第一章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　　第２课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 １．已知命题p∶∀x∈R,x２＝５,则该命题 的否定是 (　　) A．∀x∉R,x２＝５ B．∀x∈R,x２≠５ C．∃x∈R,x２＝５ D．∃x∈R,x２≠５ ２．已知命题p:∀x∈R,x２－x＋１４＞０ ,则 􀱑p为 (　　) A．∀x∈R,x２－x＋１４≤０ B．∃x∈R,x２－x＋１４≤０ C．∃x∈R,x２－x＋１４＞０ D．∀x∈R,x２－x＋１４≥０ ３．设x∈Z,集合A 是奇数集,集合B 是 偶数集．若命题p:∀x∈A,２x∈B,则 (　　) A．􀱑p:∀x∈A,２x∉B B．􀱑p:∀x∉A,２x∉B C．􀱑p:∃x０∉A,２x∈B D．􀱑p:∃x０∈A,２x∉B ４．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的 研究中取得了世界领先的成果,哥德巴 赫猜想是１７４２年哥德巴赫给数学家欧 拉的信中提出的猜想:“任意大于２的 偶数都可以表示成两个质数之和”,则 哥德巴赫猜想的否定为 (　　) A．任意小于２的偶数都不可以表示成 两个质数之和 B．任意大于２的偶数都不可以表示成 两个质数之和 C．至少存在一个小于２的偶数不可以 表示成两个质数之和 D．至少存在一个大于２的偶数不可以 表示成两个质数之和 ５．(多选)下列命题的否定中,是全称量词 命题且为真命题的有 (　　) A．∃x∈R,x２０－x０＋ １ ４＜０ B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R,x２＋２x０＋２≤０ D．至少有一个实数x,使x３＋１＝０ ６．(多选)下列四个命题中,是真命题的有 (　　) A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C．１＋１＜２ D．至少存在一个整数x,使得x２－x＋１ 是整数 ７．若对任意x＞３,x＞a恒成立,则a的取 值范围是　　　　． ８．已知命题p:任意x∈R,函数y＝x２＋ ax＋a２＞０．若命题p是假命题,则实数 a的取值集合是　　　　． ９．已知p(x):x２＋２x－m＞０,如果p(１) 是假命题,p(２)是真命题,则实数m 的 取值范围是　　　　　　　,若p(１)是 真命题,p(２)是假命题,则实数m 的取 值范围是　　　　． １０．写出下列命题的否定,并判断真假． (１)p:∀x∈R,x２＋２x＋１≥０; (２)q:所有的正三 角 形 都 是 等 腰 三 角形; (３)r:∃x∈R,使x２＋１≤０; (４)s:至少有一个实数x∈{x|x＝３k, k∈N},x为质数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８２􀅰 第一章　预备知识 １１．命题p是“对某些实数x,有x－a＞０或 x－b≤０”,其中a、b是常数． (１)写出命题p的否定; (２)当a、b满足什么条件时,命题p的 否定为真? １２．已知命题p:“∀x∈[１,２],x２－a≥０”,命 题q:“∃x∈R,x２＋２ax＋２－a＝０”, 若命题p,q都是真命题,求实数a的 取值范围． １３．已知函数f(x)＝x２－２x＋５． (１)是否存在实数 m 使不等式m＋ f(x)＞０对任意x∈R恒成立,并说明 理由． (２)若存在一个实数x０,使不等式m－ f(x０)＞０ 成 立,求 实 数 m 的 取 值 范围． １４．在 ①p 为 真 命 题,且 q 为 假 命 题; ②p为假命题,且q为真命题;③p 为 假命题,且q为假命题．这三个条件中 任选一个,补充在下面问题中,然后解 答补充完整的题． 已知命题p:∀x∈R,x２－２x＋a≥０, 命题q∶∃x∈R,x２＋x＋２a－１＝０, 若　　　　,求实数a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８２􀅰 必修第一册 又４m２＋４am＋１≥０是一个关于 m 的二次不等式,恒 成立的充要条件是Δ＝(４a)２－１６≤０,解得－１≤a≤１． 由(１)(２)同时成立,故a∈[－１,１]． １４．BC　[当x＝１．５时,[２x]＝[３]＝３,但２[x]＝２[１．５] ＝２×１＝２,A 错误;当x＝２时,[２x]＝[４]＝４＝２[２] ＝２[x],B正确;设[x]＝[y]＝k∈Z,则k≤x＜k＋１, k≤y＜k＋１,∴x－y＜１,C 正确;x＝０．５,y＝０．６,则 [x]＋[y]＝０,但 [x＋y]＝[１．１]＝１＞[x]＋[y], D错误．] 第２课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 １．D　２．B　３．D ４．D　[哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于２的偶 数不可以表示成两个质数之和”．] ５．AC　[命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量 词命题,故排除B．再根据命题的否定为真命题,即原命 题为假命题．又 D为真命题．故排除 D,AC正确．] ６．ABD　[A．该命题等价于所有无理数都是实数,为真命 题;B．显然为真命题;C．显然不成立,为假命题;D．取x＝１, 能使x２－x＋１＝１是整数,为真命题．] ７．解析:对任意x＞３,x＞a恒成立,即大于３的数恒大于a, 所以a的取值范围是{a|a≤３}． 答案:{a|a≤３} ８．解析:若命题p为真命题, 则Δ＝a２－４a２＜０, ∴a≠０,所以当p为假命题时,实数a的取值集合为{０}． 答案:{０} ９．解析:因为p(１)是假命题,所以１＋２－m≤０,解得m≥３．又 因为p(２)是真命题,所以４＋４－m＞０,解得m＜８,故实 数m 的取值范围是[３,８);若p(１)是真命题,p(２)是假 命题,则 １＋２－m≥０, ４＋４－m＜０{ 解得 m≤３, m＞８,{ ∴无解． 答案:[３,８)　∅ １０．解:说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可． (１)􀱑p:∃x∈R,x２＋２x＋１＜０,是假命题． ∵∀x∈R,x２＋２x＋１＝ x＋１( )２≥０恒成立, ∴􀱑p是假命题． (２)􀱑p:至少存在一个正三角形不是等腰三角形,是假 命题． (３)􀱑r:∀x∈R,x２＋１＞０,是真命题． ∵∀x∈R,x２＋１≥１＞０恒成立, ∴􀱑r是真命题． (４)􀱑s:∀x∈{x|x＝３k,k∈N},x都不是质数． ∵当k＝１时,x＝３,是质数, ∴􀱑s是假命题． １１．解:(１)命 题p 的 否 定:对 任 意 实 数x,有x－a≤０且 x－b＞０． (２)要使命题p的否定为真,需要使不等式组 x－a≤０, x－b＞０{ 的解集 不 为 空 集,通 过 画 数 轴(图 略)可 看 出,a、b应满足的条件是b＜a． １２．解:由p为真命题,a≤x２ 对∀x∈[１,２]恒成立, 得a≤１;① 由q为真命题,即x２＋２ax＋２－a＝０有实根, 得Δ＝４a２－４(２－a)≥０, 即a≥１或a≤－２．② 对①②求交集,可得{a|a≤－２,或a＝１}． 综上,所求实数a的取值范围为{a|a≤－２,或a＝１} １３．解:(１)不等式m＋f(x)＞０可化为m＞－f(x),即m＞ －x２＋２x－５＝－(x－１)２－４,要使 m＞－(x－１)２－４ 对于任意x∈R恒成立,只需m＞－４即可,故存在实数 m 使不等式m＋f(x)＞０对于任意x∈R恒成立,此时 需m＞－４． (２)不等式m－f(x０)＞０可化为 m＞f(x０)．若存在一 个实数x０,使不等式m＞f(x０)成立,只需m＞f(x)min, 又f(x)＝(x－１)２＋４,则f(x)min＝４,所以m＞４． 所以所求实数m 的取值范围是(４,＋∞)． １４．解:方案一:选条件①． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是真命题, 则a－１≥０,即a≥１．若q为假命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a＜０,即a＞５８ , 综上,实数a的取值范围是[１,＋∞)． 方案二:选条件②． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是假命题, 则a－１＜０,即a＜１．若q为真命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a≥０,即a≤５８． 综上,实数a的取值范围是 －∞,５８( ]． 方案三:选条件③． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是假命题, 则a－１＜０,即a＜１．若q为假命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a＜０,即a＞５８． 综上,实数a的取值范围是 ５８ ,１( )． §３　不等式 ３．１　不等式的性质 １．A　２．D　３．C　４．D ５．ABD　[运用倒数性质,由a＞b,ab＞０可得 １a ＜ １ b ,②, ④正确．又正数大于负数,①正确,③错误．] ６．AC　[对于 A,由a２－b２＝１及a,b为正实数,可知a－b ＝ １a＋b ,a２＝b２＋１＞１,则a＞１,由a＞１,b＞０,可得a＋b ＞１,所以a－b＝ １a＋b＜１ ,故 A正确;对于B,若a＝３,则 b＝ １ １＋１a ＝３４ ,所以a－b＞１,故 B错误;对于 C,若a＞ b＋１,则a２＞(b＋１)２＞b２＋１,故 C正确;对于 D,若a＝ b≤１,则|a－b|＝０≤|１－ab|,故 D错误．] ７．解析:∵s－t＝a＋b２＋１－(a＋２b)＝b２－２b＋１ ＝(b－１)２≥０,∴s≥t． 答案:s≥t． ８．解析:对于①,∵c２≥０,∴只有c≠０时才成立,①不正 确;对于②,a＜b＜０⇒a２＞ab;a＜b＜０⇒ab＞b２,∴②正 确;对于 ③,若 ０＞a＞b,则a２ ＜b２,如 －１＞ －２,但 (－１)２＜(－２)２,∴③不正确;对于④,∵a＜b＜０,∴－a ＞－b＞０,∴(－a)２＞(－b)２,即a２＞b２．又∵ab＞０, ∴１ab＞０ ,∴a ２ ab＞ b２ ab ,∴ab ＞ b a ．④ 正确． 答案:②④ ９．解析:设应开发 A 类电子器件x件,则开发 B类电子器 件(５０－x)件．根据题意,得x２＋ ５０－x ３ ≤２０ ,解得x≤２０． 由题意,得总产值y＝７．５x＋６×(５０－x)＝３００＋１．５x≤３３０, 当且仅当x＝２０时,y取最大值３３０．所以欲使总产值最 高,A类电子器件应开发２０件,最高产值为３３０万元． 答案:２０　３３０ １０．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． ∴０＜－１c＜－ １ d． 又a＞b＞０, ∴－ad ＞－ b c ＞０． ∴ ３ －a d ＞ ３ －b c ,即－ ３ a d ＞－ ３ b c ． 两边同乘以－１,得 ３ a d ＜ ３ b c ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８３􀅰 参考答案