精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷

雅礼教育集团2025年上期期末考试 高二数学试卷 命题人：蒋志华 审题人：孙密莲 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可得或（舍去），解出，由集合的互异性检验即可得出答案. 【详解】因为，， 所以或（舍去）， 则．即 故选：B． 2. 已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ） A. 3 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式、体积公式列方程求半径，进而求其体积. 【详解】若球的半径为，则有，可得， 所以这个球的体积为. 故选：C 3. 设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，，所以选B. 考点：充要关系 4. 已知，则（   ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得解. 【详解】. 故选：C. 5. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 6. 已知随机变量，，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以，且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：C. 7. 设，则的值为（ ） A. 20 B. C. 160 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的通项，令，即可求出的值. 【详解】因为的通项为：， 令，则， 故选：D. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为4 C. 若复数z满足，则的最大值为2 D. 若是关于x的方程的一个根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】计算可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最大值为2，可判断C；得到为方程的另一个根，根据韦达定理计算可得判断D. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，复数的共轭复数为，故虚部为，故B正确； C选项，若复数z满足，则z的轨迹为复平面内，以为圆心，1为半径的圆， 此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即到原点距离，故的最大值为2，故C正确； D选项，是关于x的方程的一个根，为方程另一个根， 故，D不正确. 故选：BC 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 11. 设函数，则（ ） A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可. 【详解】∵， ∴是偶函数，关于轴对称，故A正确； ∵， ∴是函数的一个周期，故B正确； ，∵，， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； ， ∴的图象关于点中心对称. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得定义域，由可得，据此可得答案. 【详解】因，则， 由于有意义，结合为奇函数，则，因此， 故，则. 故答案为： 13. 一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求前三次中每一次都没有摸到红球的概率，进而得前三次均未摸到红球的概率，利用对立事件即可求得前三次至少有一次摸到红球的概率. 【详解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为， 第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为， 所以前三次均未摸到红球的概率为， 所以前三次至少有一次摸到红球的概率为. 故答案为：. 14. 设函数，若且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，判断的范围，进而可得，然后利用导数研究函数的性质，进而推出的取值范围． 【详解】解：函数， 若且， 如图画出函数的大致图象， 由已知条件可知：， ， ， ， 由，故在为减区间， ， 的取值范围是：． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角，进而求解； （2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得，由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得． 因为，所以， 所以，故， 又因为，所以． 【小问2详解】 由题意可知， 即，化简可得． 在中，由余弦定理得， 从而，解得或（舍）． 则． 16. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ （2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，列联表如下： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关. 【小问2详解】 由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人. 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则， ， 故. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由公式即可求解； （3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解. 【小问1详解】 连接，设，连接. 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 又，所以，，两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则即 令，则，.于是. 因为 所以. 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面， 所以是平面的一个法向量. 所以. 由题设，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值. 【详解】（1）设椭圆焦距为，则①， ②，又③， 由①②③解得，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以， 由，得， 所以，从而，， 直线的斜率为，故直线的方程为. 令，得， 直线的斜率. 所以直线的斜率为定值. 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题. 19. 张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义， 即若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为 “广义差商有界”函数. （1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数? （2）已知函数 . （i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由； （ii）若 在区间 上是“广义差商有界”函数，求正整数 的最小值. 【答案】（1）不是“差商有界”函数，是 “广义差商有界” 函数 （2）（i）不是，理由见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用函数新定义求解即可； （2）（i）利用函数新定义结合导数分析 在区间 上单调递减，得到与①矛盾的结果即可； （ii）结合函数新定义构造函数，利用导数分析其单调性求出的最小值，再构造函数，利用导数找到其隐零点可得. 【小问1详解】 在 上不是 “差商有界” 函数.理由如下： 假设 在 上是 “差商有界” 函数，则有正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，即 ，可见 ; 取 ，代入 ，得 ， 即 ，产生矛盾，故 在 上不是“差商有界”函数. 在 上是 “广义差商有界” 函数. 证明如下： 设 且 ， 即 ， 又 ，所以 ，其中 . 故 在区间 上是 “广义差商有界” 函数. 【小问2详解】 (i ) 在区间 上不是“差商有界”函数. 理由如下： ， 当 时， ，则 在区间 上单调递减. 取 (其中 ) 且 ，若满足 ，则 ， 即 . ① 设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递减， 从而 ，即 ，这与①矛盾， 故 在区间 上不是 “差商有界” 函数. (ii) 由 ，得 ， 令 ，则 . 设 ，则 ，则 ， 即 ， 即 ，即 . 设 ， 则 ，所以 在 上单调递增， 从而 ，即 ，符合题意. 设 ， 则 (其中 ). 若 ，则 ，则 在 上单调递减， 从而 ，符合题意. 若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 设 . 当 ，即 时， ，符合题意. 当 ，即 时，设 ，则 ， . 因为 (利用 时 )，所以 . 令 ，解得 ， 则存在 ，即存在 ， 使 ，不合题意. 综上， ，即 ，解得 ，故正整数 最小值为 2 . 【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是利用函数新定义求解即可；第二问关键是结合函数新定义构造新函数然后利用导数的单调性结合函数新定义分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025年上期期末考试 高二数学试卷 命题人：蒋志华 审题人：孙密莲 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ） A. 3 B. 12 C. D. 3. 设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 6. 已知随机变量，，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的值为（ ） A. 20 B. C. 160 D. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数共轭复数的虚部为4 C. 若复数z满足，则的最大值为2 D. 若是关于x的方程的一个根，则 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 11. 设函数，则（ ） A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则______. 13. 一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 14. 设函数，若且，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． （1）求的大小； （2）若，求的面积． 16. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ （2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值. 19. 张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义， 即若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为 “广义差商有界”函数. （1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数? （2）已知函数 . （i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由； （ii）若 在区间 上是“广义差商有界”函数，求正整数 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $