第一章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　　第２课时　基本不等式的应用 １．已知a＞０,b＞０,a＋b＝２,则１a＋ ４ b 的 最小值是 (　　) A．７２　　　B．４　　　C． ９ ２　　　D．５ ２．已知x≥５２ ,则f(x)＝x ２－４x＋５ ２x－４ 有 (　　) A．最大值５２ B． 最小值５ ４ C．最大值１ D．最小值１ ３．已知x＞０,y＞０,x＋２y＋２xy＝８,则 x＋２y的最小值是 (　　) A．３ B．４ C．９２ D． １１ ２ ４．若对任意x＞０, x x２＋３x＋１ ≤a恒成立, 则a的取值范围是 (　　) A．a≥１５ B．a＞ １ ５ C．a＜１５ D．a≤ １ ５ ５．(多选)下列四个命题中,是真命题的是 (　　) A．∀x∈R,且x≠０,x＋１x≥２ B．∃x∈R,使得x２＋１≤２x C．若x＞０,y＞０,则 x ２＋y２ ２ ≥ ２xy x＋y D．若x≥５２ ,则x ２－４x＋５ ２x－４ 的最小值为１ ６．(多选)设a＞０,b＞０,则下列不等式中 一定成立的是 (　　) A．a＋b＋ １ ab ≥２ ２ B．２aba＋b≥ ab C．a ２＋b２ ab ≥a＋b D．(a＋b)１a＋ １ b æ è ç ö ø ÷≥４ ７．已知实数m,n满足mn＞０,m＋n＝－１, 则１ m＋ １ n 的最大值为　　　　． ８．建造一个容积为８m３,深为２m的长方体 无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为１２０元和８０元,那么水池的最 低总造价为　　　　元． ９．若不等式ax２－６x＋３＞０对x∈R恒成 立,则实数a的取值范围是　　　　　, a＋ ９a－１ 的最小值为　　　　　． １０．某品牌电脑体验店预计全年购入３６０ 台电 脑,已 知 该 品 牌 电 脑 的 进 价 为 ３０００元/台,为节约资金决定分批购 入,若每批都购入x(x∈N＋ )台,且每 批需付运费３００元,储存购入的电脑 全年所付保管费与每批购入电脑的总 价值(不含运费)成正比(比例系数为k), 若每批购入２０台,则全年需付运费和 保管费７８００元． (１)记全年所付运费和保管费之和为 y元,求y关于x 的函数． (２)若要使全年用于支付运费和保管 费的资金最小,则每批应购入电脑多 少台? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９２􀅰 第一章　预备知识 １１．(１)已知０＜x＜２５ ,求y＝２x－５x２ 的 最大值; (２)已知x＞０,y＞０,且x＋y＝１, 求８ x＋ ２ y 的最小值． １２．已知:x＞０,y＞０,且x＋２y＝１,求使 １ x＋ １ y＞a 恒成立的参数a 的范围． １３．某工厂某种产品的年固定成本为２５０万 元,每生产x 千件,需另投入成本为 C(x),当年产量不足８０千件时,C(x)＝ １ ３x ２＋１０x(万元)．当年产量不小于８０千 件时,C(x)＝５１x＋１００００x －１４５０ (万 元)．每件商品售价为０．０５万元．通过 市场 分 析,该 厂 生 产 的 商 品 能 全 部 售完． (１)写出年利润L(x)(万元)关于年产 量x(千件)的函数解析式; (２)当年产量为多少千件时,该厂在这 一商品的生产中所获利润最大? １４．(多选)北京时间２０２３年２月３日凌 晨,瑞典哥德堡田径室内赛展开多个 项目角逐,在男子６０米比赛中,“中国 飞人”苏炳添以６秒５９夺冠,取得新 赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个 人新赛季首秀,３３岁的他是１９名参赛 者中年龄最大的选手,与他同场竞技 的还有２００６年出生的选手,这极大地 激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、 乙、丙三名学生同时参加了一次百米 赛跑,所用时间(单位:秒)分别为T１、 T２、T３．甲有一半的时间以速度V１(单 位:米/秒)奔跑,另一半的时间以速度 V２(单位:米/秒)奔跑;乙全程以速度 V１V２奔跑;丙有一半的路程以速度 V１ 奔跑,另一半的路程以速度V２ 奔 跑．其中V１＞０,V２＞０．则下列结论中 一定成立的是 (　　) A．T１≤T２≤T３　　B．T１≥T２≥T３ C．T１T３＝T２２ D． １ T１ ＋１T３ ＝１T２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９２􀅰 必修第一册 参考答案 -(+号+++1++++ =号+（+之）+号+++] (+层+2层+2· =3, 当且仅当x=y==1时取等号， 十的最小值为3 y (2)'9=(x十y+x)=x+y2++2xy+2x+2y: ≤3(x2+y+2), ∴x2十y+x≥3，当且仅当x=y==1时取等号. 又x…y2>0, xy十z+y>0, x2+y2+z=9-2(xy+xx+y)<9, 3≤x+y2+2<9. 13.证明：：a,b,c均为正实数， 小碧+品≥2当且仅当=2沙时等号减主 产+品≥2（当且仅当4-3c时样号成主）. 六+验≥2（当且仪当2功=3时等号成）. 普上迷三式相加释（僧+品）十（臣+品）十 (%+)≥6（当且仅当a=2助=3时等号成主）， (0+品一)十（倍+景-十（器+染-≥ (当且仅当a=2b=3c时等号成立)， 即2b+3c-4+“+32b+a+2h-3c>≥3（当且仅当a 3c =2b=3c时等号成立). 14.解：，x>y>0,.x-y>0.又：xy=1. 2=-0+名> x-y -y 2-·名=22， x一y 当且仅当一y=2时，等号成立， x-y ,x>y>0. 由xy=1. (x-y)2=2, 62 得x=6+2 2 即当=6士巨y=6.2时，等号成立. 2 2 第2课时基本不等式的应用 1.C2.D3.B4.A 5.BCD[对于A,Yx∈R,且≠0，+>2对0时， 不成立：对于B,当x=1时，x十1=2,2x=2,x2十1≤2.x 成立，正确：对于C,若x>0,y>0,别(x+y)(x十y) ≥2y…4wy=8r,化≥兴音且仅当 x十y ·38 课时作亚 x=>0时取等号，正确：对于D,y=4红十5 2x-4 22+]为≥是所以一 5 2(x-2) >0所以号[-2+]P×3一2·2=1， 当且仅当x一2=1 2即x=3时取等号.故y的最小值 为1.] 6.ACD[周为a>0,b>0,所以a+b+≥2√ab+ ab 1>22,当且仅当4=b且2a6=1 u 号时取等号，故A一定成主，因为a+b≥2Va6>0: 以2ab≤2ab 以a+b2√ab =√ab,当且仅当a=b时取等号，所以 2≤a6不一定成立，故B不成立，因为2<2 a+b2√ab =V品，当且仅当a=b时取等号，所以4十上 a+b tb2a+么2≥2Va6-Va6,当且仅当0 a十b =时取等号所以名瓜， 所以Q+6 ≥u十b,故C一定成立 Vab 因为a+日十)2+名+云≥4，当且收当a= 时取等号，故D一定成立，故选ACD.] 7.解析：n·n>0,m十n=一1，.m<0,n<0, .1+1 -m+(+）-(++)≤ 巴·=一小当且仅m==一时，十 一2-2入mn ,1+1 取得最大值一4， 答案：一4 8.解析：设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm, 由于底面积为4m,所以另一边长为手m 那么=1204+2：80：(2+2) =480+320(+）480+320(+1)】 ≥480+320·2√x· .1=1760(元) 当x=2,即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最 低，为1760元. 答案：1760 9.解析：当a=0时，不等式-6x十3>0对x∈R不恒成 立，不符合题意（含去）：当u≠0时，要使得ax-6x十3 >0对x∈R恒成立，则满足>0 {△=36-12a<0' 解得a>3,所以实数4的取值范国为(3，十∞).国为a>3, 可得a->0,所以a+。号=4-1+。号+1≥26+1 7,当且收当a时，孝号成主，所以a十。号的装小 值为7. 答案：(3，+∞)7 5 数学 10.解：(1)由题意，得y=360×300十k×3000z. 当x=20时，y=7800,解得k=0.04, 所以y=360×300+0.04×300r x =360×300+120.x(x∈N,). (2)由(1)，得y-360×300+120r≥ 20X0×120:=2X3600-720m 当且仅当360X300=120,即工=30时，等号成立. 所以要使全年用于支付运贵和保管费的资金最少，每 批应胸入电脑30台. 11.解：(1)y=2x-5.x=x(2-5x) =号·5r2-5 0<<号d5r<2,2-5z>0. a2-5r≤(g）-1. 2 六号，当且仅当5x=2-5,即=吉时y=合 (2)x>0,y>0,且x+y=1, +号-（+号+=10++今 8y.2z=18, 10+22·y 当且仅当-二即=号y-号时等号成立， 2 x y “+号的爱小值是18 y 12.解：：x>0,y>0,且x+2y=1, :1+1=+y++2y=1+2+2y+≥ r y y x y 3+2股·于-3+2 当且仅当=工，且x十2y=1, t y 即=2-1y1-号时，￥号成立 “十号的最小维为3+2区，故要使上+号>位成 x y 立，只需a<3+2√2即可. 即a的取值范围为（一o∞，3十2√2）. 13.解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品 销售额为0.05×1000x万元， 依题意得当0<x<80时.L(x)=1000.x×0.05- (32+10）-250=-号2+40x-250: 当x≥80时， L(x)=1000.x×0.05 51x+10000-1450）-250 =1200- x+10000 3r2+40r-250.0<<80, L(x)= 1200- c+10000 x ,x≥80. ·38 必修第一册 (2)当0<r<80时，1(x)=-吉x-60)2+950, 对称轴为x=60,即当x=60时，L(x)x=950万元： 当x≥80时，L(x)=1200- (x+10000)≤1200 2√10000=1000（万元）， 当且仅当r=100时，L(x)m.=1000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大. 14.AC[对于甲，因为甲有一半的时间以速度V,(单位： 米/秒)奔跑，另一半的时间以速度V,(单位：米/秒) 奔跑， 则号1y+2TV,=100.所以T- 100 2 对于乙，全程以速度√W,V奔跑，则T= 100 对于丙，丙有一半的路程以速度V,奔跑，另一半的路 程以选度务电，则工-积+积吧 V,+V, 由基本不等天可得V"≥张 2 2w=W所以">V≥张 2V,V 2V V: 2 >0,当且仅当V,=V2时等号全部成立，故T,≤T,≤ 100,× T,故A选项正确，B选项错误：TT=V十V 2 100 .100 =,故心选项正确：7十元 1 2V V. VV. V+V, V+V VV:.2V V. 2 2V V: 2 100+ +亚≠ V,+V2 100 100 100 一名，当且仅售Y-时等号成立，故D选项错误] §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 1.C[a=1,b=-4.c=-7. 一4 2×1=2 1ac-龙_4X1×(-7)-（-4)=-11. Aa 4×1 项点坐标为(2，-11).门 2.B0-22-6r+21-=7（d2-12x+42) a-6r+6时 = -2x-6+3 新越物我的解折式为y=一0+5] 3.D[y=-2x2+x的对称轴为 1 1 I= 2X(-2)4’ :在区间(-©，）上y随x的增大而增大.门 4.B[二次函数y=x”+2.x-2的图象开口向上 对称轴为x=一1， 当x>一1时， 函数值y随x的增大而增大， 所以在区间[0,1门上x=0时取得最小值一2， 所以正确选项为B. 36