22.6《正方形》正方形判定 课件 2024-2025学年 冀教版数学八年级下册

22.6正方形 ——正方形的判定 一个角是直角 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 正方形 平行四边形 正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 正方形的对边平行且相等，四边相等 正方形的四个角都是直角 边 对角线 角 正方形的定义 一组邻边相等 复习回顾 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 猜想： 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.看是不是正方形. 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 探究新知，经历过程 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 对角线相等 对角线垂直 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角. (定义法) 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等. 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 定理：对角线相等的菱形是正方形. 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC = 45°，∠ECB = 45°. ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）. 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 你还记得三角形的中位线定理吗？ 一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形， 这个新四边形的形状有什么特征？ 任意四边形的中点四边形是平行四边形. 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 平行四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形会是什么形状？ 平行四边形的中点四边形是平行四边形. 你能试着证明这个结论吗？ （提示：连接AC、BD） 矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形. 你能试着证明这个结论吗？ 菱形的中点四边形 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 你能试着证明这个结论吗？ 正方形的中点四边形 正方形的中点四边形会是什么形状？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 ？ 先猜一猜，再证明. 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 归纳 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 平行四边形 正方形 （1） 思考1：满足什么条件的平行四边形是正方形？ 1、一组邻边相等 2、有一个角为直角 定义法：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 形是正方形。 几何语言： A B C D ∠A=90° 平行四边形 正方形 （1） 思考2：满足什么条件的平行四边形是正方形？ 1、两条对角线相等 2、一组邻边相等 平行四边形 正方形 （1） 1、对角线互相垂直 2、有一个角为直角 思考3：满足什么条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 （2） 一组邻边相等 判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 A B C D 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形且AB=AD ∴ 四边形ABCD是正方形. 思考4：满足什么条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 （2） 两条对角线互相垂直 判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形. A B C D 思考4：满足什么条件的菱形是正方形？ 菱形 正方形 （3） 有一个角是直角 判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形且∠A=90° ∴ 四边形ABCD是正方形. A B C D 思考5：满足什么条件的菱形是正方形？ 菱形 正方形 （3） 两条对角线相等 判定定理：两条对角线相等的菱形是正方形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形且AC=BD ∴ 四边形ABCD是正方形. A B C D 1：有一个角为直角的菱形是正方形。 2：对角线相等的菱形是正方形。 3：一组邻边相等的矩形是正方形。 4：对角线互相垂直的矩形是正方形。 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 7：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 8：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 9：四条边相等四个角也相等的四边形是是正方形 10:既是菱形又是矩形的四边形正方形 正方形的判定方法 探究拓展 矩形+菱形=正方形 1.四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，添加下列哪个 条件 ，可使四边形ABCD为正方形 巩固练习 2.四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB， 请你添加一个条件 ，使四边形ABCD为正方形。 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC 练一练 C A B C D O 例1 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形． 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例精析 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AD 是∠CAB 的平分线， ∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 例3.正方形ABCD中，O为对角线的交点，DE//CA,AE//BD. 求证:四边形AODE是正方形. D A E B C O ∵正方形ABCD， ∴OA=OD ∵DE//CA, AE//BD. ∴四边形AODE是平行四边形 ∴平行四边形AODE是菱形. ∵正方形ABCD， ∴∠AOD＝90° ∴四边形AODE是正方形. 证明： 典型例题 已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形. 巩固练习，深化提高 证明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF, 易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD , 即 CE ＝AE ＝AF ＝FC, ∴四边形 AECF 是菱形． 2. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的 四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是 什么特殊四边形？你是如何判断的？ 解：四边形 EFGH 是正方形. ∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH， 易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE, 即EH ＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH ． ∵∠DGH ＋∠DHG＝90°, ∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°, ∴四边形 EFGH 是正方形 3. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠的部分 与正方形ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论. S重叠部分 = S正方形ABCD 证明:如图,正方形 OA′B′C′ 分别交 AB、BC 于点 E、F． ∵OC ＝ OB, ∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°, ∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°, ∴ ∠COF ＝ ∠BOE, 则△OFC ≌ △OEB． ∴S重叠部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC = S正方形ABCD . 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 定理：对角线相等的菱形是正方形. Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$