22.6《正方形》—正方形的性质 课件 2024—2025学年 冀教版数学八年级下册

22.6 正方形 ——正方形的性质 问题导入 请将下列图片分类。 学习了矩形和菱形的哪些内容？ 从哪些角度学习的呢？ 问题导入 性质 判定 对称性 学习内容 学习角度 边 角 对角线 定义 变直角 邻边相等 变直角 邻边相等 你能在平行四边形的基础上给正方形下定义了吗？ 平行四边形 矩形 正方形 正方形 菱形 新知探究 平行四边形 平行四边形＋邻边相等+直角 正方形 一、正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 矩形 菱形 正方形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 四条边都相等 角 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直平分， 且每一条对角线平分 一组对角 1.正方形的四条边相等， 2.正方形的对角线相等 正方形的特殊性质： 四个角都是直角. 且互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB=BC=CD=AD ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° AC=BD， AC⊥BD ， OA=OC=OB=OD AC平分∠BAD、∠BCD， BD平分∠ABC、∠ADC 思考：正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? A B C D 问题：图中有几个等腰直角三角形？ O 四个角都是直角。 对角线相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角。 对边平行，四条边都相等。 边 角 对角线 AB//CD AD//BC ,AB=BC=CD=DA 正方形的性质 AC=BD OA=OC=OB=OD O 对称性 新知生成 是轴对称图形，有四条对称轴 做人也要像正方形一样规规矩矩、方方正正，特别是现在的你们要做一个守纪律，有规矩，品行端正的好学生，认真学习，规矩做人 例：已知，如图：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O，求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO. 图中共有几个等腰直三角形 典型例题 O 知识自测 1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是(　　) A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 2.正方形面积为36，则对角线的长为 O 小结分享 思想方法：从一般到特殊 例1.求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形，AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是 等腰直角三角形, 并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是 等腰直角三角形, 并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 典例解析 例2.如图所示，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是CB延长线上一点，且DH=BE，请你判断△AEH的形状，并说明理由. A B C D E H 你是如何分析的？ 典例解析 解：△AEH为等腰三角形. 理由：∵四边形ABCD是正方形. 所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°， ∴在Rt△ADH和Rt△ABE中， AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE， ∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS）， ∴AH=AE，∠DAH=∠BAE， ∴∠HAE=∠DAB=90° 则△AEH为等腰直角三角形. A B C D E H 典例解析 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积等于ー个正方形面积的 .想一想,这是为什么? 知识拓展 如果这两个正方形的边长不相等，结论还成立吗？ 变式1、如图，三个边长均为 的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是 . 变式2、将n个边长都为2的正方形如下图摆放，点A1，A2， …An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是 . 1.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在边CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是 . 课堂练习 2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，∠EAB＝15°.若OE＝ ，则BD的长为__________. 3.如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. A B D C F E 4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、CE ,求∠DEC的度数. D A E B C 5.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E， PF⊥BD于点F，求PE+PF的值. A B C D E P F O Lavf57.62.100 $$