第一章 1.2 集合的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

１．２　集合的基本关系 １．下列结论正确的是 (　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{∅}＝∅ D．{０}＝∅ ２．已知P＝{０,１},M＝{X|X⊆P},则P 与M 的关系为 (　　) A．P⊆M　　　　　　B．P∉M C．M⊆P D．P∈M ３．已知集合A＝{２,－１},集合B＝{m２－m, －１},且A＝B,则实数m等于 (　　) A．２ B．－１ C．２或－１ D．４ ４．已知集合A＝(－１,４),B＝(－∞,a), 若A⫋B,则实数a满足 (　　) A．a＜４ B．a≤４ C．a＞４ D．a≥４ ５．(多选)已知集合 M＝{２,４},集合 M⊆ N,N 是{１,２,３,４,５}的真子集,则集合 N 可以是 (　　) A．{２,４} B．{２,３,４} C．{１,２,３,４} D．{１,２,３,４,５} ６．若A＝ x|x＝k６＋１ ,k∈Z{ }, B＝ x|x＝k３＋ １ ２ ,k∈Z{ }, C＝ x|x＝２k３＋ １ ２ ,k∈Z{ },则这三个集 合间的关系是 (　　) A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B ７．已知集合A＝{１,３,a},B＝{１,a２－a＋１}, 且B⊆A,则a＝　　　　． ８．已知集合A＝{x|２ax２＋(２a－８)x＋１＝０} 有且仅有两个子集,则a的取值集合为 　　　　． ９．已知集合S＝{０,１,２,３,４,５},A是S的一 个子集,当x∈A 时,若有x－１∉A,且 x＋１∉A,则称x为A的一个“孤立元素”, 那么S中无“孤立元素”的４个元素的子 集共有　　　　个,其中的一个是　　　 　　　　． １０．已知集合 M 满足{２,３}⊆M⊆{１,２,３, ４,５},求集合 M 及其个数． １１．已知a,x∈R,集合 A＝{２,４,x２－ ５x＋９},B＝{３,x２＋ax＋a},C＝{x２＋ (a＋１)x－３,１}． (１)求使A＝{２,３,４}的x的值; (２)求使２∈B,B⫋A 的a,x的值; (３)求使B＝C的a,x的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７２􀅰 第一章　预备知识 １２．定义集合P－Q＝{x|x＝p－q,p∈P, q∈Q},若集合P＝{４,５,６},Q＝{１,２, ３},则集合P－Q 的所有真子集的个 数为 (　　) A．３２　　B．３１　　C．１６　　D．１５ １３．已知集合A＝{x||x－a|＝４},集合 B＝{１,２,b}． (１)是否存在实数a,使得对于任意实 数b都有A⊆B? 若存在,求出相应的 a值;若不存在,试说明理由; (２)若A⊆B 成立,求出相应的实数对 (a,b)． １４．已知集合A＝{x∈R|ax２－３x＋２＝０}． (１)若集合 A＝∅,求实数a 的取值 范围; (２)若集合A 中有且只有一个元素,求 a的值及集合A． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７２􀅰 必修第一册 ４．D　[选项 A,小于１８的正奇数除给定集合中的元素外 还有３,７,１１,１５;选项B,若k取负数,则多了若干元素;选 项C,当t＝０时,多了－３这个元素;只有D是正确的．] ５．BCD　[{x∈R|x２＝１}＝{１,－１};集合{０}是单元素集,有一 个元素,这个元素是０;{x|x＜２ ３}＝{x|x＜ １２}, １３＞ １２,１３∉{x|x＜２ ３};根据集合中元素的无序性可知 {１,２}与{２,１}是同一个集合．] ６．ACD　 [方 程 x＋y＝１ 中 x 的 取 值 范 围 为 R,所 以 {x|x＋y＝１}＝R,同 理{y|x＋y＝１}＝R,所 以 A 正 确; {(x,y)|x＋y＝２}表示直线x＋y＝２上点的集合,而{x|x＋y ＝２}＝R,所以{(x,y)|x＋y＝２}≠{x|x＋y＝２},所以 B 错误;集合{x|x＞２},{y|y＞２}都表示大于２的实数构 成的集合,所以 C正确;由于集合的元素具有无序性,所 以{１,２}＝{２,１},所以 D正确．] ７．解析:正整数中所有的偶数均能被２整除． 答案:{x|x＝２n,n∈N＋ } ８．解析:∵１∉{x|２x＋a＞０},∴２×１＋a≤０,即a≤－２． 答案:(－∞,－２] ９．解析:将x＝－２,－１,０,１分别代入y＝x２ 中, 得到y＝４,１,０,故Q＝{４,１,０}． 答案:{４,１,０} １０．解:(１)由x２(x＋１)＝０,得x＝－１或x＝０,所以该集 合可表示为{－１,０}．故该集合为有限集． (２)平面直角坐标系中,不在第一、三象限内的点组成 的集合可表示为{(x,y)|xy≤０,x∈R,y∈R}．故该集 合为无限集． １１．解:在实数范围内,方程x(x＋１)x－１２( )(x ２－２)(x２＋２) ＝０的根为０,－１,１２ ,± ２; (１)当x∈N时,解集为{０}; (２)当x∈Q时,解集为 ０,－１,１２{ }; (３)当x∈R时,解集为 ０,－１,１２ ,２,－ ２{ }． １２．解析:∵x∈A,∴当x＝－１时,y＝|x|＝１; 当x＝０时,y＝|x|＝０;当x＝１时,y＝|x|＝１． ∴B＝{０,１}． 答案:{０,１} １３．解:(１)当x＝１时,６２＋１＝２∈N ; 当x＝２时,６２＋２＝ ３ ２∉N , 所以１∈B,２∉B． (２)因为 ６２＋x∈N ,x∈N, 所以２＋x只能取２,３,６,相应的x只能取０,１,４, 所以B＝{０,１,４}． １４．解:(１)∵a＝３∈M, ∴１＋a１－a＝ １＋３ １－３＝－２∈M , ∴１－２１＋２＝－ １ ３∈M , ∴ １－１３ １＋１３ ＝１２∈M , ∴ １＋１２ １－１２ ＝３∈M． ∴M 中一定含有的其他元素为－２,－１３ ,１ ２． (２)若a∈M(a≠０,a≠±１),则１＋a１－a∈M , ∴ １＋１＋a１－a １－１＋a１－a ＝－１a∈M , ∴ １＋ －１a( ) １－ －１a( ) ＝a－１a＋１∈M , ∴ １＋a－１a＋１ １－a－１a＋１ ＝a∈M． ∴M 中一定含有的其他元素为１＋a１－a ,－１a ,a－１ a＋１． １．２　集合的基本关系 １．A　[对于B,∅没有真子集;对于C,∅表示集合,{∅}表 示集合中有∅这一元素;对于 D,{０}≠∅．] ２．D　[M＝{X|X⊆P}＝{∅,{０},{１},{０,１}},故P∈M．] ３．C　[∵A＝B,∴m２－m＝２,∴m＝２或m＝－１．] ４．D　[由A⫋B,结合数轴,得a≥４．] ５．ABC　[集合 M＝{２,４},集合 M⊆N⫋{１,２,３,４,５},则 集合 N 中至少包含２,４两个元素,又不能等于或多于 {１,２,３,４,５}中的元素,所以集合 N 可以是{２,４},{２,３, ４},{１,２,３,４}．] ６．C　 [依 题 意 A＝ {x|x＝k＋６６ ,k∈Z}＝ {x|x＝ (k＋３)＋３ ６ ,k∈Z},B＝{x|x＝２k＋３６ ,k∈Z},C＝{x|x＝ ４k＋３ ６ ,k∈Z}＝{x|x＝２×２k＋３６ ,k∈Z},而{x|x＝k＋ ３,k∈Z}＝Z,{偶数}＝{x|x＝２k,k∈Z},因此集合C 中 的任意元素都是集合B 中的元素,即有C⊆B,集合B 中 的每一个元素都是集合A 中的元素,即B⊆A,所以C⊆ B⊆A．] ７．解析:∵B⊆A,∴a２－a＋１＝３或a２－a＋１＝a． ①由a２－a＋１＝３得a２－a－２＝０,解得a＝－１或a＝ ２．当a＝－１时,A＝{１,３,－１},B＝{１,３},满足B⊆A; 当a＝２时,A＝{１,３,２},B＝{１,３},满 足 B⊆A．②由 a２－a＋１＝a得a２－２a＋１＝０,解得a＝１．当a＝１时,A ＝{１,３,１},不满足集合中元素的互异性．综上,若B⊆A, 则a＝－１或a＝２． 答案:－１或２ ８．解析:由题意,集合A＝{x|２ax２＋(２a－８)x＋１＝０}有 且仅有两个子集,则集合A 只有一个元素,当a＝０时, －８x＋１＝０,解得x＝１８ ,符合题意;当a≠０时,Δ＝(２a －８)２－４×２a×１＝０,解得a＝２或a＝８,当a＝２时,A＝ {x|４x２－４x＋１＝０}＝ １２{ },符合题意,当a＝８时,A＝ {x|１６x２＋８x＋１＝０}＝ －１４{ },符合题意．综上所述, a的取值集合为{０,２,８}． 答案:{０,２,８} ９．解析:因为集合S＝{０,１,２,３,４,５},根据题意知只要有 元素与之相邻,则该元素不是孤立元素,所以S 中无“孤 立元素”的４个元素的子集有{０,１,２,３},{０,１,３,４}, {０,１,４,５},{１,２,３,４},{１,２,４,５},{２,３,４,５},其中一个 可以是{０,１,２,３}． 答案:６　{０,１,２,３}(答案不唯一) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７３􀅰 必修第一册 １０．解:当 M 中含有两个元素时,M 为{２,３};当 M 中含有 三个元素时,M 为{２,３,１},{２,３,４},{２,３,５};当 M 中 含有四个元素时,M 为{２,３,１,４},{２,３,１,５},{２,３,４, ５};当 M 中含有五个元素时,M 为{２,３,１,４,５};所以满 足条件的集合M 为{２,３},{２,３,１},{２,３,４},{２,３,５},{２, ３,１,４},{２,３,１,５},{２,３,４,５},{２,３,１,４,５},集合 M 的个数 为８． １１．解:(１)由集合相等的定义知x２－５x＋９＝３, 解得x＝２或x＝３． (２)∵２∈B,B⫋A,∴ ２＝x２＋ax＋a, x２－５x＋９＝３,{ 解得 a＝－ ２ ３ , x＝２,{ 或 a＝－７４ , x＝３,{ 经检验,均符合题意． (３)∵B＝C,∴ ３＝x２＋(a＋１)x－３,① x２＋ax＋a＝１,②{ 解②得x＝－１或x＝１－a． 把x＝－１代入①得a＝－６; 把x＝１－a代入①得a＝－２,则x＝３． 经检验,a＝－６ x＝－１{ ,和 a＝－２ x＝３{ ,都符合题意． １２．B　[由题中所给定义,可知P－Q＝{１,２,３,４,５}, ∴P－Q的所有真子集的个数为２５－１＝３１．] １３．解:(１)不存在．理由如下:若对任意的实数b都有A⊆B, 则当且仅当１和２也是A中的元素时才有可能． 因为A＝{a－４,a＋４}, 所以 a－４＝１, a＋４＝２,{ 或 a－４＝２, a＋４＝１,{ 这 都 不 可 能,所 以 这 样 的 实数a不存在． (２)由 (１)易 知,当 且 仅 当 a－４＝１ , a＋４＝b,{ 或 a－４＝２, a＋４＝b,{ 或 a－４＝b, a＋４＝１,{ 或 a－４＝b, a＋４＝２,{ 时A⊆B． 解得 a＝５, b＝９,{ 或 a＝６, b＝１０,{ 或 a＝－３, b＝－７,{ 或 a＝－２, b＝－６．{ 所以所求的实数对为(５,９),(６,１０),(－３,－７),(－２,－６)． １４．解:(１)A 是空集,即方程ax２－３x＋２＝０无解． 若a＝０,方程有一解x＝２３ ,不合题意; 若a≠０,要使方程ax２－３x＋２＝０无解, 需Δ＝９－８a＜０,解得a＞９８． 综上可知,a的取值范围为 ９８ ,＋∞( )． (２)当a＝０时,方程ax２－３x＋２＝０只有一个根 x＝２３ ,此时A＝ ２３{ },符合题意; 当a≠０时,需满足Δ＝９－８a＝０,解得a＝９８ , 此时方程只有一个根x＝４３ ,即A＝ ４３{ },符合题意． 综上可知,a的值为０或９８ ,当a＝０时,A＝ ２３{ }; 当a＝９８ 时,A＝ ４３{ }． １．３　集合的基本运算 第１课时　交集与并集 １．B　[因为２x＞７⇒x＞３．５,所以 M∩N＝{５,７,９}．] ２．C　[∵x２－x－６≥０,∴(x－３)(x＋２)≥０,∴x≥３或x ≤－２,∴N＝(－∞,－２]∪[３,＋∞),则M∩N＝{－２}．] ３．C　[由于A∪B＝A,所以a＋３＝５,a＝２,此时A＝{１, ２,５},B＝{２,５},满足A∪B＝A．] ４．D　[由 Venn图可知,A􀱋B＝{x|x∈(A∪B),x∉(A∩ B)},因为A＝{x|x＝２n＋１,n∈N,n≤４}＝{１,３,５,７, ９},B＝{２,３,４,５,６,７},则A∪B＝{１,２,３,４,５,６,７,９}, A∩B＝{３,５,７},因此,A􀱋B＝{１,２,４,６,９}．] ５．ACD　[∵A∪B＝A,∴B⊆A． ①若B≠∅,则m＋１＜２m－１,解得m＞２． ∵A＝{x|－２≤x≤７},B＝{x|m＋１＜x＜２m－１}, ∴m＋１≥－２,且２m－１≤７,解得－３≤m≤４． 此时２＜m≤４． ②若B＝∅,则m＋１≥２m－１,解得m≤２,符合题意． 综上,实数m 满足m≤４即可．] ６．CD　[如图,要使A∩B＝∅,应有a＜－１．] ７．解析:A 可以为{５},{１,５},{３,５},{１,３,５},故所有集合 A 的个数为４． 答案:４ ８．解析:由A∪B＝A,得B⊆A．A＝{x∈R|x２＋x－６＝０} ＝{－３,２},当m＝０时,B＝∅⊆A; 当m≠０时,x＝－１m ,则－１m＝２ 或－１m＝－３ , 所以m＝－１２ 或m＝１３ , 故所求集合为 ０,－１２ ,１ ３{ }． 答案:０,－１２ ,１ ３{ } ９．解析:借助数轴可知: A∪B＝R,A∩B＝{x|－１＜x≤１,或４≤x＜５}． 答案:R　{x|－１＜x≤１,或４≤x＜５} １０．解:∵A＝(－１,３],B＝(－∞,０]∪ ５２ ,＋∞[ ) , 把集合A 与B 表示在数轴上,如图． ∴A∩B＝{x|－１＜x≤３}∩ x|x≤０,或x≥５２{ } ＝ x|－１＜x≤０,或５２≤x≤３{ }; A∪B＝{x|－１＜x≤３}∪ x|x≤０,或x≥５２{ }＝R． １１．解:(１)当a＝１０时,A＝{x|２１≤x≤２５}． 因为B＝{x|３≤x≤２２}, 所以A∩B＝{x|２１≤x≤２２},A∪B＝{x|３≤x≤２５}． (２)由A⊆(A∩B),可知A⊆B, 因为A 为非空集合, 所以 ２a＋１≥３, ３a－５≤２２, ２a＋１≤３a－５,{ 解得６≤a≤９． 故所求a的取值范围为６≤a≤９． １２．解析:∵A,B 是非空集合,定义A∗B＝{x|x∈A∪B, 且x∉A∩B},A＝{x|０≤x≤３},B＝{x|x≥１},∴A∪B ＝{x|x≥０},A∩B＝{x|１≤x≤３},A∗B＝{x|０≤x＜１,或 x＞３}． 答案:{x|０≤x＜１,或x＞３} １３．解:(１)B＝{x|x２－５x＋６＝０}＝{２,３}, 因为A∩B＝A∪B,所以A ＝B,则A＝{２,３}, 所以 ２＋３＝a ２×３＝a２－１９{ ,解得a＝５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７３􀅰 参考答案