第一章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

６．ACD　[由 Venn图可知,A,B,C,D都是充要条件．] ７．解析:由x２＜１,得－１＜x＜１,而{x|０＜x＜１}⫋{x|－１ ＜x＜１},{x|－１＜x＜０}⫋{x|－１＜x＜１},所以０＜x ＜１和－１＜x＜０都可作为x２＜１的一个充分不必要条 件．因为{x|－１＜x＜１}⫋{x|x＜１},{x|－１＜x＜１}⫋ {x|x＞－１},所以x＜１和x＞－１均可作为x２＜１的一 个必要不充分条件． 答案:②③　①⑤ ８．解析:由题意知|２x－３|＞a恒成立,∵|２x－３|≥０,∴a＜０． 答案:a＜０ ９．解析:A∩B＝∅⇔ a＋２≤４ , a－２≥－２,{ ⇔０≤a≤２． 答案:０≤a≤２ １０．解:设方程x２－mx＋２m－３＝０的两根分别为x１,x２, 由题意知 Δ≥０ x１＞１ x２＞１ { ⇔ Δ≥０ (x１－１)＋(x２－１)＞０ (x１－１)(x２－１)＞０ { ⇔ Δ≥０ x１＋x２＞２ x１x２－(x１＋x２)＋１＞０ { ⇔ m２－４(２m－３)≥０ m＞２ ２m－３－m＋１＞０{ ⇔m≥６． 即使方程有两个大于１的实根的充要条件为m≥６． １１．证明:充分性:如果xy≥０,则有xy＝０和xy＞０两种情 况,当xy＝０时,不妨设x＝０,得|x＋y|＝|y|,|x|＋ |y|＝|y|,∴等式成立． 当xy＞０,即x＞０,y＞０或x＜０,y＜０时． 又当x＞０,y＞０时, |x＋y|＝x＋y,|x|＋|y|＝x＋y,∴等式成立． 当x＜０,y＜０时,|x＋y|＝－(x＋y), |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y),∴等式成立． 总之,当xy≥０时,|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性:若|x＋y|＝|x|＋|y|且x,y∈R, 得|x＋y|２＝(|x|＋|y|)２, 即x２＋２xy＋y２＝x２＋y２＋２|x|􀅰|y|, ∴|xy|＝xy,∴xy≥０． 综上可知,xy≥０是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要 条件． １２．A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件,应从充分性、必要性 两方面入手． (１)∁UB＝{(x,y)|x＋y－n＞０}, A∩(∁UB)＝{(x,y)|x＋y－n＞０,且２x－y＋m＞０}, 由P∈A∩(∁UB)知, ５－n＞０, １＋m＞０,{ 即m＞－１,n＜５． 所以m＞－１,n＜５是P(２,３)∈A∩(∁UB)的必要条件． (２)当m＞－１,n＜５时,x＋y≥５２x－y≥１{ 解得 x≥２, y≥３．{ 即P(２,３)∈A∩(∁UB),所以 m＞－１,n＜５是P(２,３) ∈A∩(∁UB)的充分条件．] １３．证明:必要性:设方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２xc－b２ ＝０,有公共根x０,则x２０＋２ax０＋b２＝０,x２０＋２cx０－b２ ＝０且a≠c, 两式相减,得x０＝ b２ c－a ,将此式代入x２０＋２ax０＋b２＝０, 可得b２＋c２＝a２,故∠A＝９０°． 充分性:∠A＝９０°,∴b２＋c２＝a２,b２＝a２－c２, ① 将①代入方程x２＋２ax＋b２＝０,可得,x２＋２ax＋a２－c２ ＝０, 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝０, 将①代入方程x２＋２cx－b２＝０,可得 x２＋２cx＋c２－a２＝０,即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝０, 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． 综上,方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２cx－b２＝０有公共 根的充要条件是∠A＝９０°． １４．解析:对 于①,∵２０２５＝４×５０６＋１,则２０２５∈[１], ①正确;对于②,∵－１＝４×(－１)＋３,则－１∈[３],② 不正确;对于③,∵任意整数除以４,余数可以且只可以 是０,１,２,３四类,则Z＝[０]∪[１]∪[２]∪[３],③正确; 对于④,若整数a、b属于同一“类”,则整数a、b被４除 的余数相同,可设a＝４n１＋k,b＝４n２＋k,其中n１,n２∈Z, k∈{０,１,２,３},则a－b＝４(n１－n２),故a－b∈[０],若 a－b∈[０],不妨令a＝４n１＋k１,b＝４n２＋k２(n１,n２∈Z, k１,k２∈{０,１,２,３}),则a－b＝４(n１－n２)＋(k１－k２), 显然n１－n２∈Z,|k１－k２|∈{０,１,２,３},于是得|k１－k２| ＝０,∴k１＝k２,即整数a,b属于同一‘类’,∴“整数a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[０]”,④正确．综 上所述,正确的结论是①③④． 答案:①③④ ２．２　全称量词与存在量词 第１课时　全称量词命题与存在量词命题 １．C ２．B　[“能除５整数的数也能被２整除”省略了“所有”．] ３．B　４．A ５．CD　[当n＝１时,２n２＋５n＋２不能被２整除,当n＝２ 时,２n２＋５n＋２ 能 被 ２ 整 除,所 以 A、B 错 误,C、D 正确．] ６．ABD　[A中,x＝－１时,满足x２－２x－３＝０,所以 A 是 真命题;B中,６能同时被２和３整除,所以 B是真命题; D中,２既是自然数又是偶数,所以 D是真命题;C中,因 为所有实数的绝对值非负,所以 C是假命题．] ７．解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是 全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相 等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的 平方根都不 等 于 ０”,是 全 称 量 词 命 题;④ 是 存 在 量 词 命题． 答案:①②③　④ ８．解析:∵x≥３∴２x－１≥５,∴m≤５． 答案:(－∞,５] ９．解析:当a≤０时命题为真;当a＞０时命题为真,必使 Δ＝４－４a２＞０,即－１＜a＜１,∴a＜１． 答案:a＜１ １０．解:(１)∀x∈{x|x是凸n 边形},x的外角和是２π, (２)∃x∈Q,x２＝３, (３)∀α∈R,sin２α＋cos２α＝１． １１．解:(１)存在量词命题．x＝２时,x－２＝０成立．所以命 题是真命题． (２)全称 量 词 命 题．邻 边 不 相 等 的 矩 形 的 对 角 线 不 垂 直,所以,全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假 命题． (３)全称量词命题．三角形中,两边之和大于第三边,所 以,全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真 命题． (４)存在量词命题．３是素数也是奇数,所以,存在量词 命题“有些素数是奇数”是真命题． １２．解:不等式２x＞m(x２＋１)恒成立,即不等式mx２－２x＋ m＜０恒成立． (１)当m＝０时,不等式可化为－２x＜０,显然不恒成立, 不合题意． (２)当m≠０时,要使不等式 mx２－２x＋m＜０恒成立, 则 m＜０, ４－４m２＜０,{ 解得m＜－１． 综上可知,所求实数m 的取值范围是(－∞,－１)． １３．解:(１)当m＝０时,f(x)＝x－a与x轴恒相交, 所以a∈R; (２)当m≠０时,二次函数f(x)＝mx２＋x－m－a的图 象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝１＋４m(m＋a) ≥０恒成立,即４m２＋４am＋１≥０恒成立． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８３􀅰 必修第一册 又４m２＋４am＋１≥０是一个关于 m 的二次不等式,恒 成立的充要条件是Δ＝(４a)２－１６≤０,解得－１≤a≤１． 由(１)(２)同时成立,故a∈[－１,１]． １４．BC　[当x＝１．５时,[２x]＝[３]＝３,但２[x]＝２[１．５] ＝２×１＝２,A 错误;当x＝２时,[２x]＝[４]＝４＝２[２] ＝２[x],B正确;设[x]＝[y]＝k∈Z,则k≤x＜k＋１, k≤y＜k＋１,∴x－y＜１,C 正确;x＝０．５,y＝０．６,则 [x]＋[y]＝０,但 [x＋y]＝[１．１]＝１＞[x]＋[y], D错误．] 第２课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 １．D　２．B　３．D ４．D　[哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于２的偶 数不可以表示成两个质数之和”．] ５．AC　[命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量 词命题,故排除B．再根据命题的否定为真命题,即原命 题为假命题．又 D为真命题．故排除 D,AC正确．] ６．ABD　[A．该命题等价于所有无理数都是实数,为真命 题;B．显然为真命题;C．显然不成立,为假命题;D．取x＝１, 能使x２－x＋１＝１是整数,为真命题．] ７．解析:对任意x＞３,x＞a恒成立,即大于３的数恒大于a, 所以a的取值范围是{a|a≤３}． 答案:{a|a≤３} ８．解析:若命题p为真命题, 则Δ＝a２－４a２＜０, ∴a≠０,所以当p为假命题时,实数a的取值集合为{０}． 答案:{０} ９．解析:因为p(１)是假命题,所以１＋２－m≤０,解得m≥３．又 因为p(２)是真命题,所以４＋４－m＞０,解得m＜８,故实 数m 的取值范围是[３,８);若p(１)是真命题,p(２)是假 命题,则 １＋２－m≥０, ４＋４－m＜０{ 解得 m≤３, m＞８,{ ∴无解． 答案:[３,８)　∅ １０．解:说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可． (１)􀱑p:∃x∈R,x２＋２x＋１＜０,是假命题． ∵∀x∈R,x２＋２x＋１＝ x＋１( )２≥０恒成立, ∴􀱑p是假命题． (２)􀱑p:至少存在一个正三角形不是等腰三角形,是假 命题． (３)􀱑r:∀x∈R,x２＋１＞０,是真命题． ∵∀x∈R,x２＋１≥１＞０恒成立, ∴􀱑r是真命题． (４)􀱑s:∀x∈{x|x＝３k,k∈N},x都不是质数． ∵当k＝１时,x＝３,是质数, ∴􀱑s是假命题． １１．解:(１)命 题p 的 否 定:对 任 意 实 数x,有x－a≤０且 x－b＞０． (２)要使命题p的否定为真,需要使不等式组 x－a≤０, x－b＞０{ 的解集 不 为 空 集,通 过 画 数 轴(图 略)可 看 出,a、b应满足的条件是b＜a． １２．解:由p为真命题,a≤x２ 对∀x∈[１,２]恒成立, 得a≤１;① 由q为真命题,即x２＋２ax＋２－a＝０有实根, 得Δ＝４a２－４(２－a)≥０, 即a≥１或a≤－２．② 对①②求交集,可得{a|a≤－２,或a＝１}． 综上,所求实数a的取值范围为{a|a≤－２,或a＝１} １３．解:(１)不等式m＋f(x)＞０可化为m＞－f(x),即m＞ －x２＋２x－５＝－(x－１)２－４,要使 m＞－(x－１)２－４ 对于任意x∈R恒成立,只需m＞－４即可,故存在实数 m 使不等式m＋f(x)＞０对于任意x∈R恒成立,此时 需m＞－４． (２)不等式m－f(x０)＞０可化为 m＞f(x０)．若存在一 个实数x０,使不等式m＞f(x０)成立,只需m＞f(x)min, 又f(x)＝(x－１)２＋４,则f(x)min＝４,所以m＞４． 所以所求实数m 的取值范围是(４,＋∞)． １４．解:方案一:选条件①． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是真命题, 则a－１≥０,即a≥１．若q为假命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a＜０,即a＞５８ , 综上,实数a的取值范围是[１,＋∞)． 方案二:选条件②． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是假命题, 则a－１＜０,即a＜１．若q为真命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a≥０,即a≤５８． 综上,实数a的取值范围是 －∞,５８( ]． 方案三:选条件③． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是假命题, 则a－１＜０,即a＜１．若q为假命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a＜０,即a＞５８． 综上,实数a的取值范围是 ５８ ,１( )． §３　不等式 ３．１　不等式的性质 １．A　２．D　３．C　４．D ５．ABD　[运用倒数性质,由a＞b,ab＞０可得 １a ＜ １ b ,②, ④正确．又正数大于负数,①正确,③错误．] ６．AC　[对于 A,由a２－b２＝１及a,b为正实数,可知a－b ＝ １a＋b ,a２＝b２＋１＞１,则a＞１,由a＞１,b＞０,可得a＋b ＞１,所以a－b＝ １a＋b＜１ ,故 A正确;对于B,若a＝３,则 b＝ １ １＋１a ＝３４ ,所以a－b＞１,故 B错误;对于 C,若a＞ b＋１,则a２＞(b＋１)２＞b２＋１,故 C正确;对于 D,若a＝ b≤１,则|a－b|＝０≤|１－ab|,故 D错误．] ７．解析:∵s－t＝a＋b２＋１－(a＋２b)＝b２－２b＋１ ＝(b－１)２≥０,∴s≥t． 答案:s≥t． ８．解析:对于①,∵c２≥０,∴只有c≠０时才成立,①不正 确;对于②,a＜b＜０⇒a２＞ab;a＜b＜０⇒ab＞b２,∴②正 确;对于 ③,若 ０＞a＞b,则a２ ＜b２,如 －１＞ －２,但 (－１)２＜(－２)２,∴③不正确;对于④,∵a＜b＜０,∴－a ＞－b＞０,∴(－a)２＞(－b)２,即a２＞b２．又∵ab＞０, ∴１ab＞０ ,∴a ２ ab＞ b２ ab ,∴ab ＞ b a ．④ 正确． 答案:②④ ９．解析:设应开发 A 类电子器件x件,则开发 B类电子器 件(５０－x)件．根据题意,得x２＋ ５０－x ３ ≤２０ ,解得x≤２０． 由题意,得总产值y＝７．５x＋６×(５０－x)＝３００＋１．５x≤３３０, 当且仅当x＝２０时,y取最大值３３０．所以欲使总产值最 高,A类电子器件应开发２０件,最高产值为３３０万元． 答案:２０　３３０ １０．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． ∴０＜－１c＜－ １ d． 又a＞b＞０, ∴－ad ＞－ b c ＞０． ∴ ３ －a d ＞ ３ －b c ,即－ ３ a d ＞－ ３ b c ． 两边同乘以－１,得 ３ a d ＜ ３ b c ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８３􀅰 参考答案 　　　　　　　　　　　 　　　２．２　全称量词与存在量词 　　　　　　第１课时　全称量词命题与存在量词命题 １．给出四个命题:①末位数是偶数的整数 能被２整除;②有的菱形是正方形;③存 在实数x,x＞０;④对于任意实数x,２x＋１ 是奇数．下列说法正确的是 (　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 ２．下列命题不是存在量词命题的是 (　　) A．有些实数没有平方根 B．能被５整除的数也能被２整除 C．存在x∈{x|x＞３},使x２－５x＋６＜０ D．有一个m,使２－m 与|m|－３异号 ３．下列命题是假命题的是 (　　) A．存在x∈Q,使２x－x３＝０ B．存在x∈R,使x２＋x＋１＝０ C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 ４．“对x∈R,关于x的不等式f(x)＞０有 解”等价于 (　　) A．∃x∈R,使得f(x)＞０成立 B．∃x∈R,使得f(x)≤０成立 C．∀x∈R,f(x)＞０成立 D．∀x∈R,f(x)≤０成立 ５．(多选)下列结论中正确的是 (　　) A．∀n∈N＋,２n２＋５n＋２能被２整除是 真命题 B．∀n∈N＋,２n２＋５n＋２不能被２整除 是真命题 C．∃n∈N＋,２n２＋５n＋２不能被２整除 是真命题 D．∃n∈N＋,２n２＋５n＋２能被２整除是 真命题 ６．(多选)下列存在量词命题中,是真命题 的是 (　　) A．∃x∈Z,x２－２x－３＝０ B．至少有一个x∈Z,使x 能同时被２ 和３整除 C．∃x∈R,|x|＜０ D．有些自然数是偶数 ７．下列命题中,是全称量词命题的是　　 　　;是存在量词命题的是　　　　． ①正方形的四条边相等; ②有 两 个 角 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角形; ③正数的平方根不等于０; ④至少有一个正整数是偶数． ８．已知命题p:“∀x≥３,使得２x－１≥m” 是真命题,则实数m 的取值范围是　　 　　　　　． ９．若“∃x∈R,ax２＋２x＋a＜０”为真命 题,则实数a的取值范围是　　　　． １０．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题: (１)凸n边形的外角和等于２π． (２)有一个有理数x满足x２＝３． (３)对任意角α,都有sin２α＋cos２α＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８２􀅰 第一章　预备知识 １１．判断下列命题是全称量词命题还是存 在量词命题,并判断其真假: (１)存在这样的x,使x－２≤０; (２)矩形的对角线垂直平分; (３)三角形两边之和大于第三边; (４)有些素数是奇数． １２．对任意实数x,不等式２x＞m(x２＋１) 恒成立,求实数m 的取值范围． １３．若∀m∈R,函数f(x)＝mx２＋x－ m－a的图象和x 轴恒有公共点,求实 数a的取值范围． １４．(多选)取整函数:[x]＝不超过x的最 大整数,如[１．２]＝１,[３．９]＝３,[－１．５] ＝－２,取整函数在现实生活中有着广 泛的应用,如停车收费、出租车收费等 等都是按照“取整函数”进行计费的, 以下关于“取整函数”的性质是真命题 的有 (　　) A．∀x∈R,[２x]＝２[x] B．∃x∈R,[２x]＝２[x] C．∀x,y∈R,[x]＝[y],则x－y＜１ D．∀x,y∈R,[x＋y]≤[x]＋[y] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８２􀅰 必修第一册