第一章 1.1 第2课时集合的表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

参 考 答 案 第一章　预备知识 §１　集合 １．１　集合的概念与表示 第１课时　集合的概念 １．C　[对于①,什么题是难题不能确定,故高一数学课本 上的难题不能组成集合;②③可组成集合．] ２．B　[由题意,知 m＝２或 m２－３m＋２＝２,解得 m＝２或 m＝０或m＝３．经检验,当m＝０或m＝２时,不满足集合A 中元 素 的 互 异 性;当 m＝３ 时,满 足 题 意．综 上 可 知,m＝３．] ３．A　[由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四 边形的四条边都不相等．] ４．C　[“接近于０的数”中“接近”的标准不明确,故接近于 ０的数不能组成集合．] ５．ABC　[若 以 集 合 中 的 三 个 元 素 为 边 可 构 成 一 个 三 角 形,则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等,即 三边都不相等,排除 D．] ６．ACD　[由①０∈M,１∈M,则由②０－１＝－１∈M,∴１－ (－１)＝２∈M,２－(－１)＝３∈M,由③得 １３ ∈M ,故 A 正确;由 A可知－１∈M,故 B错误;由①知０∈M,∵y∈ M,∴０－y＝－y∈M,∵x∈M,∴x－(－y)∈M,即x＋ y∈M,故 C正确;∵x,y∈M,则x－１∈M,由③可得 １x ∈M, １x－１∈M ,∴ １x － １ x－１∈M ,即 １ x(x－１)∈M , ∴x(１－x)∈M,即x－x２ ∈M,∴x２∈M;由 C 可知当 x,y∈M,x＋y∈M,∴１x＋ １ x＝ ２ x ∈M ,∴当x,y∈M, 可得x２,y２, (x＋y)２ ２ ,x ２＋y２ ２ ∈M ,∴ (x＋y)２ ２ － x２＋y２ ２ ＝xy∈M,故 D正确．] ７．解析:依题意 x≠－１, ２－x≠－１, x≠２－x．{ 解得x≠－１,x≠１且x≠３, 当x＝２或２－x＝２,即x＝２或０时,M 中的元素为０,２, 故①可能正确; 当x＝１或２－x＝１,即x＝１时,M 中两元素为１,１不满 足互异性,故②不正确,③显然正确． 答案:② ８．解析:因为３∉A,所以３是不等式x－a＜０的解, 所以３－a＜０,解得a＞３． 答案:a＞３ ９．解析:∵ x２＝|x|＝±x,－ ３ x３＝－x,且当x＝０时,x ＝－x＝|x|＝ x２＝－ ３ x３＝０,∴由实数x,－x,|x|, x２,－ ３ x３ 所组成的集合中最多含有２个元素,最少 含有１个元素． 答案:２　１ １０．解:由方程x２－(a＋１)x＋a＝０,得(x－a)(x－１)＝０, 得x＝a或x＝１． ①当a＝１时,方程有两个相同的解x＝１,则集合A 中 只有一个元素１． ②当a≠１时,方程有两个解１和a,即集合A 中有两个 元素１和a． 综上可知:当a＝１时,A 中元素为１;当a≠１时,A 中 元素为１和a． １１．解:因为－３∈A, 所以a－３＝－３或２a－１＝－３或a２－４＝－３． 若a－３＝－３, 则a＝０,此时集合 A 中 的 元 素 有－３,－１,－４,符 合 题意． 若２a－１＝－３,则a＝－１,此时集合中的元素为－４,－３, －３,不满足集合中元素的互异性． 若a２－４＝－３,则a＝１或a＝－１(舍去), 当a＝１时,集合中的元素为－２,１,－３,符合题意． 综上可知,a＝０,或a＝１． １２．解析:不妨设S＝{a,b},根据题意有a２,ab,b２∈S, 所以a２,b２,ab中必有两个是相等的． 若a２＝b２,则a＝－b,故ab＝－a２, 又a２＝a或a２＝b＝－a, 所以a＝０(舍去)或a＝１或a＝－１,此时S＝{－１,１}． 若a２＝ab≠b２,则a＝０,此时b２＝b,故b＝１或b＝０(舍 去),此时S＝{０,１}．若b２＝ab≠a２,则b＝０,此时a２＝a, 故a＝１或a＝０(舍去),此时S＝{０,１}． 综上,S＝{０,１}或S＝{－１,１}． 答案:{０,１}(或{－１,１}) １３．解:由“许多鱼虾在网中跳动”,数学家高兴地说这就是 集合,他生动地把鱼虾组成的总体称之为“集合”;“许 多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——— 鱼(虾)看为元素;“许多鱼虾在网中跳动”同时更重要 的是符合了集合的三大特性:“许多鱼虾在网中跳动” 明确了确定性———“在网中”;“许多鱼虾”但不可能有 两条相同的“鱼(虾)”,满足了互异性;“跳动”恰说明了 它们没有固定的顺序之分,吻合了“无序性”．数学家非 常激动,因为他为集合的定义做了一个最生动的解释． 数学来源于生活又实践于生活,从现实生活中感悟,试 举一例如下: 看万山红遍,层林尽染,漫江碧透,百舸争流􀆺􀆺 这是«沁园春􀅰长沙»里的一段秋景描写,当沉浸在这 种景色中时,气势宏大的景象是“山”“林”“江”“舸”等, “同一类对象汇集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江” “百舸”的景观,在数学中我们把它们均称作集合． １４．解:(１)A 中有且只有一个元素,即ax２＋２x＋１＝０有 且只有一个根或有两个相等的实根．①当a＝０时,方程 的根为－１２ ;②当a≠０时,由Δ＝４－４a＝０,得a＝１, 此时方程的两个相等的根为－１．综上,当a＝０时,集合 A 中的 元 素 为 － １２ ;当 a＝１ 时,集 合 A 中 的 元 素 为－１． (２)A 中至少有一个元素,即方程ax２＋２x＋１＝０有两 个不等实根或有两个相等实根或有一个实根． ①当方程有两个不等实根时,a≠０,且Δ＝４－４a＞０, ∴a＜１且a≠０; ②当方程有两个相等实根时,a≠０,且Δ＝４－４a＝０, ∴a＝１; ③当方程有一个实根时,a＝０, ∴２x＋１＝０,∴x＝－１２ ,符合题意． 由①②③,得当A 中至少有一个元素时,a满足的条件 是a≤１． 第２课时　集合的表示 １．C　[选项 A,不满足确定性,故错误;选项B,不大于３的 自然数组成的集合是{０,１,２,３},故错误;选项 C,满足集 合中元素的互异性,无序性和确定性,故正确;选项 D,１,０, ５,１２ ,３ ２ ,６ ４ , １ ４ 组成的集合有５个元素,故错误．] ２．A　[∵A＝{x|x(x－１)＝０}＝{０,１},∴０∈A．] ３．D　[∵０＞－１,故０∈A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７３􀅰 参考答案 ４．D　[选项 A,小于１８的正奇数除给定集合中的元素外 还有３,７,１１,１５;选项B,若k取负数,则多了若干元素;选 项C,当t＝０时,多了－３这个元素;只有D是正确的．] ５．BCD　[{x∈R|x２＝１}＝{１,－１};集合{０}是单元素集,有一 个元素,这个元素是０;{x|x＜２ ３}＝{x|x＜ １２}, １３＞ １２,１３∉{x|x＜２ ３};根据集合中元素的无序性可知 {１,２}与{２,１}是同一个集合．] ６．ACD　 [方 程 x＋y＝１ 中 x 的 取 值 范 围 为 R,所 以 {x|x＋y＝１}＝R,同 理{y|x＋y＝１}＝R,所 以 A 正 确; {(x,y)|x＋y＝２}表示直线x＋y＝２上点的集合,而{x|x＋y ＝２}＝R,所以{(x,y)|x＋y＝２}≠{x|x＋y＝２},所以 B 错误;集合{x|x＞２},{y|y＞２}都表示大于２的实数构 成的集合,所以 C正确;由于集合的元素具有无序性,所 以{１,２}＝{２,１},所以 D正确．] ７．解析:正整数中所有的偶数均能被２整除． 答案:{x|x＝２n,n∈N＋ } ８．解析:∵１∉{x|２x＋a＞０},∴２×１＋a≤０,即a≤－２． 答案:(－∞,－２] ９．解析:将x＝－２,－１,０,１分别代入y＝x２ 中, 得到y＝４,１,０,故Q＝{４,１,０}． 答案:{４,１,０} １０．解:(１)由x２(x＋１)＝０,得x＝－１或x＝０,所以该集 合可表示为{－１,０}．故该集合为有限集． (２)平面直角坐标系中,不在第一、三象限内的点组成 的集合可表示为{(x,y)|xy≤０,x∈R,y∈R}．故该集 合为无限集． １１．解:在实数范围内,方程x(x＋１)x－１２( )(x ２－２)(x２＋２) ＝０的根为０,－１,１２ ,± ２; (１)当x∈N时,解集为{０}; (２)当x∈Q时,解集为 ０,－１,１２{ }; (３)当x∈R时,解集为 ０,－１,１２ ,２,－ ２{ }． １２．解析:∵x∈A,∴当x＝－１时,y＝|x|＝１; 当x＝０时,y＝|x|＝０;当x＝１时,y＝|x|＝１． ∴B＝{０,１}． 答案:{０,１} １３．解:(１)当x＝１时,６２＋１＝２∈N ; 当x＝２时,６２＋２＝ ３ ２∉N , 所以１∈B,２∉B． (２)因为 ６２＋x∈N ,x∈N, 所以２＋x只能取２,３,６,相应的x只能取０,１,４, 所以B＝{０,１,４}． １４．解:(１)∵a＝３∈M, ∴１＋a１－a＝ １＋３ １－３＝－２∈M , ∴１－２１＋２＝－ １ ３∈M , ∴ １－１３ １＋１３ ＝１２∈M , ∴ １＋１２ １－１２ ＝３∈M． ∴M 中一定含有的其他元素为－２,－１３ ,１ ２． (２)若a∈M(a≠０,a≠±１),则１＋a１－a∈M , ∴ １＋１＋a１－a １－１＋a１－a ＝－１a∈M , ∴ １＋ －１a( ) １－ －１a( ) ＝a－１a＋１∈M , ∴ １＋a－１a＋１ １－a－１a＋１ ＝a∈M． ∴M 中一定含有的其他元素为１＋a１－a ,－１a ,a－１ a＋１． １．２　集合的基本关系 １．A　[对于B,∅没有真子集;对于C,∅表示集合,{∅}表 示集合中有∅这一元素;对于 D,{０}≠∅．] ２．D　[M＝{X|X⊆P}＝{∅,{０},{１},{０,１}},故P∈M．] ３．C　[∵A＝B,∴m２－m＝２,∴m＝２或m＝－１．] ４．D　[由A⫋B,结合数轴,得a≥４．] ５．ABC　[集合 M＝{２,４},集合 M⊆N⫋{１,２,３,４,５},则 集合 N 中至少包含２,４两个元素,又不能等于或多于 {１,２,３,４,５}中的元素,所以集合 N 可以是{２,４},{２,３, ４},{１,２,３,４}．] ６．C　 [依 题 意 A＝ {x|x＝k＋６６ ,k∈Z}＝ {x|x＝ (k＋３)＋３ ６ ,k∈Z},B＝{x|x＝２k＋３６ ,k∈Z},C＝{x|x＝ ４k＋３ ６ ,k∈Z}＝{x|x＝２×２k＋３６ ,k∈Z},而{x|x＝k＋ ３,k∈Z}＝Z,{偶数}＝{x|x＝２k,k∈Z},因此集合C 中 的任意元素都是集合B 中的元素,即有C⊆B,集合B 中 的每一个元素都是集合A 中的元素,即B⊆A,所以C⊆ B⊆A．] ７．解析:∵B⊆A,∴a２－a＋１＝３或a２－a＋１＝a． ①由a２－a＋１＝３得a２－a－２＝０,解得a＝－１或a＝ ２．当a＝－１时,A＝{１,３,－１},B＝{１,３},满足B⊆A; 当a＝２时,A＝{１,３,２},B＝{１,３},满 足 B⊆A．②由 a２－a＋１＝a得a２－２a＋１＝０,解得a＝１．当a＝１时,A ＝{１,３,１},不满足集合中元素的互异性．综上,若B⊆A, 则a＝－１或a＝２． 答案:－１或２ ８．解析:由题意,集合A＝{x|２ax２＋(２a－８)x＋１＝０}有 且仅有两个子集,则集合A 只有一个元素,当a＝０时, －８x＋１＝０,解得x＝１８ ,符合题意;当a≠０时,Δ＝(２a －８)２－４×２a×１＝０,解得a＝２或a＝８,当a＝２时,A＝ {x|４x２－４x＋１＝０}＝ １２{ },符合题意,当a＝８时,A＝ {x|１６x２＋８x＋１＝０}＝ －１４{ },符合题意．综上所述, a的取值集合为{０,２,８}． 答案:{０,２,８} ９．解析:因为集合S＝{０,１,２,３,４,５},根据题意知只要有 元素与之相邻,则该元素不是孤立元素,所以S 中无“孤 立元素”的４个元素的子集有{０,１,２,３},{０,１,３,４}, {０,１,４,５},{１,２,３,４},{１,２,４,５},{２,３,４,５},其中一个 可以是{０,１,２,３}． 答案:６　{０,１,２,３}(答案不唯一) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７３􀅰 必修第一册 　　　　　　　第２课时　集合的表示 １．下列说法正确的是 (　　) A．某校爱好足球的同学组成一个集合 B．{１,２,３}是不大于３的自然数组成的 集合 C．集合{１,２,３,４,５}和{５,４,３,２,１}表示同 一集合 D．１,０,５,１２ ,３ ２ ,６ ４ , １ ４ 组成的集合有 ７个元素 ２．已知集合A＝{x|x(x－１)＝０},那么下 列结论正确的是 (　　) A．０∈A B．１∉A C．－１∈A D．０∉A ３．如果A＝{x|x＞－１},那么 (　　) A．－２∈A B．{０}∈A C．－３∈A D．０∈A ４．集合{１,５,９,１３,１７}用描述法来表示, 其中正确的一个是 (　　) A．{x|x是小于１８的正奇数} B．{x|x＝４k＋１,k∈Z,且k＜５} C．{x|x＝４t－３,t∈N,且t≤５} D．{x|x＝４s－３,s∈N＋,且s≤５} ５．(多选)下列命题中不正确的是 (　　) A．集合{x∈R|x２＝１}中有两个元素 B．集合{０}中没有元素 C．１３∈{x|x＜２ ３} D．{１,２}与{２,１}是不同的集合． ６．(多选)下面说法中,正确的为 (　　) A．{x|x＋y＝１}＝{y|x＋y＝１} B．{(x,y)|x＋y＝２}＝{x|x＋y＝２} C．{x|x＞２}＝{y|y＞２} D．{１,２}＝{２,１} ７．能被２整除的正整数的集合,用描述法 的可表示为　　　　． ８．已知集合A＝{x|２x＋a＞０},且１∉A, 则实数a的取值范围是　　　　． ９．已知集合P＝{－２,－１,０,１},集合Q＝ {y|y＝x２,x∈P},则Q＝　　　　． １０．用适当的方式表示下列集合,并判断 是有限集,还是无限集． (１)方程x２(x＋１)＝０ 的解组成的 集合; (２)平面直角坐标系中,不在第一、三 象限内的点组成的集合． １１．在条件(１)x∈N;(２)x∈Q;(３)x∈R 下,分别写出方程x(x＋１)x－１２ æ è ç ö ø ÷􀅰 (x２－２)(x２＋２)＝０的解集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７２􀅰 第一章　预备知识 １２．已知集合A＝{－１,０,１},集合B＝{y|y ＝|x|,x∈A},则B＝　　　　． １３．设集合B＝ x∈N ６２＋x∈N{ }． (１)试判断元素 １ 和 ２ 与集合 B 的 关系; (２)用列举法表示集合B． １４．已知数集 M 满足条件:若a∈M, 则１＋a １－a∈M (a≠０,a≠±１)． (１)若３∈M,试由此确定 M 中一定含 有的其他元素; (２)若a∈M(a≠０,a≠±１),试由此确 定 M 中一定含有的其他元素． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７２􀅰 必修第一册