22.7《多边形的内角和与外角和》课件 2024-2025学年 冀教版数学八年级下册

22.7 多边形的内角和与外角和 学习目的: 1,了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角及对角线的概念。 2，经历探索多边形的内角和公式的过程，掌握多边形的内角和公式，并 能灵活运用。 重点： 难点： 多边形的内角和。 探索多边形内角和公式过程。 观察思考： 在生活中，有许多由线段围成的图形，观察下面的图片，你知道有哪些图形吗？ 三角形 正方形 五边形 六边形 它们都属于多边形这个大家庭 Why? 多边形 多边形 探究新知： 思考： 1，什么是三角形？ 不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形 2，观察画某一个多边形的过程，类比三角形的概念，你能 说说什么是多边形吗？ 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内. 多边形 3,根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是 多边形的边、顶点、内角、外角． 思考： 顶点 边 内角（或角） 外角 边 组成多边形的各条线段叫作多边形的边。 顶点 相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点。 内角（或角） 相邻两边组成的角叫作多边形的内角。简称 多边形的角 对角线 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 对角线。 思考： 多边形 下面的图形叫什么？它们分别有多少条边，多少个顶点，多少个内角， 多少个外角？ 多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形. n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 探究新知： 多边形 请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 2 3 4 6 n-2 0 1 2 3 5 n-3 0 1 2 3 5 n-3 n-2 1 1 2 3 4 6 从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线. 将多边形分成(n-2)个三角形. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？ 问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°. 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 讲授新课 多边形的内角和 一 小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 思考： 探究新知 多边形的外角及外角和 （1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ E B C D 1 2 3 4 5 A （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）你能求出1+2+3+4+5的结果吗？ ∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 1+2+3+4+5 问题解决： 探究新知 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.如图，∠A的外角是∠1. E B C D 1 2 3 4 5 A 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 结论 探究新知 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 思考： 探究新知 五边形外角和 =360 ° =5个平角 －五边形内角和 =5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 探究新知 E B C D 1 2 3 4 5 A 猜想： 360° 360° 360° 360° 由特殊到一般 n边形的外角和等于360°. 探究新知 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 …… 图形 …… 外角和 …… n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 与边数无关 猜想证明： 探究新知 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 拓展思维： 探究新知 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 猜想与证明 方法1：如图，连接AC, 四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°. A B C D 多边形 算一算下面各多边形的内角和分别是多少？ 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形 一个顶点引出对角线分成三角形的个数 1 2 3 4 6 n-2 内角和 180° 180°x2=360° 180°x3=540° 180°x4=720° 180°x6=1080° (n-2)•180° 的内角和 归纳：n边形的内角和等于(n-2)•180° 多边形的内角和 你还可以用其他方探究n边形的内角和公式吗？ ...... A B C D E F G O 这样把n边形分成了多少个三角形？ 这时多边形的内角和怎么表示？ n•180°-360°=(n-2)•180° 你还可以用其他方探究n边形的内角和公式吗？ 课后研究 多边形的内角和 n边形的内角和等于(n-2)•180° 例题精讲： 例1：（1）十边形的内角和是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？ 解： （1）（10-2)X180°=1440° (2)设这个多边形的边数为n，则 (n-2)•180°=1980° 解得：n=13 所以这是一个十三边形。 解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， 又∵∠A+∠B＝240°， ∴∠A＝240°－∠B， 又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B， ∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°， 解得∠B＝50° 1.在五边形ABCDE中， ∠A +∠B =240°,∠C=∠D=∠E=2∠B. 求∠B的度数. 解：如图，连接AD. ∵∠1＝∠E＋∠F，∠1＝∠FAD＋∠EDA， ∴∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C. 又∵∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°. 2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F. 3.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2 570°，则这个内角是多少度? 多边形内角和 转化 从特殊到一般 方程 (n－2) ·180° 数学思想 公式 方法 已知边数求内角和：代入法 已知内角和求边数：方程法 四、课堂小结： $$