第一章 1.1 第1课时 集合的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　第一章　预备知识 　　　§１　集合　　１．１　集合的概念与表示 　　　　　　　第１课时　集合的概念 １．在“①高一数学课本上的难题;②所有 的正三角形;③方程x２＋２＝０的实数 解”中,能够组成集合的是 (　　) A．② B．③ C．②③ D．①②③ ２．已知集合A 是由０,m,m２－３m＋２三个 元素构成的集合,且２∈A,则实数m 为 (　　) A．２ B．３ C．０或３ D．０或２或３ ３．若以集合A 的四个元素a,b,c,d 为边 长构成一个四边形,则这个四边形可 能是 (　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 ４．下列各项中,不能组成集合的是 (　　) A．所有的正数 B．等于２的数 C．接近于０的数 D．不等于０的偶数 ５．(多选)若以集合中的三个元素为边可 构成一个三角形,则该三角形可能是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ６．(多选)已知 M 是同时满足下列条件的 集合:①０∈M,１∈M;②若x,y∈M,则 x－y∈M;③x∈M 且x≠０,则１x∈M． 下列结论中正确的有 (　　) A．１３∈M B．－１∉M C．若x,y∈M,则x＋y∈M D．若x,y∈M,则xy∈M ７．已知集合M 有２个元素x,２－x,若－１∉ M,则下列说法一定错误的是　　　　． ①２∈M;②１∈M;③x≠３． ８．不等式x－a≥０的解集为A,若３∉A, 则实数a的取值范围是　　　　． ９．由实数x,－x,|x|,x２,－ ３ x３所组成 的集合中最多含有　　　　个元素,最 少含有　　　　个元素． １０．写出由方程x２－(a＋１)x＋a＝０的解 组成的集合A 中的元素． １１．已知集合A 由元素a－３,２a－１,a２－４ 构成,且－３∈A,求实数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７２􀅰 第一章　预备知识 １２．非空有限数集S满足:若a,b∈S,则必 有a２,b２,ab∈S．则满足条件且含有两 个元素的数集S＝　　　　．(写出一 个即可) １３．一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也 想不明白集合的意义．于是,他请教数 学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合 是什么?”集合是不定义的概念,数学 家很难回答这位渔民． 有一天,他来到渔民的船上,看到 渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在 网中跳动． 数学家非常激动,高兴地告诉渔 民:“这就是集合．” 你能理解数学家的话吗? 你能有类似 的现实生活中的感悟吗? １４．方程ax２＋２x＋１＝０,a∈R的根组成 集合A． (１)当A 中有且只有一个元素时,求a 的值,并求此元素; (２)当A 中至少有一个元素时,求a满 足的条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７２􀅰 必修第一册 参 考 答 案 第一章　预备知识 §１　集合 １．１　集合的概念与表示 第１课时　集合的概念 １．C　[对于①,什么题是难题不能确定,故高一数学课本 上的难题不能组成集合;②③可组成集合．] ２．B　[由题意,知 m＝２或 m２－３m＋２＝２,解得 m＝２或 m＝０或m＝３．经检验,当m＝０或m＝２时,不满足集合A 中元 素 的 互 异 性;当 m＝３ 时,满 足 题 意．综 上 可 知,m＝３．] ３．A　[由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四 边形的四条边都不相等．] ４．C　[“接近于０的数”中“接近”的标准不明确,故接近于 ０的数不能组成集合．] ５．ABC　[若 以 集 合 中 的 三 个 元 素 为 边 可 构 成 一 个 三 角 形,则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等,即 三边都不相等,排除 D．] ６．ACD　[由①０∈M,１∈M,则由②０－１＝－１∈M,∴１－ (－１)＝２∈M,２－(－１)＝３∈M,由③得 １３ ∈M ,故 A 正确;由 A可知－１∈M,故 B错误;由①知０∈M,∵y∈ M,∴０－y＝－y∈M,∵x∈M,∴x－(－y)∈M,即x＋ y∈M,故 C正确;∵x,y∈M,则x－１∈M,由③可得 １x ∈M, １x－１∈M ,∴ １x － １ x－１∈M ,即 １ x(x－１)∈M , ∴x(１－x)∈M,即x－x２ ∈M,∴x２∈M;由 C 可知当 x,y∈M,x＋y∈M,∴１x＋ １ x＝ ２ x ∈M ,∴当x,y∈M, 可得x２,y２, (x＋y)２ ２ ,x ２＋y２ ２ ∈M ,∴ (x＋y)２ ２ － x２＋y２ ２ ＝xy∈M,故 D正确．] ７．解析:依题意 x≠－１, ２－x≠－１, x≠２－x．{ 解得x≠－１,x≠１且x≠３, 当x＝２或２－x＝２,即x＝２或０时,M 中的元素为０,２, 故①可能正确; 当x＝１或２－x＝１,即x＝１时,M 中两元素为１,１不满 足互异性,故②不正确,③显然正确． 答案:② ８．解析:因为３∉A,所以３是不等式x－a＜０的解, 所以３－a＜０,解得a＞３． 答案:a＞３ ９．解析:∵ x２＝|x|＝±x,－ ３ x３＝－x,且当x＝０时,x ＝－x＝|x|＝ x２＝－ ３ x３＝０,∴由实数x,－x,|x|, x２,－ ３ x３ 所组成的集合中最多含有２个元素,最少 含有１个元素． 答案:２　１ １０．解:由方程x２－(a＋１)x＋a＝０,得(x－a)(x－１)＝０, 得x＝a或x＝１． ①当a＝１时,方程有两个相同的解x＝１,则集合A 中 只有一个元素１． ②当a≠１时,方程有两个解１和a,即集合A 中有两个 元素１和a． 综上可知:当a＝１时,A 中元素为１;当a≠１时,A 中 元素为１和a． １１．解:因为－３∈A, 所以a－３＝－３或２a－１＝－３或a２－４＝－３． 若a－３＝－３, 则a＝０,此时集合 A 中 的 元 素 有－３,－１,－４,符 合 题意． 若２a－１＝－３,则a＝－１,此时集合中的元素为－４,－３, －３,不满足集合中元素的互异性． 若a２－４＝－３,则a＝１或a＝－１(舍去), 当a＝１时,集合中的元素为－２,１,－３,符合题意． 综上可知,a＝０,或a＝１． １２．解析:不妨设S＝{a,b},根据题意有a２,ab,b２∈S, 所以a２,b２,ab中必有两个是相等的． 若a２＝b２,则a＝－b,故ab＝－a２, 又a２＝a或a２＝b＝－a, 所以a＝０(舍去)或a＝１或a＝－１,此时S＝{－１,１}． 若a２＝ab≠b２,则a＝０,此时b２＝b,故b＝１或b＝０(舍 去),此时S＝{０,１}．若b２＝ab≠a２,则b＝０,此时a２＝a, 故a＝１或a＝０(舍去),此时S＝{０,１}． 综上,S＝{０,１}或S＝{－１,１}． 答案:{０,１}(或{－１,１}) １３．解:由“许多鱼虾在网中跳动”,数学家高兴地说这就是 集合,他生动地把鱼虾组成的总体称之为“集合”;“许 多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——— 鱼(虾)看为元素;“许多鱼虾在网中跳动”同时更重要 的是符合了集合的三大特性:“许多鱼虾在网中跳动” 明确了确定性———“在网中”;“许多鱼虾”但不可能有 两条相同的“鱼(虾)”,满足了互异性;“跳动”恰说明了 它们没有固定的顺序之分,吻合了“无序性”．数学家非 常激动,因为他为集合的定义做了一个最生动的解释． 数学来源于生活又实践于生活,从现实生活中感悟,试 举一例如下: 看万山红遍,层林尽染,漫江碧透,百舸争流􀆺􀆺 这是«沁园春􀅰长沙»里的一段秋景描写,当沉浸在这 种景色中时,气势宏大的景象是“山”“林”“江”“舸”等, “同一类对象汇集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江” “百舸”的景观,在数学中我们把它们均称作集合． １４．解:(１)A 中有且只有一个元素,即ax２＋２x＋１＝０有 且只有一个根或有两个相等的实根．①当a＝０时,方程 的根为－１２ ;②当a≠０时,由Δ＝４－４a＝０,得a＝１, 此时方程的两个相等的根为－１．综上,当a＝０时,集合 A 中的 元 素 为 － １２ ;当 a＝１ 时,集 合 A 中 的 元 素 为－１． (２)A 中至少有一个元素,即方程ax２＋２x＋１＝０有两 个不等实根或有两个相等实根或有一个实根． ①当方程有两个不等实根时,a≠０,且Δ＝４－４a＞０, ∴a＜１且a≠０; ②当方程有两个相等实根时,a≠０,且Δ＝４－４a＝０, ∴a＝１; ③当方程有一个实根时,a＝０, ∴２x＋１＝０,∴x＝－１２ ,符合题意． 由①②③,得当A 中至少有一个元素时,a满足的条件 是a≤１． 第２课时　集合的表示 １．C　[选项 A,不满足确定性,故错误;选项B,不大于３的 自然数组成的集合是{０,１,２,３},故错误;选项 C,满足集 合中元素的互异性,无序性和确定性,故正确;选项 D,１,０, ５,１２ ,３ ２ ,６ ４ , １ ４ 组成的集合有５个元素,故错误．] ２．A　[∵A＝{x|x(x－１)＝０}＝{０,１},∴０∈A．] ３．D　[∵０＞－１,故０∈A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７３􀅰 参考答案