, x≤－３或x≥３,{ 或x＝±３,即x≤－３或x＝３． 答案:{x|x≤－３,或x＝３} ８．解析:由已知得１,m 是ax２－６x＋a２＝０的两根,且a＞０, ∴a２＋a－６＝０,得a＝２ 或a＝－３(舍)．又 １＋m＝ ６ a ,∴m＝２． 答案:２ ９．解析:甲同学看错了p,但没有看错q,乙同学看错了q, 但没有看错p,所以根据根与系数的关系,得q＝(－３)×１ ＝－３,p＝－(－２＋４)＝－２． 答案:－２　－３ １０．解:(１)由－x２＋x≥３x＋１,得x２＋２x＋１≤０, 即(x＋１)２≤０,∴x＋１＝０,∴x＝－１, 即不等式－x２＋x≥３x＋１的解集为{－１}． (２)由x２－２x＞２x２＋２,得x２＋２x＋２＜０, 即(x＋１)２＋１＜０,不可能成立, 即不等式x２－２x＞２x２＋２的解集为∅． １１．解:由题知 －a＝１＋２b＝１×２,{ 即 a＝－３, b＝２,{ ∴不等式bx２＋ax＋１＞０． 就是２x２－３x＋１＞０． 由于２x２－３x＋１＞０⇔(２x－１)(x－１)＞０⇔x＜１２ 或x＞１． ∴bx２＋ax＋１＞０的解集为 －∞,１２( ) ∪(１,＋∞)． １２．C　[由４[x]２－３６[x]＋４５＜０,得３２＜ [x]＜１５２ ,又[x] 表示不大于x的最大整数,所以２≤x＜８．] １３．解:原不等式可化为(x－a)(x－a２)＞０． 当a＜０时,a＜a２,解集为{x|x＜a,或x＞a２}; 当a＝０时,a２＝a,解集为{x|x≠０}; 当０＜a＜１时,a２＜a,解集为{x|x＜a２,或x＞a}; 当a＝１时,a２＝a,解集为{x|x≠１}; 当a＞１时,a＜a２,解集为{x|x＜a,或x＞a２}． 综上所述,当a＜０或a＞１时, 解集为{x|x＜a,或x＞a２}; 当０＜a＜１时,解集为{x|x＜a２,或x＞a}; 当a＝０时,解集为{x|x≠０}; 当a＝１时,解集为{x|x≠１}． １４．解:(１)由题意知,不等式对应的方程ax２＋５x＋c＝０的 两个实数根为１ ３ 和１ ２ , 由根与系数的关系,得 a＜０, －５a＝ １ ３＋ １ ２ , c a ＝ １ ２× １ ３ , ì î í ï ï ï ï 解得a＝－６,c＝－１． (２)由a＝－６,c＝－１知不等式ax２＋(ac＋２)x＋２c≥０ 可化为－６x２＋８x－２≥０,即３x２－４x＋１≤０, 解得１ ３≤x≤１ ,所以不等式的解集为 １ ３ ,１[ ]． ４．３　一元二次不等式的应用 １．A　[４x＋２３x－１＞０⇔ (４x＋２)(３x－１)＞０⇔x＞ １３ 或x＜ －１２ ,此不等式的解集为 x x＞１３ ,或x＜－１２{ }．] ２．A　[依题意,a＞０且－ba ＝１． ax－b x－２＞０⇔ (ax－b)(x－ ２)＞０⇔(x－ba )(x－２)＞０,即(x＋１)(x－２)＞０⇔x＞ ２或x＜－１．] ３．B　[设按销售收入的t％对木材征税时,税金收入为y 元,则y＝２．４×１０３×(２×１０５－２．５t×１０４)×t％ ＝６(８t－t２)×１０５． 令y≥９×１０６,即６(８t－t２)×１０５≥９×１０６, 解得３≤t≤５．] ４．A　[令f(x)＝x２－４x＝(x－２)２－４,在(０,１]上为减函 数,当x＝１时,f(x)min＝－３,所以m≤－３．] ５．B　[对于 A,根据分母不为０,可知x ２－２x x－１ ＜ ３ x－１ 的解 集中没有元素１,而x２－２x＜３的解集中有元素１,故 A 不正确;对于B,由 (x－３)(x＋１) x＋１ ＞０ ,得x－３＞０且x≠ －１,即x＞３,由x－３＞０,得x＞３,故选项 B正确;对于 C,由x＋ １ x２－３x＋２ ＜５＋ １ x２－３x＋２ 整理得x＜５且x２ －３x＋２≠０,即x＜５且x≠１且x≠２,故选项C不正确; 对于D,由 (x－３)(x＋１) x－３ ＞０ ,得x＋１＞０且x－３≠０,即 x＞－１且x≠３,故 D不正确．] ６．ACD　[由 定 义 知,不 等 式 x－１a＋１　 a－２ x ≥１ 等 价 于 x２－x－(a２－a－２)≥１,∴x２－x＋１≥a２－a对任意实 数x 恒成立．∵x２－x＋１＝(x－１２ )２＋３４≥ ３ ４ ,∴a２－ a≤３４． 解得－１２≤a≤ ３ ２． ] ７．解析:由７－６x－x２＞０,得x２＋６x－７＜０, 即(x＋７)􀅰(x－１)＜０,所以－７＜x＜１． 答案:{x|－７＜x＜１} ８．解析:(１)若a２－１＝０,则a＝±１． 当a＝１时,原不等式为－１＜０, 解集为 R,满足题意; 当a＝－１时,原不等式为２x－１＜０, 解集为 x|x＜１２{ },与题意不符． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８３􀅰 必修第一册 (２)若a≠±１,则当 Δ＝(a－１)２＋４(a２－１)＜０, a２－１＜０{ 时, 不等式的解集为 R,解得－３５＜a＜１． 综上,实数a的取值范围是 a|－３５＜a≤１{ }． 答案:a|－３５＜a≤１{ } ９．解析:由２－３xx－４≤１ ,得２－３x x－４ －１≤０ ,整理得６－４x x－４≤０ ,解 得x＞４或x≤３２ ,即A＝ x|x＞４,或x≤３２{ }, 因为B＝{x||２x－５|≥３}＝{x|２x－５≥３,或２x－５≤－３} ＝{x|x≥４或x≤１},所以A∩B＝{x|x＞４,或x≤１}; A∪B＝ x|x≥４,或x≤３２{ }． 答案:{x|x＞４,或x≤１}　 x|x≥４,或x≤３２{ } １０．解:(１)由已知条件得m＝０,或 m＜０ m２＋４m＜０{ , 解得:－４＜m≤０．因此实数m 的取值范围是(－４,０]． (２)当x∈[１,３]时,不等式等价于mx２－mx－１＜－m＋５, m＜ ６ x２－x＋１ ,函数y＝ ６x２－x＋１ 在[１,３]上随x 的增 大而减小,则当x＝３时,函数取到最小值ymin＝ ６ ７ ,由 已知条件m＜６７ ,因此实数m的取值范围是 －∞,６７( )． １１．解:由题知(１)降低税率后的税率为(１０－x)％,农产品 的收购量为a(１＋２x％)万担,收购总金额为２００a(１＋ ２x％)万元．依题意:y＝２００a(１＋２x％)(１０－x)％ ＝１５０a (１００＋２x)(１０－x)(０＜x＜１０)． (２)原计划税收为２００a􀅰１０％＝２０a(万元)． 依题意得:１ ５０a (１００＋２x)(１０－x)≥２０a×８３．２％, 化简得x２＋４０x－８４≤０, ∴－４２≤x≤２． 又∵０＜x＜１０,∴０＜x≤２． ∴x的取值范围是０＜x≤２． １２．解:不等式mx２－２x－m＋１＜０恒成立, 即函数f(x)＝mx２－２x－m＋１的图象全部在x轴下方． 当m＝０时,１－２x＜０,则x＞１２ ,不满足题意; 当m≠０时,函数f(x)＝mx２－２x－m＋１为二次函数, 需满足开 口 向 下 且 方 程 mx２ －２x－m＋１＝０ 无 解, 即 m＜０, Δ＝４－４m(１－m)＜０,{ 不等式组的解集为空集,即m 不存在． 综上可知不存在这样的m． １３．解:(１)A＝{x|１＜x≤３},B＝{x|x２－３x－c≤０},由A ⊆B,可知函数y＝x２－３x－c在(１,３]上恒有y≤０,由 x２－３x－c≤０,可得c≥x２－３x＝ x－３２( ) ２ －９４ ,故c≥０． 所以实数c的取值范围为[０,＋∞)． (２)由B⊆A,可知B 可能为∅,也可能不为∅． ①当B＝∅时,Δ＝９＋４c＜０,可得c＜－９４． ②当B≠∅时,设函数f(x)＝x２－３x－c, 则 Δ≥０ f(１)＞０ f(３)≥０ { ,即 ９＋４c≥０ １－３－c＞０ ９－９－c≥０{ ,解得－ ９ ４≤c＜－２． 综合①②,知实数c的取值范围为(－∞,－２)． １４．解:(１)f(x)在(０,＋∞)上随x的增大而增大,若 m＋１ ＝０,则m＝－１,f(x)＝x－１,在(０,＋∞)上随x 的增 大而增大,所以 m＝－１;若 m≠－１,f(x)在(０,＋∞) 上随x的增大而增大,则 m＋１＞０ －m －２(m＋１)≤０{ ,解得－１＜m ≤０,综上所述,实数m 的取值范围是－１≤m≤０． (２)若m＜－１,f(x)≥０,则(m＋１)x２－mx－１≥０,即 [(m＋１)x＋１)(x－１)]≥０,所以 x＋ １m＋１( )(x－１)≤０, 若m＋１＝－１,即 m＝－２,不 等 式 的 解 集 为 {１};若 m＋１＞－１,即－２＜m＜－１,此时 －１m＋１＞１ ,不等式的 解集为 １,－１m＋１[ ] ;若 m＋１＜ －１,即 m＜－２,此 时 －１ m＋１＜１ ,不等式的解集为 －１ m＋１ ,１[ ] , 综上可知,当m＝－２时,不等式的解集是{１}; 当－２＜m＜－１时,不等式的解集是 １,－１m＋１[ ] ; 当m＜－２时,不等式的解集是 －１m＋１ ,１[ ]． 第二章　函数 §１　生活中的变量关系 １．D　[根据函数的定义,每一个自变量x 的值,都有唯一 确定的y值与之对应,所以正确选项为 D．] ２．A　[公路上行驶的汽车,每个行驶的时间t,都有唯一的 速度v对应,所以两个变量“时间t”与“速度v”之间是函 数关系,所以正确选项为 A．] ３．C　[由于开始匀速行驶,所以离学校的距离匀速减少, 中间一段停留,与学校距离没变,然后加速赶到学校,与 学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快,所以正 确选项为 C．] ４．B　[从给出的水的深度h与水量V(体积)的对应关系图 中,可以看出随着水的深度h的增加,开始部分水量V (体积)增加的很快,后部分水量V(体积)增加得要慢一 些,说明容器下面部分横截面面积较大,上面部分横截 面面积较小,所以正确选项为B．] ５．ABD　[最高温度与最低温度的差为(３８－２２)℃＝１６℃, 故 C错误,ABD正确．] ６．AD　[由图１知,在２．６km 到２．８km 之间,图象上升, 故在这第二圈的２．６km 到２．８km 之间,赛车速度逐渐 增加,故 A 正 确;在 整 个 跑 道 上,高 速 行 驶 时 最 长 为 (１􀆰８,２􀆰４)之间,但直道加减速也有过程,故最长的直线 路程有可能超过０．６km,故 B不正确;最长直线路程应 在１．４km 到１．８km 之间开始,故 C不正确;由图１可 知,跑道应有３个弯道,且两长一短,故 D正确．] ７．解析:因为 A 中 的 元 素 ５的 ２倍 为 １０,并 没 有 在 集 合 B 中． 答案:不能 ８．解析:因为x＝－１＜０,所以y＝－x＝－(－１)＝１． 答案:１ ９．解析:当x≥０时,则x２－２x＋１＝１,解得x＝０或x＝２, 当x＜０时,则－x＝１． 解得x＝－１,所以A＝{－１,０,２}． 答案:{－１,０,２} １０．解:(１)自变量是温度,因变量是声速． (２)由题图表数据可得出,当声音在空气中传播速度为 ３４２m/s时,此时空气的温度是２０℃． (３)利用表格中数据得出:空气的温度每升高１０℃,声音 的传播速度将增大６m/s． (４)由图表中数据可得出:y＝０．６x＋３３０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８３􀅰 参考答案