九年级上册 第一章 特殊平行四边形 测试卷-【魔力一卷通】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）

赠 参考答亲 九年级上册 13.证明：(1)如图，连接AC :四边形ABCD是菱形， .∠EAC=∠FAC (①第一章单元测试卷 AE-AF. 在△ACE和△ACF中， 1.D2.C3.C4.B ∠EAC-∠FAC, AC=AC. 5.C【解析】四边形MBND是菱形，∴，MD=MB.四边形ABCD是矩 ∴.△ACE≌△ACF(SAS),∴.CE-CF 形.∠A=90.设AB=x,AM=y,则AD=2x.MB=2一y(xy均为正 (2),四边形ABCD是正方形， 数).在R△ABM中，AB+AF-BF,即x+y=(2x一y,解得r .AD-CD,∠DAB-∠C-90,∠DAF-∠C MD-MB-2y子品立 AFCE.∴，△DAF≌△DCE(SAS),.DF=DE 14.解：赞同小洁的说法. 6.D【解析】连接PC.延长AP交EF于点H,如图. (补充条件不唯一)补充条件OA=O.证明如下： :P是对角线BD上一点， ,OA一OC.OB-OD.,四边形ABCD是平行四边形 ,PB和AB的大小不能确定，故①错误： 又，AC⊥BD.,平行四边形ABCD是菱形. 在正方形ABCD中，AD=CD,∠ADP=∠CDP 15.证明：根据旋转和平移的性质，得∠GEF=90°，CB一GE一BE.CB =45°，PD=PD, ∥GE,.四边形CBEG是平行四边形. .△ADP2△(DP(SAS),.AP=P,∠PAD ,∠GEF=90°，.□CBEG是矩形. =∠PCD.:PE⊥BC,PF⊥CD, ,CB一BE,.矩形CBEG是正方形 ∴，∠PFC=∠PEC=g0, 16.解：(1)如图①所示，点M脚为所求。 ∠C=0,.四边形PECF是矩形，.EF=PC,.AP=EF (2)如图@所示，点E,F即为所求。 ,∠ADC=∠PFC=90°，AD∥PF,∴.∠DAP=∠FPH.在矩形 PECF中，∠PD=∠EFC,∴，∠FPH=∠EFC,'∠EFC+∠EFP =90,.∠FPH+∠EFP=90°，AP⊥EF,放②正晚： 在矩形PECF中，∠PFE=∠PCE.,∠PAD=∠PCD,∴.∠BAP ∠PCB,∴，∠BAP=∠PFE,故③正确： :AB=AD=2.根据勾股定理，得BD=2区.当APLBD时，AP最 图① 图② 17.解：，矩形的对角线相等且互相平分，.OA=(OD 小，此时AP最小值为一BD-区.：AP-EF,∴EF的最小值为②， ,∠AOD=80°，.△AOD为等边三角形. 故①正确： .∠ADB=B0°，∠ABD=30,(OD=AD. 根据勾股定理，得PB=2PE,PD=2PFP,∴.P形+PD=2(PE因 ,AB=2B,∴.OD=AD=2.AE⊥BD,∴.E为OD的中点 十PP)-2EF产-2PA,故⑤正确，综上所述，结论正确的是②③ ④0. 0E=20D=AD= 7.100°8.109.4510.(2+√2) 18.解：(1)证明：，AE∥DC,CE∥AD ,四边形ADCE是平行四边形 11.25【解析】：四边形ABD是菱形，.ACL BD,AO=(CO=4, ,∠BAC=90°，AD是BC边的中线， O=D),.AE=VA0F十E了=√@+16=5，∴，BE=AE=5, ∴，AD=BD=CD,,回ADCE是菱形 B0-8,∴BC-VBP+C下-√64+16-45.F为CD的中 (2),∠B=60°，AD=BD,.△ABD是等边三角形， 点，B0=D0.∴0F=号BC=26 ,∠ADB=60°，AD=AB=6.:(CE∥AD,.∠DCE=60 ,DFLCE,∴.∠DC-90,∠CDF=30 12.3,4)或（号，4）或(2.4)或(8，)【解析】如图，当P0=0D=5 CD=AD=i.∴CF=2CD=3 时，由勾股定理，得PC=3,.P1(3.4): ,四边形ADCE是菱形，∴.CE=CD=6,∴，EF=3. 当PO=PD时，作PE⊥OA于点E 19.解：(1)证明：'四边形ABCD是矩形，∠A=∠ADC=∠B=∠C OE=ED=号A(受d)小 =90°，AB=CD.由折叠的性质，得AB=PD,∠A=∠P=90°.∠B =∠PDF=g0°，∴.PD=CD 当PD=OD=5时，作DF⊥BC于点F,由勾股定理，得PF=3, ∠PDF=∠ADC,.∠PDE=∠CDF .PC=2,.Pa(2,4)1 ∠P=∠C=90. 当PD-OD=5时，作P,G⊥OA于点G,由勾股定理，得DG一3， 在△PDE和△CDF中，PD=CD, .OG=8,.P(8.4) L∠PDE-∠CDF, 综上所述，所有满足条件的点P的坐标为3，或（受4）或(2， ∴.△PDE2△CDF(ASA). 或(8.4). (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G, .∠EF=90'EG=CD=4, PPP 在R△EGF中，由勾殷定理 得FG=√EF一G=一4平=3. 设CF=x,则PE=AE=BG=x,BC=BG+ FG+CF-2r+3. :AD∥BC,∴.∠DEF=∠BFE. 由折叠的性质，得∠BFE=∠DFE.·∠DEF=∠DFE, 全一册·参考答案1人 ∴.DE=DF=x+3. 2第二章单元测试卷 在R△CDF中，由勾股定理，得DF=CF十CD, 1.D2.C3.A4.B +3=2+,解得-子dB以0-2r+8-号 5.D【解析】设该县每年投人的教育经费增长的百分率为x.由题意， 20.解：(1)画出图形如图①所示， 得2500(1十x)2=3600,解得x1=0.2,=一2.2（不合题意，含 (2)证明：，“DE∥BC,DF∥AB,.四边形BFDE是平行四边形. 去)，.2022年该县投人的敦育经费为2500(1+20%)-3000（万 :BD是∠B的平分线，∴∠EBD=∠DBF 元). :DE∥BC∠EDB=∠DBF,.∠EBD=∠EDB,.BE=ED, 6.A【解析】x后，AP=BQ=xem,.PC=AC-AP=(8-x)cm 平行四边形BFDE是菱形。 CQ=BC-BQ=(6-x)cm.ZC=90',SARQ=PC.CQ- (8-6-.S-ACBC-X8XSan 58-6-r=×号×8X6. 7.38.109.110.6 图① 11.0【解析】：m,n是方程2x一x十k=0(k<0)的两个根，2m一m (3)如图②，连接EF,交BD于点O 十一0,22一n十k-0,由题意，得m一n一m(2m一1) :∠A=90°.∠(C=30°..∠AB=180°-90°-30°=60° #(2一1)=2m2一m一(22一)=一k一（一)=0. BD平分∠ABC..∠EBD=30 12.6成12成10【解析】根据题意，得k≥0且（一3灰）2一4×80，解 由(2)知，平行四边形BFDE是菱形，则EF⊥BD,BO=OD BD-6.E0-BE.即BE-2B0 得k>婴：整数<56=4“方程变形为一6r十8=0：解得 由勾股定理，得BE=B+E严. 一2，一4.：△ABC的边长均为关于x的方程x2一6r+8一0 的根，△ABC的边长为2,2,2或4,4，或4,4,2，，△ABC的周 即4E伊=6+E),解得BO=2√（负值已舍去）， 长为6或12或10. .EF=2E0=45, 13.解：(1)4=(-3)2-4×2×(-3)=33>0， 六菱形BFDE的面积=之BDEF=×12X4=24√ x厘生厘…-+愿 2×2 21.解：(1)证明：如图，连接DC. (2)测边都加9，得x2+6x+9=27+9, O是EF的中点，GO=OD, 即(x+3)=36, ∴.四边形EDFG是平行四边形 两边开平方，得x+3=士6， :AC=BC,∠ACB=90°，D是AB的中点 即r+3=6或x+3=-6, ∠A=∠DCF=45,AD=CD. ,1=3,r2=-9. 又：AE-CF,.△ADE2△CDF(SAS) 14.解：把x=0代入方程.得m2一2=0，解得m=士√区 .DE=DF,∠ADE=∠CDF. ,四边形EDFG是菱形. 又：m√2≠0..m≠夏，m=一2， ∠ADE+∠ED=90°，.∠CDF十∠EDC=∠EDF=90°.， 15.解：，该一元二次方程有两个实数根， ,四边形EDFG是正方形. .△-(-2)2-4×1·-4-4a≥0，解得a≤1 (2)当DE⊥AC,即E为线段AC的中点时，线段DE的值最小.战 由根与系数的关系，得x1=at1十=2. 四边形EDFG而积的最小值是4，此时点E在AC的中点处， 又x1x:十x1十x:>0..a十2>0.解得a>-2 22.解：(1)135 ∴.a的取值范围为一2<a≤1. (2)如图，将△BCP绕点B顺时针旋转60得 16.解：依题意，得x2一4=0，y2-5y十6=0。 到△BAM,然后连接PM 解得1一24一一2,1一2，一3 根据旋转的性质，得∠PBM=.△BP 边长不能为负数，x=2. △BAM,.PB=MB 分三种情况：当F一2，y一2时，·y只能为两直角边，由勾股定理 ∴△PBM是等边三角形， 得斜边为22 ∴.∠BPM=∠PBM=6O°. 当r=2,y=3,且x,y为直角边时，斜边为√13： PA:PB:PC=3+4+5. 当x=2,y=3,且x为直角边，y为斜边时，另一条直角边为5 ∴.设PA-3r,PB-4r,PC-5x. ∴，AM=CP=5xr,MB=PB=PM=4r 除上所述，第三边的长为22或√13或5 17.解：设有x个球队参加比赛 AM-PA+PM. .∠APM=90°，∴.∠APB=90°+60'=150 由题意，得之x(r一1)-15， 23.解：(1)正明：：四边形ABCD是矩形， 解得1=6,2=一5（不合题意，舍去） ,AB=CD.AD=BC.∠MAB=∠C=90. 故有6个球队参加比赛 :M.N分别是AD,BC的中点，.AM=CN 18.解：(1)，方程有两个不相等的实数根，4=4十4k>0, .△MBA2△NDC(SAS),∴.BM=DN. 解得k>一1， (2)四边形MPNQ是菱形，理h如下： “的取值范围为>一1， 如图，连接MN,则四边形ABNM是矩形 (2)由根与系数的关系，得a十b-一2，b=一k, P是BM的中点，.AMP=PB=PN 同理可得MQ-DQ-NQ. +11 2ab+a+b -2k-2 a十十ab+a+6+k2+=2 BM=DN...MP=PN=MQ=NQ. 19.解：(1)根据题意，得x(30-3r)=63.解得x1=3,x2=7 .四边形MPNQ是菱形. 当x=3时.30一3x-21>10,不符合题意： (3)当AD=2AB时，四边形MPQ是正 当x=7时，30一3x=9<10,符合题意 方形，理山如下： 故AB的长为7m. 如图，连接PQ,AP (2)不能.理由如下： 由(2)可知，四边形MPNQ是菱形 根据题意，得r(30一3x)=80: .PQMN. 整理，得3x-30r+80=0, :AD⊥MN..PQ∥AD :△=900-4×3×80=-60<0. P,Q分别是AN,DN的中点，AD-2PQ .原方程没有实数根， AD-=2AB..PQ=AB. 故不能围成面积为80的花圆. ,MN=AB,.MN=PQ,.菱形MPNQ是正方形. 20.解：(1)证明：：△=[一(m+6)]一4×1×(3m十9) 久2数学·9年级(S版)春一中年型正一时 九年级上册 第一章单元测试卷 .厘，在k△A中D边山上的中 专时同i山a特，性专 线-A一，刚一 ?,超能，雀表后AK卷值外锅华等喜江生国 D■用，在正言自AD中E青C自上一 1) C餐zA-时，N边眼Aa)延集影 A-F为1观长用上.一是：且4=C家且袋 1下利自延中，是量合送的道 以弯k由时，图的率AC山规是即 F,求通址，率- 名数形作则能等于问准对角生转：销卡 发加月，在面后A)中，AP-20.,N女 L等型的时罐们可 明存边AD,t,是摄M4N素再边副 照加同，？止D解AP值对集线，比平 仁有一准军为相等纳平行同口肠是委用 对海线针等行平行调边形是工图 NP是表希：飘部的监 计/交T点K.育a王隆白C和 时背装月了得列△天，看工1购，圆 主相出，盒麦座A性)中，对作 t 度C,功相变下库0：EN IL■西：黄电ACD醇联角程C,D样空TA D6￡在看上，进售AE,F考D粉中 :1值博长有 A接球看AE-0K.好--N=,博线同 在4接 度的长为 正，且公A的隔重标为一上，若口点A为相毛， 对角属A口的长自中径导属交x轴的正半轴子 4包厘：上者形A低D的边长为：，P是对角国 重湖燕 在从，到A时的射身 查信PF,始tF列E十注企，P-AB 位如两，在平面直角年韦中：口自解程.过国 已的证侧过置与风字小情堂通 AP=U程AP上，中∠害=∠且AP: 形0nC为眼-0140a,1,D为0 工EF纳提4食为行@容+P=PY,其 中情比证佛骑是 的到：国带有满望高件群社户的个解 息C参点4# 九1+方1 且25十1a0 4中20 L电 为 二两e44n=7A 2-1m D.12JA1 C①0 RoTa 三，解等程引本大指书手小题，每小整每升，并海分) 4已加而口形A保石要平月阳的形，财角信巴二.集空装客大题线题，的0服手什，去材分引 以（■酒得连光AaD品盖 D目文F点以下利体心地风的是 4十得回电★于止导两每 臂其重？若情月◆票输证纳特角算一十专6圆菱期D中，P程C的单瓦请口 内们“/”，最要风清前议金，请每林龙一 形或制度销直反轮要香到用有门风法，座育 ◆圣件韩证阻 典州昌通) 111存唇中单脚自AD价中A: 1在州合中纳时角线A上数有十aB,F 座A若=T 中，知再.后限A位D时角线4，的交于0 0∠AD='A=是百，r⊥In下有r 素浓行长 1线.=用，已年存A1T中，∠A=,目 后A气热白8短同针程时青线△BE, 再是算5AaE肉有平移有州0：D求： 用文子点日.准提在奉E风米：题 正有0， 学+出平8含一轻制1年一司 酒，解丽最生大时样3小国每个理分，两引分你.生用-书笔围候并D秀免.便点点与直D E如周，在点AC中，之社=，AD是量合：山A离食台P处，写为下 连的0值E比.E2AD,AE,C若空P口IR量aA2△L1e: AE. 证，四为程ACE的菱E: 江白件F4第千总F,∠=T,AN 蓉=43，在0的上 ■队，来了筑长 2 机行-年8士一行四草2一上 1有6年中，山是上吉的平象我：过点D作玉，银斋期本大■典西，每期象，共升们 且如用工，C和工合时AD内一店，且A:为，时答题本去暗A日升料 不C交A日￥点有，这点DBF2AB,加用：在B:A4中-∠C-钟，- 阳=I:11k房∠APn度n 执国-在形AD中-，W令州是AD,w 空：子点P 4:D结An销中自，：Pr时品AE,C上的 小阳应这时酸静：企PA=:P形=r,一 ?中A,廿别星，uN的中点， (【规请芹合酒夜格有车， A1方工不与点A.C豪在，作AEF蓬暖 4:我民形PA:,V期时舞中，下是地移 IL率w,=N 4本成四边居NFE是菱8： F件取子作中盒，道某并是钱到么 △P烧众列时规转月到8A1= n度的，PN,列雨四边系M小9的题 C春∠A=项4C-,D-亿，准是m :,能3=40，店推无，I,E, 酒色，城速植比，州温月联解走 我，并反慰理在， T茶的斜具 1)某罩，两边里G是求利 11平型AD销边Aa与AD离是种来四 有延写将酒自厚G到积的显小销程 点专个明的方进，时养民遇 度美原时-国山再☑是正款型：销混明 得年二推后口 水学+年聚士-世吸)全一1 行：平8含-0n轴}2一3