第一章 3.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

１１．解:设２a＋３b＝x(a＋b)＋y(a－b), 则 x＋y＝２ x－y＝３{ ,解得 x＝５２ y＝－１２ ì î í ïï ï ． 因为－５２＜ ５ ２ (a＋b)＜１５２ ,－２＜－１２ (a－b)＜－１, 所以－９２＜ ５ ２ (a＋b)－１２ (a－b)＜１３２ ,即－９２＜２a＋ ３b＜１３２． 所以２a＋３b的取值范围为 －９２ ,１３ ２( )． １２．解:设今天的气温为x ℃,则明天的气温为２x ℃, 将两天的气温进行比较,有２x－x＝x,则 x＞０,升温, x＝０,不变, x＜０,降温, { 所以不同地方的网友会有不同的反应． １３．解:∵f(x)＝ax２－c,∴ f (１)＝a－c, f(２)＝４a－c,{ ∴ a＝１３ [f(２)－f(１)], c＝１３f (２)－４３f (１)． ì î í ïï ï ∴f(３)＝９a－c＝８３f (２)－５３f (１), 又∵－４≤f(１)≤－１,－１≤f(２)≤５, ∴５３≤－ ５ ３f (１)≤２０３ , ① －８３≤ ８ ３f (２)≤４０３． ② 把①②的两边分别相加,得－１≤８３f (２)－５３f (１)≤２０, 即－１≤f(３)≤２０．∴f(３)的取值范围是[－１,２０]． １４．BCD　[对于 A,∵a＞b＞０,m＞０,∴b＋ma＋m－ b a ＝m (a－b) a(a＋m)＞０ ,∴b＋ma＋m＞ b a ,故 A错误,对于B, ∵b＞a＞０,m＞０, ∴b＋ma＋m－ b a ＝ m(a－b) a(a＋m)＜０ ,∴ba ＞ b＋m a＋m ,故 B正确; 对于 C,∵a＞b＞０,c＞b＞０, ∴a－b＞０,c－d＞０, ∴ b＋ca＋c － b＋d a＋d ＝ (b＋c)(a＋d)－(b＋d)(a＋c) (a＋c)(a＋d) ＝ (a－b)(c－d) (a＋c)(a＋d)＞０ ,∴b＋da＋d＜ b＋c a＋c ,故 C正确; 对于 D,∵０＜１＋a＜１＋a＋b,０＜１＋b＜１＋a＋b, ∴ a１＋a＞ a １＋a＋b ,b １＋b＞ b １＋a＋b ,∴ a１＋a＋ b １＋b＞ a １＋a＋b＋ b １＋a＋b ,故 D正确．] ３．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 １．B　２．B　３．C　４．D ５．AD　[设甲、乙两地之间的距离为s．∵a＜b, ∴v＝ ２ss a ＋ s b ＝２aba＋b＜ ２ab ２ ab ＝ ab．又v－a＝２aba＋b－a ＝ab－a ２ a＋b ＞ a２－a２ a＋b ＝０ ,∴v＞a．] ６．BD　[当ab＜０时,①中的不等式是错误的,①错误;因 为x与４x 同号,所以 x＋４x ＝|x|＋ ４ x 是正确的, 且|x|＝ ４x ,即x＝±２时等号成立,所以②中的基本 不等式计算是正确的,②正确; x２＋２＋ １ x２＋２ ＞２ (当 x２＋２＝ １ x２＋２ 时,x２＝－１无解,等号不成立), 故③错误;因为ab＜０,所以－ab ＞０ 且－ba ＞０ ,且－ba ＝－ab ,即a＝－b时等号成立,所以④中的基本不等式 运算是正确的,④正确．] ７．解析:∵a＞０,b＞０, ∴a＋b≥２ ab,a２＋b２≥２ab, ∴四个数中最大数应为a＋b或a２＋b２． 又∵０＜a＜１,０＜b＜１, ∴a２＋b２－(a＋b) ＝a２－a＋b２－b＝a(a－１)＋b(b－１)＜０, ∴a２＋b２＜a＋b,∴a＋b最大． 答案:a＋b ８．解析:∵a＞０,b＞０,∴ab＝a＋b＋３≥２ ab＋３, 即ab－２ab－３≥０, 解得 ab≥３,即ab≥９． 答案:[９,＋∞) ９．解析:由题意x＞０,xy＋y＝４,所以y＝ ４x＋１＞０ , 所以z＝３x＋ ４x＋１＋２＝３ (x＋１)－３＋ ４x＋１＋２ ＝３(x＋１)＋ ４x＋１－１≥２ ３ (x＋１)􀅰 ４x＋１－１ ＝４ ３－１,当且仅当３(x＋１)＝ ４x＋１ ,即x＝２ ３３ －１＞０ 时 等号成立． 答案:４ ３－１ １０．证明:∵a＞０,b＞０, ∴１a＋ １ b≥２ １ ab＞０ , ∴ ２１ a＋ １ b ≤ ２ ２ １ab ＝ ab, 即 ２ １ a＋ １ b ≤ ab(当a＝b时取“＝”)． １１．解:(１)∵０＜x＜１２ , ∴１－２x＞０, y＝１４ 􀅰２x􀅰(１－２x)≤１４ 􀅰 ２x＋１－２x ２( ) ２ ＝１４× １ ４ ＝１１６． ∴当且仅当２x＝１－２x,即x＝１４ ,y最大值 ＝ １ １６． (２)∵x＜３,∴x－３＜０, ∴f(x)＝ ４x－３＋x＝ ４ x－３＋ (x－３)＋３ ＝－ ４３－x＋ (３－x)[ ]＋３ ≤－２ ４３－x 􀅰(３－x)＋３＝－１, 当且仅当 ４ ３－x＝３－x ,即x＝１时取等号, ∴f(x)的最大值为－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８３􀅰 必修第一册 １２．解:(１)１x＋ １ y＋ １ z ＝１３ (x＋y＋z) １x＋ １ y＋ １ z( ) ＝１３ １＋ x y ＋ x z ＋ y x ＋１＋ y z ＋ z x ＋ z y ＋１( ) ＝１３ ３＋ (x y ＋ y x )＋(xz ＋ z x )＋(yz ＋ z y )[ ] ≥１３ ３＋２ x y 􀅰y x ＋２ x z 􀅰z x ＋２ y z 􀅰z y æ è ç ö ø ÷ ＝３, 当且仅当x＝y＝z＝１时取等号, ∴１x＋ １ y＋ １ z 的最小值为３． (２)∵９＝(x＋y＋z)２＝x２＋y２＋z２＋２xy＋２xz＋２yz ≤３(x２＋y２＋z２), ∴x２＋y２＋z２≥３,当且仅当x＝y＝z＝１时取等号． 又x,y,z＞０, ∴xy＋xz＋yz＞０, ∴x２＋y２＋z２＝９－２(xy＋xz＋yz)＜９, ∴３≤x２＋y２＋z２＜９． １３．证明:∵a,b,c均为正实数, ∴２ba ＋ a ２b≥２ (当且仅当a＝２b时等号成立), ３c a ＋ a ３c≥２ (当且仅当a＝３c时等号成立), ３c ２b＋ ２b ３c≥２ (当且仅当２b＝３c时等号成立), 将 上 述 三 式 相 加 得 ２b a ＋ a ２b( ) ＋ ３c a ＋ a ３c( ) ＋ ３c ２b＋ ２b ３c( ) ≥６(当且仅当a＝２b＝３c时等号成立), ∴ ２ba ＋ a ２b－１( ) ＋ ３c a ＋ a ３c－１( ) ＋ ３c ２b＋ ２b ３c－１( ) ≥３ (当且仅当a＝２b＝３c时等号成立), 即２b＋３c－a a ＋ a＋３c－２b ２b ＋ a＋２b－３c ３c ≥３ (当且仅当a ＝２b＝３c时等号成立)． １４．解:∵x＞y＞０,∴x－y＞０．又∵xy＝１, ∴x ２＋y２ x－y ＝ (x－y)２＋２xy x－y ＝ (x－y)＋ ２x－y≥ ２ (x－y)􀅰 ２x－y＝２ ２ , 当且仅当x－y＝ ２x－y 时,等号成立． 由 x＞y＞０, xy＝１, (x－y)２＝２, { 得x＝ ６＋ ２２ ,y＝ ６－ ２２ ． 即当x＝ ６＋ ２２ ,y＝ ６－ ２２ 时,等号成立． 第２课时　基本不等式的应用 １．C　２．D　３．B　４．A ５．BCD　[对于 A,∀x∈R,且x≠０,x＋１x≥２ 对x＜０时, 不成立;对于B,当x＝１时,x２＋１＝２,２x＝２,x２＋１≤２x 成立,正确;对于 C,若x＞０,y＞０,则(x２＋y２)(x＋y)２ ≥２xy􀅰４xy＝８x２y２,化 为 x ２＋y２ ２ ≥ ２xy x＋y ,当 且 仅 当 x＝y＞０ 时 取 等 号,正 确;对 于 D,y＝x ２－４x＋５ ２x－４ ＝ (x－２)２＋１ ２(x－２) ＝ １ ２ (x－２)＋ １x－２[ ] ,因为x≥ ５ ２ ,所以x－２ ＞０．所以１２ (x－２)＋ １x－２[ ] ≥ １ ２×２ (x－２)􀅰 １x－２＝１ , 当且仅当x－２＝ １x－２ ,即x＝３时取等号．故y的最小值 为１．] ６．ACD　[因为a＞０,b＞０,所以a＋b＋ １ ab ≥２ ab＋ １ ab ≥２ ２,当且仅当a＝b且２ ab＝ １ ab ,即a＝b＝ ２ ２ 时取等号,故 A 一定成立．因为a＋b≥２ ab＞０,所 以２ab a＋b≤ ２ab ２ ab ＝ ab,当且仅当a＝b时取等号,所以 ２ab a＋b≤ ab 不一定成立．故B不成立．因为２aba＋b≤ ２ab ２ ab ＝ ab,当 且 仅 当 a＝b 时 取 等 号,所 以a ２＋b２ a＋b ＝ (a＋b)２－２ab a＋b ＝a＋b－ ２ab a＋b≥２ ab－ ab ,当且仅当a ＝b时取等号,所以a ２＋b２ a＋b ≥ ab , 所以a ２＋b２ ab ≥a＋b,故 C一定成立． 因为(a＋b) １a＋ １ b( )＝２＋ b a ＋ a b ≥４ ,当且仅当a＝b 时取等号,故 D一定成立,故选 ACD．] ７．解析:∵m􀅰n＞０,m＋n＝－１,∴m＜０,n＜０, ∴１m ＋ １ n ＝－ (m＋n) １m＋ １ n( ) ＝－ ２＋ n m ＋ m n( ) ≤ －２－２ nm 􀅰m n ＝－４ ,当且仅当m＝n＝－１２ 时,１ m＋ １ n 取得最大值－４． 答案:－４ ８．解析:设水池的造价为y元,长方形底的一边长为xm, 由于底面积为４m２,所以另一边长为４x m． 那么y＝１２０􀅰４＋２􀅰８０􀅰 ２x＋２􀅰４x( ) ＝４８０＋３２０ x＋４x( )＝４８０＋３２０ x＋ ４ x( ) ≥４８０＋３２０􀅰２ x􀅰４x ＝１７６０ (元)． 当x＝２,即底为边长为２m 的正方形时,水池的造价最 低,为１７６０元． 答案:１７６０ ９．解析:当a＝０时,不等式－６x＋３＞０对x∈R 不恒成 立,不符合题意(舍去);当a≠０时,要使得ax２－６x＋３ ＞０对x∈R恒成立,则满足 a＞０ Δ＝３６－１２a＜０{ , 解得a＞３,所以实数a的取值范围为(３,＋∞)．因为a＞３, 可得a－３＞０,所以a＋ ９a－１＝a－１＋ ９ a－１＋１≥２ ９＋１ ＝７,当且仅当a＝４时,等号成立,所以a＋ ９a－１ 的最小 值为７． 答案:(３,＋∞)　７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８３􀅰 参考答案 第一章预备知识 课时作业 数课时 3.2基本不等式 学作业 第1课时 基本不等式 纠错空间 基础过关 )》 ②已知x∈R且x≠0，则+1 =|x+ 1.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数 中最大的是 ( ≥2·=4成立： A号 B.a+b2 ③已知x∈R,则/x+2+ 的最 Wx+2 C.2ab D.a 小值为2： 2.已知a<b<0,则在下列不等式中成立 的是 ( ④已知a,b∈R,b<0,则 2+ b 444444444+444+4444 A.a<b<atb</ab (+6s-28 Ba<<b<西 =-2成立 其中，是真命题的有 C.a<b</ab<a 2 A.① B.② C.③ D.④ D.a<atb<ab<b 7.已知0<a<1,0<b<1,则a十b,2√ab. 方法总结 2 a2+b,2ab中最大的是 3.设m>1,P=m十4 m-Q=5,则P,Q 8.若正数a,b满足ab=a十b十3，则ab的 取值范围是 的大小关系为 ( 9.设x>0,xy十y=4,则x=3x十y十2的 A.P<Q B.P=Q 最小值为 C.P≥Q D.P<Q 4.已知a>0b>0a+b=1.则日+6的 10.已知a,b是正数，求证，2 取值范围是 ( A.(2,十∞) B.[2,+c∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 5.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度 分别为a和b(a<b),其全程的平均速 度为v,则 () A.a<v</ab B.=√ab C./ab<v<atb D.v= 2ab 2 a+b 6.(多选)下列命题中： ①E知a,6cR则2+号≥22·号=2 a b 成立： ·291· ”数学 必修第一册 1.1已知0<r<号求y=1-2) 13.已知a,b,c均为正实数，求证 空 间 2h+3c-a+a+3c-2+a+2h-3c≥3. 的最大值 a 2b 3c 纠错空间 (2已知<3，求)=3+x的 最大值. 44444444444 方法总结 能力提升 -》 素养培优 》 12.已知x,y,之>0，x+y+x=3. 十白年年4中自年年4年0年44年年444 (1)求+1+上的最小值： 14.已知>y>0,且xy=1,求证十y x-y ≥2√2，并求等号成立的条件. (2)求证：3≤x2+y+x2<9. ·292·